15 Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung text: 15 Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x 2 2 x x 2 3 x A ( ) : ( ) 2 x x 2 4 2 x 2 x 2 x 3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0
2. a 3,0 ĐKXĐ : 2 x 0 2 x 4 0 x 0 1,0 2 x 0 x 2 2 x 3 x 3x 0 2 3 2x x 0 2 x 4x2 2 x x2 3x (2 x)2 4x2 (2 x)2 x2 (2 x) A ( ) : ( ) . 1,0 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 (2 x)(2 x) x(x 3) 4x2 8x x(2 x) . 0,5 (2 x)(2 x) x 3 4x(x 2)x(2 x) 4x2 0,25 (2 x)(2 x)(x 3) x 3 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A . 0,25 x 3 b 1,0 4x2 Với x 0, x 3, x 2 : A 0 0 0,25 x 3 x 3 0 0,25 x 3(TMDKXD) 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 x 7 4 x 7 4 0,5 x 7 4 x 11(TMDKXD) 0,25 x 3(KTMDKXD) 121 Với x = 11 thì A = 0,25 2 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 b 2,5 a b c ayz+bxz+cxy Từ : 0 0 0,5 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 0,25 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 0,5 a b c a b c
3. x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 0,5 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 0,5 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) 0,25 a2 b2 c2 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO(g c g) 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: ·ABC ·ADC H· BC K· DC 0,5 Chứng minh : CBH : CDK(g g) 1,0 CH CK CH.CD CK.CB 0,5 CB CD b, 1,75 Chứng minh : AFD : AKC(g g) 0,25 AF AK AD.AK AF.AC 0,25 AD AC Chứng minh : CFD : AHC(g g) 0,25 CF AH 0,25 CD AC CF AH Mà : CD = AB AB.AH CF.AC 0,5 AB AC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 0,25 (đfcm). ĐỀ SỐ 2 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4 4
4. x 2 x 3 x 4 x 5 24 b. Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 a b c a2 b2 c2 c. Cho 1. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b x 2 1 10 x2 Câu2. ho biểu thức: C A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A (6 điểm) x2 x 1 x 5 x 6 0 (*) 1 3 Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0 x 2 4  (*) (x - 5)(x + 6) = 0 x 5 0 x 5  x 6 0 x 6 (2 điểm) a b c c. Nhân cả 2 vế của: 1 b c c a a b với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm)
5. x 2 1 10 x2 Biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rút gọn được kq: A x 2 (1.5 điểm) 1 1 1 Câu 2 b. x x hoặc x (6 điểm) 2 2 2 4 4 A hoặc A 3 5 (1.5 điểm) c. A 0 x 2 (1.5 điểm) 1 d. A Z Z x 1;3 (1.5 điểm) x 2 E HV + GT + KL A B (1 điểm) F M D C Câu 3 a. Chứng minh: AE FM DF (6 điểm) AED DFC đpcm (2 điểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm) c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi SAEMF ME.MF lớn nhất ME MF (AEMF là hình vuông) M là trung điểm của BD. (1 điểm) 1 b c 1 a a a 1 a c a. Từ: a + b + c = 1 1 b b b 1 a b 1 c c c Câu 4: (1 điểm) (2 điểm) 1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9 1 Dấu bằng xảy ra a = b = c = 3 b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (1 điểm)  (a+ b) – ab = 1
6. 1 1 Chứng minh tương tự ON. ( ) 1 0,5đ AB CD 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON). ( ) 2 0,5đ AB CD AB CD MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5đ , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD S BOC 0,5đ 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 0,5đ 2 2 2 Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do đó SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 (đơn vị 0,5đ DT) ĐỀ SỐ 6 Bài 1: 2 2 2 2 2 Cho x = b c a ; y = a (b c) 2bc (b c)2 a2 Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: a, 1 = 1 + 1 + 1 (x là ẩn số) a b x a b x 2 2 2 b, (b c)(1 a) + (c a)(1 b) + (a b)(1 c) = 0 x a2 x b2 x c2 (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Bài 3: Xác định các số a, b biết: (3x 1) = a + b (x 1)3 (x 1)3 (x 1)2 Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Bài 5: Cho ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C ĐỀ SỐ 7 Bài 1: (2 điểm) 2 1 1 1 x 1 Cho biểu thức:A 3 1 2 2 1 : 3 x 1 x x 2x 1 x x a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm)
7. a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2 Bài 3 (1,5 điểm): Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (3,5 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK. b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5 (1 điểm): Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6. ĐỀ SỐ 8 Bài 1: (3 điểm) 1 3 x 2 1 Cho biểu thức A : 2 2 3 x 3x 27 3x x 3 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: 1 6y 2 a) 3y 2 10y 3 9y 2 1 1 3y x 3 x 6 x 1 1 . 3 2 b) x 2 4 3 2 2 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11 1 (2n chữ số 1), b = 44 4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.
8. ĐỀ SỐ 9 Bài 1: (2điểm) 3x 2 y 1 a) Cho x 2 2xy 2y2 2x 6y 13 0 .Tính N 4xy b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương: A a3 b3 c3 3abc Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: a b b c c a c a b A 9 c a b a b b c c a Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6 3x 2 1 y4 ĐỀ SỐ 10 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011 2 2 2 2 2 2 Biết x,y,z thoả mãn: x y z = x + y + z a2 b2 c2 a2 b2 c2 Bài 3: 1 1 4 a, Cho a,b > 0, CMR: + a b a b b, Cho a,b,c,d > 0 a d d b b c c a CMR: + + + 0 d b b c c a a d Bài 4:
9. 2 2 a, Tìm giá trị lớn nhất: E = x xy y với x,y > 0 x2 xy y2 b, Tìm giá trị lớn nhất: M = x với x > 0 (x 1995)2 Bài 5: a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Bài 6: Cho VABC M là một điểm miền trong của VABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B là hình bình hành. b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b c) 2 (b c) b(c a) 2 (c a) c(a b) 2 (a b) 1 1 1 b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 0 a b c 1 1 1 Rút gọn biểu thức: N a 2 2bc b 2 2ca c 2 2ab Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 2 y 2 xy x y 1 b) Giải phương trình: (y 4,5) 4 (y 5,5) 4 1 0 Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:3x 2 5y 2 345 ĐỀ SỐ 12 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) x x - 3x + 4 x -2 với x 0
10. Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: a b 2c A ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a b 0 ab Tính: P 4a 2 b 2 Bài 4 : (3điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ABC để cho AEMF là hình vuông. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. Đề SỐ 13 Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích thành thừa số: (a b c)3 a 3 b3 c 3 3 2 b) Rút gọn: 2x 7x 12x 45 3x 3 19x 2 33x 9 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: A n3 (n 2 7) 2 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước. b) Giải phương trình: 2 x a x 2a 3a (a là hằng số). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So sánh hai tam giác ABC và INC. c) Chứng minh: góc MIN = 900. d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC. Bài 5: (1 điểm)
11. Chứng minh rằng số: 22499 9100  09 là số chính phương. ( n 2). n-2 sè 9 n sè 0 Đề SỐ 14 Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x 4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức : x2 6 1 10 x2 P = : x 2 3 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn p . 3 b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 4 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên . Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3ñieåm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . ĐỀ SỐ 15 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
12. b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng x y 2 x y 0 y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. H­íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) A 1 0 x 2 7 x 5 7 b) (0,75đ) Xét 5 x 4 (0,25đ) B 2 x 3 2 x 3 7 Với x Z thì A  B khi Z 7  ( 2x – 3) (0,25đ) 2x 3 Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A  B (0,25đ) x y 4 4 c) (1,5đ) Biến đổi = x x y y y3 1 x3 1 (y3 1)(x3 1) x 4 y4 (x y) = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) xy(y2 y 1)(x 2 x 1) x y x y x 2 y2 (x y) = (0,25đ) xy(x 2 y2 y2x y2 yx 2 xy y x 2 x 1) 2 2 = x y (x y 1) (0,25đ) 2 2 2 2 xy x y xy(x y) x y xy 2 2 2 = x y (x x y y) = x y x(x 1) y(y 1) (0,25đ) 2 2 2 2 2 xy x y (x y) 2 xy(x y 3) = x y x( y) y( x) = x y ( 2xy) (0,25đ) xy(x 2 y2 3) xy(x 2 y2 3) = 2(x y) Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) x 2 y2 3 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ) (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25đ) * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) * x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)
13. x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) (1,75đ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x 2009)( ) 0(0,5đ) Vì ; ; 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2005 2007 2004 2006 2003 1 1 1 1 1 1 Do đó : 0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = -2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân tại D ˆ ˆ Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) E1 F2 Mà ˆ ˆ ˆ = 900 ˆ ˆ ˆ = 900 E1 E2 F1 F2 E2 F1 EDF = 900. Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 Mà EDF vuông cân DI = EF 2 1 Tương tự BI = EF DI = BI 2 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) a2 a2 a2 = 2(x – )2 + (0,25đ) 4 2 2 a Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,25đ) 2 a BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) 2 b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 1 1 1 1 2 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 2 1 AB AB2 AB2 1 AB AB2 AB2 = – (AD2 – 2 .AD + ) + = – (AD – )2 + (0,25đ) 2 2 4 8 2 4 2 8
14. 2 2 AB AB 3 2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB không đổi (0,25đ) 2 8 8 3 2 Do đó min SBDEC = AB khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ) 8 ĐỀ SỐ 16 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) HA' HB' HC' Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Chứng minh rằng: 4 . AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
15. Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A ( 0,25điểm ) (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,25điểm) Ta có: abcd k2 2 với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k2 abcd 1353 m2 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 hoặc k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) • Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 A .HA'.BC SHBC 2 HA' a) ; (0,25điểm) S 1 AA' C’ ABC B’ x .AA'.BC H N 2 M SHAB HC' S HB' I HAC A’ C Tương tự: ; B (0,25điểm) SABC CC' SABC BB' D HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 (0,25điểm) AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI.AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
16. -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA)2 4 (0,25điểm) AA'2 BB'2 CC'2 (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều)