22 Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung text: 22 Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x 2 2 x x 2 3 x A ( ) : ( ) 2 x x 2 4 2 x 2 x 2 x 3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0
2. a 3,0 ĐKXĐ : 2 x 0 2 x 4 0 x 0 1,0 2 x 0 x 2 2 x 3 x 3x 0 2 3 2x x 0 2 x 4x2 2 x x2 3x (2 x)2 4x2 (2 x)2 x2 (2 x) A ( ) : ( ) . 1,0 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 (2 x)(2 x) x(x 3) 4x2 8x x(2 x) . 0,5 (2 x)(2 x) x 3 4x(x 2)x(2 x) 4x2 0,25 (2 x)(2 x)(x 3) x 3 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A . 0,25 x 3 b 1,0 4x2 Với x 0, x 3, x 2 : A 0 0 0,25 x 3 x 3 0 0,25 x 3(TMDKXD) 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 x 7 4 x 7 4 0,5 x 7 4 x 11(TMDKXD) 0,25 x 3(KTMDKXD) 121 Với x = 11 thì A = 0,25 2 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 b 2,5 a b c ayz+bxz+cxy Từ : 0 0 0,5 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 0,25 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 0,5 a b c a b c
3. x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 0,5 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 0,5 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) 0,25 a2 b2 c2 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO(g c g) 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: ·ABC ·ADC H· BC K· DC 0,5 Chứng minh : CBH : CDK(g g) 1,0 CH CK CH.CD CK.CB 0,5 CB CD b, 1,75 Chứng minh : AFD : AKC(g g) 0,25 AF AK AD.AK AF.AC 0,25 AD AC Chứng minh : CFD : AHC(g g) 0,25 CF AH 0,25 CD AC CF AH Mà : CD = AB AB.AH CF.AC 0,5 AB AC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 0,25 (đfcm). ĐỀ SỐ 2 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x4 4
4. x 2 x 3 x 4 x 5 24 b. Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 0 a b c a2 b2 c2 c. Cho 1. Chứng minh rằng: 0 b c c a a b b c c a a b x 2 1 10 x2 Câu2. ho biểu thức: C A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A (6 điểm) x2 x 1 x 5 x 6 0 (*) 1 3 Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0 x 2 4  (*) (x - 5)(x + 6) = 0 x 5 0 x 5  x 6 0 x 6 (2 điểm) a b c c. Nhân cả 2 vế của: 1 b c c a a b với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm)
5. x 2 1 10 x2 Biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rút gọn được kq: A x 2 (1.5 điểm) 1 1 1 Câu 2 b. x x hoặc x (6 điểm) 2 2 2 4 4 A hoặc A 3 5 (1.5 điểm) c. A 0 x 2 (1.5 điểm) 1 d. A Z Z x 1;3 (1.5 điểm) x 2 E HV + GT + KL A B (1 điểm) F M D C Câu 3 a. Chứng minh: AE FM DF (6 điểm) AED DFC đpcm (2 điểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm) c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi SAEMF ME.MF lớn nhất ME MF (AEMF là hình vuông) M là trung điểm của BD. (1 điểm) 1 b c 1 a a a 1 a c a. Từ: a + b + c = 1 1 b b b 1 a b 1 c c c Câu 4: (1 điểm) (2 điểm) 1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9 1 Dấu bằng xảy ra a = b = c = 3 b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (1 điểm)  (a+ b) – ab = 1
6. S = {0;4} 1® Bµi 3(2 ®) Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) 0,25® VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ: x 3x (km / h) 1 1 (3h20’ = 3 h ) 0,25® 3 10 3 3 VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ: 3x 5 km / h 0,25® 10 Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 3x 5 .3 x 10 0,5® x =150 0,5® VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 0,25® 3.150 VËn tèc dù ®Þnh lµ: 45 km / h 10 Bµi 4(7®) VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng 0,5® a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.  PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.  AM//PO tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. 1® b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ) Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA. Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1® MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1® MF AD c) MAF : DBA g g nªn kh«ng ®æi. (1®) FA AB PD 9 PD PB d) NÕu th× k PD 9k, PB 16k PB 16 9 16
7. CP PB NÕu CP  BD th× CBD : DCP g g 1® PD CP do ®ã CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 0,5® do ®ã BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,5® Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - ) = 2010.( ) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + ) = 2010.( ) chia hÕt cho 2010 (2) 1® Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm. 1 1 2 b) 1 x 2 1 y 2 1 x y (1) 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy y x 2 xy 1 0 2 1 x2 1 y2 1 xy V× x 1; y 1 => xy 1 => xy 1 0 => B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y) 1® ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng x y 2 x y 0 y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
8. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. H­íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) A 1 0 x 2 7 x 5 7 b) (0,75đ) Xét 5 x 4 (0,25đ) B 2 x 3 2 x 3 7 Với x Z thì A  B khi Z 7  ( 2x – 3) (0,25đ) 2x 3 Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A  B (0,25đ) x y 4 4 c) (1,5đ) Biến đổi = x x y y y3 1 x3 1 (y3 1)(x3 1) x 4 y4 (x y) = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) xy(y2 y 1)(x 2 x 1) x y x y x 2 y2 (x y) = (0,25đ) xy(x 2 y2 y2x y2 yx 2 xy y x 2 x 1) 2 2 = x y (x y 1) (0,25đ) 2 2 2 2 xy x y xy(x y) x y xy 2 2 2 = x y (x x y y) = x y x(x 1) y(y 1) (0,25đ) 2 2 2 2 2 xy x y (x y) 2 xy(x y 3) = x y x( y) y( x) = x y ( 2xy) (0,25đ) xy(x 2 y2 3) xy(x 2 y2 3) = 2(x y) Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) x 2 y2 3 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ) (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25đ) * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) * x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ) x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) (1,75đ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003
9. x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x 2009)( ) 0(0,5đ) Vì ; ; 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2005 2007 2004 2006 2003 1 1 1 1 1 1 Do đó : 0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = -2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân tại D ˆ ˆ Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) E1 F2 Mà ˆ ˆ ˆ = 900 ˆ ˆ ˆ = 900 E1 E2 F1 F2 E2 F1 EDF = 900. Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 Mà EDF vuông cân DI = EF 2 1 Tương tự BI = EF DI = BI 2 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) a2 a2 a2 = 2(x – )2 + (0,25đ) 4 2 2 a Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,25đ) 2 a BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) 2 b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 1 1 1 1 2 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 2 1 AB AB2 AB2 1 AB AB2 AB2 = – (AD2 – 2 .AD + ) + = – (AD – )2 + (0,25đ) 2 2 4 8 2 4 2 8 2 2 AB AB 3 2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB không đổi (0,25đ) 2 8 8 3 2 Do đó min SBDEC = AB khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ) 8
10. ĐỀ SỐ 20 Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 4x 2 16 A x 2 2 x 5x 5 Bµi 3: Cho ph©n thøc: 2x 2 2x a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh. b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1. x 2 1 2 Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x 2 x x(x 2) b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM. a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n §¸p ¸n BiÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm) Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm) A = x(4x 2 16 x[(2x) 2 42 x(2x 4)(2x 4) x.2(x 2).2(x 2) 4(x 2) 4x 8 x 2 2x x 2 2x x(x 2) x(x 2) Bµi 3: (2 ®iÓm)
11. a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0 2x 0 vµ x + 1 0 x 0 vµ x -1 (1 ®iÓm) b) Rót gän: 5x 5 5(x 1) 5 (0,5 ®iÓm) 2x 2 2x 2x(x 1) 2x 5 5 1 5 2x x (0,25 ®iÓm) 2x 2 5 5 V× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x (0,25 ®iÓm) 2 2 Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x 0; x 2 x(x 2) - (x - 2) 2 - Gi¶i: x2 + 2x – x +2 = 2; x(x 2) x(x 2) 1 ® x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = 1 b) x2 – 9 - 4 1® VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4 Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy §iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1 0,5 ® VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy) - Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) 0,5 ® - Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13 0,5 ® 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 0,5 ® x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ 10 ngµy. 1 ® Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (s¶n phÈm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc) 1 ® b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC 1 ® ta cã : BC = AB 2 AC 2 = 152 202 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn hay 1 ® HB HA BA HB HA 15 20.05 AH = 12 (cm) 25 15.15 BH = 9 (cm) 25 1 ® HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm) BC 25 c) HM = BM – BH = BH 9 3,5(cm) 2 2
12. 1 1 2 1® SAHM = AH . HM = . 12. 3,5 = 21 (cm ) 2 2 - VÏ ®óng h×nh: A 1 ® B H M C ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a) HA' HB' HC' Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Chứng minh rằng: 4 . AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm ) 2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm ) • Bài 2(1,5 điểm):
13. 1 1 1 xy yz xz 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A ( 0,25điểm ) (x y)(x z) (y x)(y z) (z x)(z y) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) • Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,25điểm) Ta có: abcd k2 2 với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k2 abcd 1353 m2 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 hoặc k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm) • Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 A .HA'.BC SHBC 2 HA' a) ; (0,25điểm) S 1 AA' C’ ABC B’ x .AA'.BC H N 2 M SHAB HC' S HB' I HAC A’ C Tương tự: ; B (0,25điểm) SABC CC' SABC BB' D HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 (0,25điểm) AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI
14. BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI.AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA)2 4 (0,25điểm) AA'2 BB'2 CC'2 (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) §Ò SỐ 22 C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó: a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè. n 4 3n3 2n 2 6n 2 b, B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn. n 2 2 c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph­¬ng. (n 2) C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng : a b c a, 1 biÕt abc=1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c, b 2 c 2 a 2 b a c C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: x 214 x 132 x 54 a, 6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d­¬ng. C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo.Qua 0 kÎ ®­êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. 1 1 2 b. Chøng minh: AB CD EF c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®­êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.
15. C©u Néi dung bµi gi¶i §iÓm a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) 0,5 §Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 n=2 khi ®ã A=5 0,5 2 b, (2®iÓm) B=n2+3n- 0,5 n 2 2 2 B cã gi¸ trÞ nguyªn 2 n +2 0,5 n2+2 lµ ­íc tù nhiªn cña 2 C©u 1 0,5 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n (5®iÓm) 0,5 HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn. c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 2 0,5 =n(n-1)(n+1) n 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n- 0,5 1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+25 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) 0,5 Vµ 5 n(n-1)(n+15 VËy D chia 5 d­ 2 Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i sè chÝnh 0,5 ph­¬ng VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph­¬ng a b c a, (1®iÓm) ab a 1 bc b 1 ac c 1 ac abc c 0,5 abc ac c abc 2 abc ac ac c 1 ac abc c abc ac 1 0,5 = 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 abc ac 1 b, (2®iÓm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= - 0.5 2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× 0.5 C©u 2 a+b+c=0 0.5 (5®iÓm) a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× 0.5 a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 0,5 c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2 2xy DÊu b»ng khi 0,5 x=y 0,5 a 2 b 2 a b a a 2 c 2 a c c 2. . 2. ; 2. . 2. ; b 2 c 2 b c c b 2 a 2 b a b c 2 b 2 c b b 0,5 2. . 2. a 2 c 2 a c a Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã: a 2 b 2 c2 a c b 2( ) 2( ) b 2 c2 a 2 c b a a 2 b 2 c2 a c b b 2 c2 a 2 c b a
16. x 214 x 132 x 54 a, (2®iÓm) 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 0 1,0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 0,5 86 84 82 1 1 1 0,5 (x-300) 0 x-300=0 x=300 VËy S = 300 86 84 82 b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 0,5 C©u 3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 0,5 (5®iÓm) k=± 8,5 Víi k=8,5 tacã ph­¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; 0,5 1 1 x= ; x 2 4 0,5 Víi k=- 8,5 Ta cã ph­¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm. 1 1 VËy S = ,  2 4  0,5 c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 2 2 (x+1) -(y+2) =7 (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn 0,5 d­¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 vµ x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm d­¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1) a,(1®iÓm) V× AB//CD S DAB=S CBA 0,5 (cïng ®¸y vµ cïng ®­êng cao) 0,5 S DAB –SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC 0,5 1,0 0,5 EO AO b, (2®iÓm) V× EO//DC MÆt kh¸c AB//DC 1,0 C©u 4 DC AC AB AO AB AO AB AO EO AB (5®iÓm) DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC 1,0 EF AB AB DC 2 1 1 2 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +KÎ ®­êng th¼ng KN lµ ®­êng th¼ng ph¶i dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN.