100 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Hồ Khắc Vũ (Có đáp án)

Nội dung text: 100 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Hồ Khắc Vũ (Có đáp án)

1. TUYỂN TẬP 100 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 8 Họ và tên: Lớp: Trường: Người biên soạn: Hồ Khắc Vũ Quảng Nam, tháng 11 năm 2016
2. UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè PHßNG Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o líp 8 thCS - n¨m häc 2007 - 2008 M«n : To¸n §Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 1. xx2 76 2. x42 2008 x 2007 x 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 1. x2 3 x 2 x 1 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 2. 8 x 4 x 22 4 x x x 4 x x x x Bµi 3: (2®iÓm) 1. C¨n bËc hai cña 64 cã thÓ viÕt d•íi d¹ng nh• sau: 64 6 4 Hái cã tån t¹i hay kh«ng c¸c sè cã hai ch÷ sè cã thÓ viÕt c¨n bËc hai cña chóng d•íi d¹ng nh• trªn vµ lµ mét sè nguyªn? H·y chØ ra toµn bé c¸c sè ®ã. 2. T×m sè d• trong phÐp chia cña biÓu thøc x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho ®a thøc xx2 10 21. Bµi 4: (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®•êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §•êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB. 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: . BC AH HC HÕt
3. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2008-2009 Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Làm thế nào để đem được 6 lít nước từ sông về nếu trong tay chỉ có hai cái can, một can có dung tích 4 lít, một can có dung tích 9 lít và không can nào có vạch chia dung tích ? Bài 2: (3 điểm) Một số gồm 4 chữ giống nhau chia cho một số gồm 3 chữ số giống nhau thì được thương là 16 và số dư là một số r nào đó. Nếu số bị chia và số chia đều bớt đi một chữ số thì thương không đổi và số dư giảm bớt 200. Tìm các số đó. Bài 3: (3 điểm) Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n. 1 1 2 4 8 Bài 4: (3 điểm) Tính tổng S = 1 x 1 x 1 x 2 1 x 4 1 x8 Bài 5: (4 điểm) Nhân ngày 1- 6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau: 1 Bạn thứ nhất nhận 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn 11 thứ nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận n cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo. Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A = 200. Trên AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính góc BDC
4. PHÒNG GD &ĐT ĐẠI LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (Năm học 2013-2014) Môn : TOÁN – Thời gian : 150 phút Họ và tên GV ra đề : Hồ Thị Song ĐỀ ĐỀ NGHỊ Đơn vị: Trường THCS Hoàng Văn Thụ Bài 1 : (5 đ) a) Không tính giá trị mỗi biểu thức ,hãy so sánh : 2 2015 2014 20152 20142 và 2015 2014 20152 20142 b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2 – 8)2 + 36 c) Cho ba số hữu tỉ x, y,z đôi một khác nhau . Chứng minh : 1 1 1 là bình phương của một số hữu tỉ. x y 2 y z 2 z x 2 Bài 2 : (5 đ) a 2 b2 c 2 a b c a) Chứng minh bất đẳng thức sau : b2 c 2 a 2 b c a b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 6x 5 9x 2 c) Xác định dư của phép chia đa thức : x19 + x5 – x1995 cho đa thức x2 -1 Bài 3 : (4 đ) Giải các phương trình sau : a) X4 + 6y2 -7 = 0 1 1 1 1 b) 2011x 1 2012x 2 2013x 4 2014x 5 Bài 4 : (4đ) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên BC. Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE. Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G. a) Chứng minh : AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi. b) Chứng minh : AEF ~ CAF và AF2 = FK.FC. c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi.   Bài 5 : (2đ) Cho tam giác ABC có A 2 B . Tính độ dài AB biết AC = 9cm, BC = 12cm.
5. ĐỀ ĐỀ NGHỊ TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG Người ra đề : TRẦN ĐINH TRAI ĐỀ ĐỀ NGHỊ HOC SINH GIỎI Năm học 2013- 2014 Môn TOÁN – Lớp 8 Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) C©u 1 : (2 ®iÓm) 3 2 Cho P = a 4a a 4 a3 7a 2 14a 8 a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn C©u 2: ( 1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n Z. C©u 3 : (2 ®iÓm) 1 1 1 1 a) Gi¶i ph•¬ng tr×nh : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 C©u 4: ( 1 ®iÓm) Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n: a = 1969 1971 ; b = 2 1970 C©u 5: (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB BC CA)2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA'2 BB'2 CC'2
6. xy2 xy 0 y3 1 x 3 1 x 2 y 2 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. H•íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) A 10x2 7x 5 7 b) (0,75đ) Xét 5x 4 (0,25đ) B 2x 3 2x 3 7 Với x Z thì A B khi Z 7 ( 2x – 3) (0,25đ) 23x Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A B (0,25đ) xy44 c) (1,5đ) Biến đổi = x x y y y33 1 x 1 (y33 1)(x 1) x44 y (x y) = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) xy(y22 y 1)(x x 1) x y x y x22 y (x y) = (0,25đ) xy(xy2 2 yx 2 y 2 yx 2 xy y x 2 x 1) 22 = x y (x y 1) (0,25đ) 2 2 2 2 xyxy xy(x y) x y xy 2 22 = x y (x x y y) = x y  x(x 1) y(y 1) (0,25đ) 2 2 2 22 xy x y (x y) 2 xy(x y 3) = x y  x( y) y( x) = x y ( 2xy) (0,25đ) xy(x22 y 3) xy(x22 y 3) 2(x y) = Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) x22 y 3 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ) (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25đ) * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) * x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ) x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1
7. x1x2x3x4x5x6 b) (1,75đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x1 x2 x3 x4 x5 x6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 (0,25đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 11 1111 (x 2009)( ) 0(0,5đ) Vì ; ; 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2005 2007 2004 2006 2003 1 1 1 1 1 1 Do đó : 0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = -2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 E I 2 Bài 3: (2 điểm) 1 a) (1đ) 1 B C 2 F Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân tại D Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) ˆˆ O EF12 0 0 Mà EEFˆ ˆ ˆ = 90 FEFˆ ˆ ˆ = 90 1 2 1 2 2 1 A D EDF= 900. Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 Mà EDF vuông cân DI = EF 2 B Tương tự BI = EF DI = BI I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng D Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) C A DE có độ dài nhỏ nhất E Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) a2 a2 a2 = 2(x – )2 + (0,25đ) 4 2 2 a Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,25đ) 2 BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 1 2 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD – AB.AD) (0,25đ) 2 AB AB2 AB2 AB AB2 AB2 = – (AD2 – 2 .AD + ) + = – (AD – )2 + (0,25đ) 2 4 8 4 2 8
8. 2 2 AB AB 3 2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB không đổi (0,25đ) 2 8 8 2 Do đó min SBDEC = AB khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ) ĐỀ SỐ 20 Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 4x 2 16 A x 2 2 x Bµi 3: Cho ph©n thøc: 5x 5 2x 2 2x a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1. x 2 1 2 Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 x x(x 2) b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n §¸p ¸n BiÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm)
9. Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm) A = x(4x 2 16 x[(2x)2 42 x(2x 4)(2x 4) x.2(x 2).2(x 2) 4(x 2) 4x 8 x 2 2x x 2 2x x(x 2) x(x 2) Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0 2x 0 vµ x + 1 0 x 0 vµ x -1 (1 ®iÓm) b) Rót gän: 5x 5 5(x 1) 5 (0,5 ®iÓm) 2x 2 2x 2x(x 1) 2x 5 5 1 5 2x x (0,25 ®iÓm) 2x 2 5 5 V× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x (0,25 ®iÓm) 2 2 Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x 0; x 2 x(x 2) - (x - 2) 2 - Gi¶i: x2 + 2x – x +2 = 2; x(x 2) x(x 2) 1 ® x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = 1 b) x2 – 9 - 4 1® VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4 Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy §iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1 0,5 ® VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy) - Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) 0,5 ® - Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13 0,5 ® 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 0,5 ® x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ 10 ngµy. 1 ® Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (s¶n phÈm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc) 1 ® b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC 1 ® ta cã : BC = AB 2 AC 2 = 152 202 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn hay 1 ® HB HA BA HB HA 15 20.05 AH = 12 (cm) 25
10. 15.15 1 ® BH = 9 (cm) 25 HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm) BC 25 c) HM = BM – BH = BH 9 3,5(cm) 2 2 1 2 SAHM = AH . HM = . 12. 3,5 = 21 (cm ) 1® 2 - VÏ ®óng h×nh: A 1 ® B H M C ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là HA' HB' HC' trực tâm. a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Chứng minh rằng: 4. AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
11. b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz ( x y z xyz 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A ( (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) 0,25điểm ) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,25điểm) Ta có: abcd k 2 2 với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) 2 abcd 1353 m (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11ho ặ c m–k = 33 m = 67 m = 37 hoặc
12. k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) A 1 .HA'.BC C’ SHBC 2 HA' B’ x a) ; H S 1 AA' N ABC .AA'.BC M 2 I A’ C (0,25điểm) B SHAB HC' S HB' D Tương tự: ; HAC SABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0, 5đi ểm ) BI.AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
13. (AB BC CA)2 2 2 2 4 AA' BB' CC' (0,25đi ểm) (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) §Ò SỐ 22 C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. 4 3 2 b, B = n 3n 2n 6n 2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n2 2 c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph•¬ng. (n 2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a, 1 biÕt abc=1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b2 c 2 c b a c, b2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph•¬ng tr×nh sau: x 214 x 132 x 54 a, 6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d•¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®•êng chÐo.Qua 0 kÎ ®•êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 b. Chøng minh: AB CD EF c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®•êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF. C©u Néi dung bµi gi¶i §iÓm a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) 0,5 §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 n=2 khi ®ã A=5 0,5 2 2 b, (2®iÓm) B=n +3n- 2 0,5 n 2 B cã gi¸ trÞ nguyªn 2 n2+2 2 0,5 C©u 1 n +2 lµ •íc tù nhiªn cña 2 0,5 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n (5®iÓm) 0,5 HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.
14. c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n2 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n- 0,5 1)(n+1)+2 0,5 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ 5 n(n-1)(n+1 5 VËy D chia 5 d• 2 0,5 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh ph•¬ng 0,5 VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph•¬ng a b c a, (1®iÓm) ab a 1 bc b 1 ac c 1 ac abc c 0,5 abc ac c abc 2 abc ac ac c 1 ac abc c abc ac 1 0,5 = 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 abc ac 1 b, (2®iÓm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= - 0.5 2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× 0.5 C©u 2 a+b+c=0 0.5 (5®iÓm) a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× 0.5 a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 0,5 c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 2xy DÊu b»ng khi 0,5 x=y 0,5 a 2 b2 a b a a 2 c 2 a c c 2. . 2. ; 2. . 2. ; b2 c 2 b c c b2 a 2 b a b c 2 b2 c b b 0,5 2. . 2. a 2 c 2 a c a Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: a 2 b2 c2 a c b 2( ) 2( ) b2 c2 a 2 c b a a 2 b2 c2 a c b b2 c2 a 2 c b a x 214 x 132 x 54 a, (2®iÓm) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 0 1,0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 0,5 86 84 82 1 1 1 0,5 (x-300) 0 x-300=0 x=300 VËy S = 300 86 84 82
15. b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 0,5 C©u 3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 0,5 (5®iÓm) k=± 8,5 Víi k=8,5 tacã ph•¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; 0,5 1 1 x= ; x 2 4 0,5 Víi k=- 8,5 Ta cã ph•¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm. 1 1 VËy S = ,  2 4  c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 0,5 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d•¬ng 0,5 Nªn x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 vµ x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph•¬ng tr×nh cã nghiÖm d•¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1) a,(1®iÓm) V× AB//CD S DAB=S CBAA B 0,5 (cïng ®¸y vµ cïng ®•êng cao) 0,5 S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O E F Hay SAOD = SBOC I M N 0,5 C D 1,0 0,5 EO AO b, (2®iÓm) V× EO//DC MÆt kh¸c AB//DC 1,0 C©u 4 DC AC AB AO AB AO AB AO EO AB (5®iÓm) DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC 1,0 EF AB AB DC 2 1 1 2 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +KÎ ®•êng th¼ng KN lµ ®•êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN.
16. Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8 www.PNE.edu.vn §Ò sè 1: (líp 8) Bµi 1: (2 ®iÓm) 4 Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 .1,25) 31,64 5 (11,81 8,19).0,02 B 9 :11,25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A 101998 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®•êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. TÝnh qu·ng ®•êng mçi ng•êi ®i tíi lóc gÆp nhau ? C©u 3: a) Cho f (x) ax2 bx c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. Chøng tá r»ng: f ( 2). f (3) 0 . BiÕt r»ng 13a b 2c 0 2 b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 6 x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB. a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 0 9 89 96 51 91 A 19 2
17. Các bộ tài liệu Ôn thi HSG Toán Lớp 8 www.PNE.edu.vn §Ò sè 1 Bµi 1: (2 ®iÓm) 1) Chøng minh r»ng nÕu P vµ 2P + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× 4P + 1 lµ hîp sè. 2) H·y t×m BSCNN cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp. Bµi 2: (2 ®iÓm) H·y thay c¸c ch÷ sè vµo c¸c ch÷ c¸i x, y trong N 20x0y04 ®Ó N chia hÕt cho 13. Bµi 3: (2 ®iÓm) Vßi n•íc I ch¶y vµo ®Çy bÓ trong 6 giê 30 phót. Vßi n•íc II ch¶y vµo ®Çy bÓ trong 11 giê 40 phót. NÕu vßi n•íc I ch¶y vµo trong 3 giê; vßi n•íc II ch¶y vµo trong 5 giê 25 phót th× l•îng n•íc ch¶y vµo bÓ ë vßi nµo nhiÒu h¬n. Khi ®ã l•îng n•íc trong bÓ ®•îc bao nhiªu phÇn tr¨m cña bÓ. Bµi 4: (2 ®iÓm) B¹n HuÖ nghÜ ra mét sè cã ba ch÷ sè mµ khi viÕt ng•îc l¹i còng ®•îc mét sè cã ba ch÷ sè nhá h¬n sè ban ®Çu. NÕu lÊy hiÖu gi÷a sè lín vµ sè bÐ cña hai sè ®ã th× ®•îc 396. B¹n Dung còng nghÜ ra mét sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn. Hái cã bao nhiªu sè cã tÝnh chÊt trªn, h·y t×m c¸c sè Êy. Bµi 5: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: mét sè cã ch½n ch÷ sè chia hÕt cho 11 th× hiÖu gi÷a tæng c¸c ch÷ sè “ ®øng ë vÞ trÝ ch½n” vµ tæng c¸c ch÷ sè ®øng ë “vÞ trÝ lΔ, kÓ tõ tr¸i qua ph¶i chia hÕt cho 11. (BiÕt 102n 1 vµ 102n 1 1 chia hÕt cho 11)
18. Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lớp 8 www.PNE.edu.vn §Ò sè 1 (t0¸n 8) Bµi 1: (3 ®iÓm) 1 3 x 2 1 A : Cho biÓu thøc 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó A < -1. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: (2 ®iÓm) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 1 6y 2 a) 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y x 3 x 6 x 1 1 . 3 2 b) x 2 4 3 2 2 Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn l•ît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®•êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt AMPN ( M AB vµ N AD). Chøng minh: a) BD // MN. b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho a = 11 1 (2n ch÷ sè 1), b = 44 4 (n ch÷ sè 4). Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph•¬ng.