15 Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: 15 Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 1 MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút 212.35 46.92 510.73 255.492 Bài 1:( 3 điểm) a) Thực hiện phép tính: A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 1 4 2 Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết: x 3,2 3 5 5 a c a2 c2 a Bài 3: (2 điểm) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng 0 0 c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE 50 ;M· EB 25 . Tính H· EM và B· ME ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 2 MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút 1 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: a) .16n 2n ; b) 27 < 3n < 243 8 1 1 1 1 1 3 5 7 49 Bài 2. Thực hiện phép tính: ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài 3. a) Tìm x biết: 2x 3 x 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 3 MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút x y a / ; xy=84 Câu 1: Tìm các cặp số (x; y) biết: 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x x2 15 Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = x 1 +5 ; B = x2 3 Trang 1
2. Câu 3: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a, Chứng minh: DC = BE và DC  BE b, Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. C/minh: AB = ME và ABC= EMA Chứng minh: MA  BC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 4 MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút 3 2 2 3 2003 2 . . 1 1 1 1 3 4 Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : a- 6. 3. 1 : ( 1 ; b- 2 3 3 3 3 2 5 . 5 12 a 2 a 3 Câu 2 ( 2 điểm) a, Tìm số nguyên a để là số nguyên; b, Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0 a 1 a c Câu 3 ( 2 điểm) a, Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0 b d b, Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để được một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=2CB . Tính góc ADE Câu 5 ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 5 MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút 200 1000 1 1 163.310 120.69 Bài 1: a) So sánh hợp lý: và ; b) Tính A = 16 2 46.312 611 c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z Bài 2: Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 x 1 x 2 x 3 x 4 c) x 3 8 20 d) 2009 2008 2007 2006 Bài 3: Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 x y z b) và x2 + y2 + z2 = 116 2 3 4 Bài 4 : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x1, x 2 là hai giá trị bất kì của x; y1, y2 là hai giá trị tương 2 2 ứng của y.Tính y1, y2 biết y1 + y2 = 52 và x1=2 , x 2= 3. b) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d Z Biết f (1)3; f (0)3; f ( 1)3.Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 n 2 n 2 n n c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3 2 3 2 chia hết cho 10 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi. c) Đường thẳng Dn vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 6 MÔN TOÁN LỚP 7 Trang 2
3. Thời gian: 120 phút Câu 1. Tìm x biết: a) 3x 1 5.3x 1 162 b) 3x +x2 = 0 c) (x-1)(x-3) 0) 2b 2c 2d 2a 2011a 2010b 2011b 2010c 2011c 2010d 2011d 2010a Tính A = c d a d a b b c Câu 3. a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2. 27 2x b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x nguyên) 12 x Câu 4. a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đối nhau. 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 3 2 y 3 2007 Câu 5. Cho ABC vuông tại A. M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC. a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b) Chứng minh KN 4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + 8 -x Câu 4: Biết rằng :12+22+33+ +102= 385. Tính tổng : S= 22+ 42+ +202 Câu 5 : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại D. a. Chứng minh AC=3 AD b. Chứng minh ID =1/4BD ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ 8 MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 120 phút 3 a b c a b c a Câu 1 . ( 2đ) Cho: . Chứng minh: . b c d b c d d a c b Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng: A = . b c a b c a Câu 3. (2đ). Tìm x Z để A Z và tìm giá trị đó. x 3 1 2x a). A = . b). A = . x 2 x 3 Trang 3
4. + Với x = - ; y = -1 A = - (0,5đ) + Với x = ; y = -1 A= - (0,5đ) Bài 2: (2 điểm) + Từ + = 2 (2 – x)( + ) = 0 x = 2 (0,75đ) + Thay x = 2 = = = = = 2. (1đ) + x + y + z = 100 (0,25đ) Bài 3: (2 điểm) + Biến đổi được: x(2y + 3) = 4 (0,5đ) + Chỉ ra được x, y Z x Ư(4) và 2y + 3 lẻ (0,5đ) + Lập bảng. (1đ) x -4 -2 -1 1 2 4 2y + 3 -1 -2 -4 4 2 1 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm). a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 đpcm. (0,5đ) (hoặc tính được P(1) = 0 đpcm). b) + Rút được: + x = 3 (1) (0,25đ) + Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1 = 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1 (1đ) + Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ) (Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm) Bài 5: (2,5 điểm) + Hình vẽ (phục vụ được câu 1): (0,25đ) a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của BEC (0,5đ) F trung trực BC BFC cân (0,5đ) (học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm). K F b) + Tính được EBC = 15 . (0,5đ) + Hạ FK AB FKB = FHC (ch + cgv) B (0,75đ) BFC vuông cân FBC = 45 . (0,25đ) + Kết luận BFE đều. (0,25đ) A F H C ĐÁP ÁN ĐỀ 10 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN Trang 19
5. Bài 1: (1điểm) 0,5đ = = và x, y, z N, x ≠ 0 = = 0,25đ 0,25đ = = = = = 1 x = 2; y = 3; z = 5. Vậy = 235 Bài 2: (1,5 điểm) 0,5đ Ta có: + + + ac + = + ab + (vì 9 + 16 = 25) 0,25đ Suy ra: 2 = a(b – c) 0,25đ = (vì a ≠ 0; c ≠ 0) 0,5đ = = = (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0) Bài 3: (2,5điểm) 0,5đ a/ (1 điểm) f(x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9 là đa thức bậc 3 0,25đ 0,25đ biến x khi: - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0 m = 5 và m ≠ -5 Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x. b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 - 72 + 90 = - 2.4 .9 + + 9 0,25đ 0,25đ g(x) = + 9 Với mọi giá trị của x ta có: ≥ 0 g(x) = + 9 ≥ 9. 0,25đ Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9 0,25đ Khi và chỉ khi = 0 - 9 = 0 = 9 = x = . 0,5đ Bài 4: (2 điểm) Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r 0,5đ 5a r 5a + r 112 : 6 a ≥ 19 (2) Từ (1) và (2) a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số: a 19 20 21 22 0,5đ r = 112 – 5a 17 12 7 2 Bài 5: (3 điểm) a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn) 0,25đ suy ra: CH = CF. Kết luận FCH cân tại C. 0,25đ -Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh FIG cân tại I. 0,25đ Trang 20
6. - Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK. 0,25đ - Chứng minh AHK = IGK (g-c-g). 0,25đ - Suy ra AK = KI 0,25đ b/ (1,5 điểm) Vẽ OE  AB tại E. Tương tự câu a ta có: AEH, BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH. 0,5đ BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: ABI cân tại B. 0,5đ Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng. 0,5đ A E H K OG B F I C ĐÁP ÁN ĐỀ 11 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN Bài 1: (2,0 điểm) 28 7x = 28 4y 0,25 x y x y 0,25 4 7 4 7 x y 22 2 x 8; y 14 0,25 4 7 11 x y x y y z y z x y z ; (1) 0,25 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 2x 3y 4z 2x 3y 4z (1) 0,25 30 60 96 30 60 96 3x 4y 5z 3x 4y 5z (1) 0,25 45 80 120 45 80 120 2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x : = : 0,25 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 . 1 M 0,25 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 Bài 2: ( 2,0 điểm) Ta có 2H = 22011 22010 22009 22 2 0,25 2H-H = 22011 22010 22010. 22009 22009 22 22 2 2 1 0,25 H = 22011 2.22010 1 0,25 H 22011 22011 1 1 2010H = 2010 0,25 Thực hiện tính: 0,25 Trang 21
7. 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 M = 1 . . 2 2 3 2 4 2 16 2 2 3 4 5 17 . 0,25 2 2 2 2 2 1 1 2 3 17 1 0,25 2 1 17.18 1 76 0,25 2 2 Bài 3: ( 2,5 điểm) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . . 4 x 0,25 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 1.2.3.4 30.31 22x 0,25 1.2.3.4 30.31.230.26 1 22x x 18 0,25 236 4.45 6.65 . 8 x 0,25 3.35 2.25 46 66 . 23x 0,25 36 26 6 6 6 4 . 23x 0,25 3 2 212 23x x 4 0,25 3 11 x < - -(4x +3) – (1-x) =7 x = - ( Thỏa mãn) 0,25 4 3 3 - x < 1 4x+3 – (1-x) = 7 x = 1 ( Loại) 0,25 4 x 1 4x+ 3 – (x -1) = 7 x= 1 ( Thỏa mãn) 0,25 Bài 4: ( 3,5 điểm) Câu a: 0,75 điểm Hình vẽ: 0,25 BEH cân tại B nên E = H1 0,25 ABC = E + H1 = 2 E 0,25 A ABC = 2 C BEH = ACB Câu b: 1,0 điểm 1 Chứng tỏ được DHC cân tại D nên DC = D 0,25 DH. DAH có: 0 0,25 DAH = 90 - C B 2 1 C 0 0 0,25 H B’ DHA = 90 - H2 =90 - C DAH cân tại D nên DA = DH. 0,25 E Trang 22
8. Câu c: 0,75 điểm 0,25 ABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C 0,25 B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,25 C = A1 AB’C cân tại B’ Câu d: 0,75 điểm AB = AB’ = CB’ 0,25 BE = BH = B’H 0,25 Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H 0,25 AE = HC ĐÁP ÁN ĐỀ 12 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 10 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 5 .74 A 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 22.3 84.35 125.7 59.143 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 212.34. 3 1 510.73. 1 7 212.35. 3 1 59.73. 1 23 212.34.2 510.73. 6 212.35.4 59.73.9 1 10 7 6 3 2 b) (2 điểm) 3n 2 2n 2 3n 2n = 3n 2 3n 2n 2 2n =3n (32 1) 2n (22 1) =3n 10 2n 5 3n 10 2n 1 10 = 10( 3n -2n) Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n  10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) Trang 23
9. 1 4 2 1 4 16 2 x 3,2 x 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 x 3 5 5 1 1 x 2 x 2 3 3 x 1 2 3 x 2 1 7 3 3 x 2 1 5 3 3 b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 1 10 x 7 1 x 7 0 x 7 x 1 1 x 7 10 0 x 1 x 7 0 1 (x 7)10 0 x 7 0 x 7 10 (x 7) 1 x 8 Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 Theo đề bài ta có: a : b : c = : : (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c 2 3 k Từ (1) = k a k;b k;c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 4 9 1 Do đó (2) k 2 ( ) 24309 25 16 36 k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 . Trang 24
10. b) (1,5 điểm) a c Từ suy ra c2 a.b c b a2 c2 a2 a.b khi đó b2 c2 b2 a.b a(a b) a = b(a b) b Bài 4: (4 điểm) a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : A AM = EM (gt ) · · AMC = EMB (đối đỉnh ) I BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) B M C AC = EB H Vì AMC = EMB M· AC = M· EB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng K AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . E b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) M· AI = M· EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra ·AMI = E· MK Mà ·AMI + I·ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E· MK + I·ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ = 90o ) có H· BE = 50o H· BE = 90o - H· BE = 90o - 50o =40o H· EM = H· EB - M· EB = 40o - 25o = 15o B· ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM A Nên B· ME = H· EM + M· HE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) Bài 5: (4 điểm) 200 a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) M suy ra D· AB D· AC Do đó D· AB 200 : 2 100 b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên D ·ABC (1800 200 ) : 2 800 ABC đều nên D· BC 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD 800 600 200 . B C Trang 25
11. Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B· AM ·ABD 200 ; ·ABM D· AB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC ĐÁP ÁN ĐỀ 13 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN Câu1: (3 điểm) 219.273 15.49.94 219.39 3.5.218.38 218.39.(2 5) 1 A (mỗi bước đúng 1điểm) 69.210 1210 29.39.210 (22.3)10 219.39.(1 6) 2 Câu 2: 4 điểm. (Phân tích đúng 1 bước 1điểm) P 3x 1 3x 2 3x 3 3x 4 3x 5 3x 6 3x 7 3x 8 3x 97 3x 98 3x 99 3x 100 3x. 3 32 33 34 3x 4. 3 32 33 34 3x 96. 3 32 33 34 3x.120 3x 4.120 3x 96.120 120. 3x 3x 4 3x 96 120 Câu 3: 4 điểm. Vẽ đồ thị 1điểm a) x 0 4 x 0 5 (mỗi bảng 0,25điểm) 5 4 y x 0 5 y x 0 -4 4 5 Đồ 5 thị y x là đường thẳng qua điểm 4 O(0;0) và điểm A(4;5) (0,25điểm) 4 Đồ thị y x là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm B(5;-4) (0,25điểm) 5 b) Cần chứng minh OA  OB y Xét ∆OMA và ∆ONB có: OM ON 5 5 M A M¶ Nµ 90  OMA ONB (c.g.c) (1điểm) MA NB 4  · ·  AOM BON  B· OA B· ON ·AON 90 (1điểm) mà ·AOM ·AON 90 N  O 5 4 x Vậy OA  OB Câu 4: 4,5 điểm a) Chứng minh ∆BME đều -4 ∆ABC cân (gt), µA 100 ·ABC Cµ 40 (0,25đ) B CB CE BCE cân tại C (0,25đ) Cµ 40 B· EC E· BC 70 (0,25đ) E E· BM E· BC M· BC 70 10 60 (1) (0,25đ) M· CE B· CE M· CB 40 20 20 (0,25đ) A M 0 0 B 10 20 C Trang 26
12. CE CB  Vì M· CE M· CB 20  MCE MCB (c.g.c) (1đ) CM chung  ME MB EMB cân tại M (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) BME đều. (0,25đ) b) ·ABM ·ABC M· BC 40 10 30 (0,25đ) ·ABE E· BM ·ABM 60 30 30 (0,25đ) BE BM  ·ABE ·ABM 30  ABE ABM (c.g.c) Vì (1,25đ) BM chung  ·AMB ·AEB 70 5. a) ∆IKC có MI =MK và NK= NC (gt) (0,5đ) Nên CM và IN là hai trung tuyến. (0,25đ) A Mà CM cắt IN tại O nên O là trọng tâm. (0,25đ) b) ∆AMI và ∆CMK có MI = MK (gt) (0,25đ) ¶ ¶ K M1 M 2 (đđ); MA = MC (gt) (0,5đ) M Nên ∆AMI = ∆CMK (c.g.c) (0,25đ) 1 2 1 Kµ Iµ và AI = KC (1) (0,25đ) I N 1 o 1 2 ∆ABC có I là trọng tâm IE AI (2) (0,25đ) 2 E C 1 B Mặt khác KN KC (3) (0,25đ) 2 Từ (1), (2) và (3) KN = IE (0,25đ) ∆IBE và ∆KIN có KN = IE (cmt) (0,25đ) µ µ µ K I2 ( I1) ; IB =IK (0,25đ) Nên ∆IBE = ∆KIN (c.g.c) (0,25đ) 1 1 IN BE mà BE BC IN BC (4) (0,25đ) 2 2 2 ∆IKC có O là trọng tâm nên IO IN (5) (0,25đ) 3 2 1 1 Từ (4) và (5) IO . BC BC (0,25đ) 3 2 3 ĐÁP ÁN ĐỀ 14 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN Câu 1: Mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1= 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d +, Nếu a+b+c+d 0 thì a = b = c = d lúc đó M = 1+1+1+1=4 +, Nếu a+b+c+d = 0 thì a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c), lúc đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4. Câu 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c). Trang 27
13. Vì 0 S không thể là số chính phương. Câu 3: Quãng đường AB dài 540 Km; nửa quảng dường AB dài 270 Km. Gọi quãng đường ô tô và xe máy đã đi là S1, S2. Trong cùng 1 thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận S S gian với vận tốc do đó 1 2 t (t chính là thời A M B cần tìm). V1 V2 270 a 270 2a 540 2a 270 2a (540 2a) (270 2a) 270 t= ;t 3 65 40 130 40 130 40 90 Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M. Câu 4: a, Tia CO cắt AB tại D. · · µ ¶ +, Xét BOD có BOC là góc ngoài nên BOC = B1 D1 A ¶ µ µ +, Xét ADC có góc D1 là góc ngoài nên D1 A C1 · µ µ µ Vậy BOC = A C1 + B1 D µA µA µA b, Nếu ·ABO ·ACO 900 thì B· OC = µA 900 900 2 2 2 O C Xét BOC có: B µA Bµ C¶ 1800 Oµ B¶ 1800 900 2 2 2 2 µA Bµ 1800 Cµ Cµ C¶ 900 900 2 2 2 2  tia CO là tia phân giác của góc C. Câu 5: Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng đã cho. 9 đường thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung, mỗi góc này tương ứng bằng góc giữa hai đường thẳng trong số 9 đương thẳng đã cho. Tổng số đo của 18 góc đỉnh O là 3600 do đó ít nhất có 1 góc không nhỏ hơn 3600 : 18 = 200, từ đó suy ra ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200. Câu 6: Tổng số điểm ghi ở hai mặt trên của hai con súc sắc có thể là: 2 = 1+1 3 = 1+2 = 2+1 4 = 1+3 =2 +2 = 3+1 5 = 1+4 =2+3=3+2=4+1. 6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1 7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1 8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2 9=3+6=4+5=5+4=6+3 10=4+6=5+5=6+4 11=5+6=6+5 12=6+6. Trang 28
14. §iÓm sè (x) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TÇn sè( n) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 TÇn suÊt (f) 2,8% 5,6% 8,3% 11,1% 13,9% 16,7% 13,9% 11,1% 8,3% 5,6% 2,8% Như vậy tổng số 7 điểm có khả năng xảy ra nhất tới 16,7% ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN Bài Cách giải Tổng (a b)( x y) (a y)(b x) a( x y) b( x y) a(b x) y(b x) A = = abxy(xy ay ab by) abxy(xy ay ab by) ax ay bx by ab ax by xy ay bx ab xy = = abxy(xy ay ab by) abxy(xy ay ab by) 1 (xy ay ab by) 1 2,5 = = abxy(xy ay ab by) abxy 1 3 1 Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1 ta được: A = 1 1 3 3 2 ( 2) 1 3 2 Ta có: 0 0 nên ta được: 3 a3 a6 a9 Gọi diện tích, chiều dài, chiều rộng của các mảnh đất A, B, C theo thứ tự là SA, dA, rA, SB, SA 4 SB 7 dB, rB, SC, dC, rC. Theo bài ra ta có: ; ; dA = dB ; rA + rB = 27(m) ; rB = rC SB 5 SC 8 ; dC = 24(m) Hai hình chữ nhật A và B có cùng chiều dài nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với các SA 4 rA rA rB rA rB 27 chiều rộng. Ta có: 3 rA = 12(m) ; rB = 15(m) S 5 r 4 5 4 5 9 3 B B 4,5 = rC Hai hình chữ nhật B và C có cùng chiều rộng nên các diện tích của chúng tỉ lệ thuận với SB 7 dB 7dC 7.24 các chiều dài. Ta có: dB = 21 (m) = dA SC 8 dC 8 8 2 Do đó: SA = dA.rA = 21. 12 = 252 (m ) 2 SB = dB. rB = 21. 15 = 315 (m ) 2 SC = dC. rC = 24. 15 = 360 (m ) 4x 7 4(x 2) 1 1 a) Ta có: A = = 4 Với x Z thì x - 2 Z. x 2 x 2 x 2 1 Để A nguyên thì nguyên. x - 2 là ước của 1 x 2 Ta có: x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1. Do đó: x = 3 hoặc x = 1 4 Vậy để A nguyên thì x = 3 hoặc x = 1 3 3x2 9x 2 3x(x 3) 2 2 +) B = = 3x x 3 x 3 x 3 Với x Z thì x - 3 Z. 2 Để B nguyên thì nguyên. x - 3 là ước của 2 x 3 Trang 29
15. Ta có: x - 3 = 2 hoặc x - 3 = 1. Do đó x = 5 ; x = 1 ; x = 4 ; x = 2 Vậy để B nguyên thì x = 5 hoặc x = 1 hoặc x = 4 hoặc x = 2 b) Từ câu a) suy ra: Để A và B cùng nguyên thì x = 1 ABC có AB = AC. A GT DB = CE (D tia đối của CB; E tia đối của BC) a) ADE cân b) MB = MC, chứng minh AM H K KL là tia phân giác góc DAE M c) BH  AD = H; CK  AE = K D B C E chứng minh: BH = CK O d) AM BH CK tại 1 điểm Chứng minh: a) ABC cân có AB = AC nên: A· C A· C Suy ra: A· D A· CE Xét ABD và ACE có: AB = AC (gt) A· D A· CE (CM trên) DB = CE (gt) Do đó ABD = ACE (c - g - c) AD = AE (2 cạnh tương ứng). Vậy ADE cân tại A. 5 b) Xét AMD và AME có: 8 MD = ME (Do DB = CE và MB = MC theo gt) AM: Cạnh chung AD = AE (CM trên) Do đó AMD = AME (c - c - c) M· AD M· AE . Vậy AM là tia phân giác của D· AE c) Vì ADE cân tại A (CM câu a)). Nên ·ADE ·AED Xét BHD và CKE có: B· DH C· EK (Do ·ADE ·AED ) DB = CE (gt) BHD = CKE (Cạnh huyền- góc nhọn). Do đó: BH = CK. d) Gọi giao điểm của BH và CK là O. Xét AHO và AKO có: OA: Cạnh chung AH = AK (Do AD = AE; DH = KE (vì BHD = CKE )) AHO = AKO (Cạnh huyền- Cạnh góc vuông) Do đó O· AH O· AK nên AO là tia phân giác của K· AH hay AO là tia phân giác của D· AE . Mặt khác theo câu b) AM là tia phân giác của D· AE . Do đó AO  AM, suy ra 3 đường thẳng AM; BH; CK cắt nhau tại O. Trang 30