30 Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

Nội dung text: 30 Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

1. Đề số 1 Thời gian làm bài 120 phút. Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho và Câu 3: (2 điểm) a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. Câu 4: (2 điểm) a. Cho a, b, n N* Hãy so sánh và b. Cho A = ; B = . So sánh A và B. Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a 1, a2, , a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. Đề số 2 Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x + 1)(y – 5) = 12 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c. Tìm tất cả các số B =, biết rằng số B chia hết cho 99 Câu 2. a. chứng tỏ rằng là phân số tối giản. b. Chứng minh rằng : +++ +<1 Câu 3: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán . Câu 4: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. Đề số 3 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3
2. Bài 2: (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a. b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. Đề số 4 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Tính: a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. Câu 2. a. Chứng minh rằng nếu: 11 thì 11. b. Chứng minh rằng: 10 28 + 8 72. Câu 3. Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 kg còn lại mỗi bạn thu được 11 kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 kg còn lại mỗi bạn thu được 10kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200kg đến 300kg. Câu 4. Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số thứ 3. Câu 5. Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a. Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD. Đề số 5 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (3đ): a) So sánh: 222333 và 333222 b) Tìm các chữ số x và y để số chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28
3. Bài 2 (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S 7 Bài 3 (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28 Bài 4 (3đ): Cho góc AOB = 1350. C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD Đề số 6 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1( 8 điểm ) 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5. 3 . Cho phân số ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn ? 4. Cho số có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396. 5. chứng minh rằng: a) ; b) Bài 2: (2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA = a(cm), OB = b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = (a+b). Đề số 7 Thời gian làm bài: 120 phút. A – Phần số học : (7 điểm ) Câu 1: (2điểm) a) Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao? ; ; ; b) Chứng tỏ rằng: 2x + 3y chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Câu 2: (2điểm) Tính giá trị của biểu thức sau: A = ( + - ):( + - + . . ) + 1:(30. 1009 – 160) Câu 3: (2điểm) a) Tìm số tự nhiên x , biết : ( + + . . . + ).x = b) Tìm các số a, b, c , d N , biết : =
4. Câu 4 : (1điểm) Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tìm a, biết a bé nhất. B – Phần hình học (3 điểm) : Câu 1: ( 2 điểm ) Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao? Câu 2: ( 1 điểm) Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. Đề số 8 Thời gian làm bài : 120’ Bài 1 : (3 đ) Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số . Bài 2 : (3đ) Có bao nhiêu chữ số gồm 3 chữ số trong đó có chữ số 4 ? Bài 3 : (4đ) Cho băng ô gồm 2007 ô như sau : 17 36 19 Phần đầu của băng ô như trên . Hãy điền số vào chố trống sao cho tổng 4 số ở 4 ô liền nhau bằng 100 và tính : a) Tổng các số trên băng ô . b) Tổng các chữ số trên băng ô . c) Số điền ở ô thứ 1964 là số nào ? Đề số 9 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1:(1,5đ) Tìm x, biết: a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2 :(1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ). Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a) b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại.
5. hoặc (0,5đ) b) (0,5đ) hoặc (0,5đ) Câu 4: (3đ) a) M, B thuộc 2 tia đối nhau CB và CM -> C nằm giữa B và M. ->BM = BC + CM = 8 (cm) (0,5đ) b) C nằm giữa B,M -> Tia AC nằm giữa tia AB, AM -> CAM =BAM - BAC = 200 (0,75đ) c. Có xAy = x AC + CAy = BAC + CAM = ( BAC + CAM) = BAM = .80 = 400 (0,75đ) d. + Nếu K tia CM -> C nằm giữa B và K1 -> BK1 = BC + CK1 = 6 (cm) (0,5đ) + Nếu K tia CB -> K2 nằm giữa B và C -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm) (0,5đ) Câu 5: (1đ) Ta có ; ; (0,5đ) B = B = (0,5đ) Đáp án đề số 20 Câu 1 a) Để ; chia hết cho 3 thì: 5 + 1 + 0 + * chia hết cho 3; từ đó tìm được * {0; 3; 6; 9} (1đ) b) Để chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 thì: * chẵn và 2 + 6 + 1 + * chia 3 dư 1; từ đó tìm được * = 4 (1đ) Câu 2 S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 (0,5đ) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5đ) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101 S = 99.100.101: 3 = 33. 100 . 101 = 333300 (0,5đ) Câu 3 Thời gian đi từ A đến C của Hùng là: 11 - 8 = 3 (giờ) Thời gian đi từ B đến C của Dũng là: 11 - 8 = 3 (giờ) Quãng đường AB là 30 km do đó cứ 1 giờ khoảng cách của Hùng và Dũng bớt đi 10 km. Vì vậy lúc 9 giờ Hùng còn cách Dũng là 20 km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh cũng cách Hùng 20 km. Đến 9 giờ 24 phút, Ninh gặp Hùng do đó tổng vận tốc của Ninh và Hùng là: 20 : Do vận tốc của Ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng nên vận tốc của Hùng là: [50 : (1 + 4)] . 4 = 40 (km/h) Từ đó suy ra quãng đường BC là:
6. 40 . 3 - 30 = 90 (km) Đáp số: BC = 90 km Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A 1; A2; A3; ; A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó. Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác. Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA 1 để được 1 tam giác thì MA 1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015 Câu 5: (1đ) Tích của hai phân số là . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là suy ra tích mới hơn tích cũ là - = đây chính là 4 lần phân số thứ hai. Suy ra phân số thứ hai là : 4 = = . Từ đó suy ra phân số thứ nhất là: : = Đáp án đề số 21 Câu 1: (0.5đ) (0.5đ) Vậy (0.5đ) Câu 2: mà (1) (0.5đ) Ta có : và (2) (0.5đ) Từ (1) và (2) (0.5đ) Câu 4: Giả sử đội văn nghệ có n người. Tổng số tuổi đội văn nghệ trừ người chỉ huy là m. Ta có: (1) và (2) (1đ) Từ (1) m = 11n – 17 (3) (2) m = 10n – 10 (4) (1đ) Từ (3) và (4) 11n – 17 = 10n –10 n =7 (1đ) Đáp số: Số người trong đội văn nghệ là: 7 Câu 5: a.Tính được yOn = 150 ; mOy = 750 (1đ) Chỉ ra cách vẽ và vẽ đúng. (0.5đ) b.Tính được mOn = 900 (0.5đ)
7. Đáp án đề số 22 Câu 1 : 1) A = = = 0 2) B = = = = 3 (1,5đ) Câu 2: 2đ b = 0 => 9+a 9 => a = 0 b =5 => 14+a 9 => a = 4 Câu 3: 2 đ a) A = 31 +32+33 + + 32006 3A =32+33 +34+ + 32007 3A – A = 32007 -3 A = (1đ) b) Ta có : 2. +3 = 3x 32007 -3 +3 = 3x 32007 = 3x x = 2007 (1đ) Câu 4: 1đ A = x =625 trang ĐS 625 trang Đáp án đề số 23 Bài 1 (1,5đ): a. 308; 380; 830 (0,5đ) b. 380 830 (0,5đ) c. 803 Bài 2 (2đ): a) (1đ) A = . = (0,5đ) = (0,25đ). Vậy A = (0,25đ) b) (1 đ) B = 3 + 32 + 33 + + 399 + 3100 (1) 3B = 32 + 33 + + 3100 + 3101 (2) (0,25đ) Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B = 3101 - 3 (0,25đ) Do đó: 2B + 3 = 3101 (0,25đ)
8. Theo đề bài 3B + 3 = 3n . Vậy n = 101 (0,25đ) Bài 3 (1,5đ): a) (0,75đ) C = Ta có: TS = 101 + (100 + 99 + + 3 + 2 + 1) =101 + 101.100 : 2 = 101 + 5050 = 5151 (0,25đ) MS = 101 - 100 + 99 - 98 + + 3 – 2 + 1 == 50 + 1 = 51 (0,25đ) Vậy C = (0,25đ) b) (0,75đ) B = Ta có: 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = 0 (0,5đ) Vậy B = 0 ( vì 2 = 4 + 6 + + 100 0) (0,25đ) Bài 4 ( 1,5đ): Ta có: 210 = 1024 (0,25đ) 2100 = = 102410 = (0,75đ) = ( 76)5 = 76 (0,5đ) Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76 Bài 5 (1,5đ): Nếu đi từ A đến D bằng con đường a1: a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; (0,5đ) Đi từ A đến D bằng con đường a2: a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; (0,5đ) Đi từ A đến D bằng con đường a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; (0,5đ) Vậy tập hợp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Bài 6 ( 2đ): Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường thằng (0,5đ) Làm như vậy với 100 điểm ta được 99.100 đường thẳng (0,5đ) Nhưng mỗi đường thẳng được tính 2 lần, do đó tất cả có 99.100 : 2 = 4950 đường thẳng (1đ) Đáp án đề số 24 Bài 1 a. S = b. Ta có nếu thì . Vậy A < B Bài 2 2 3 99 100 a. C = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 = 2(1 +2 + 22+ 23+ 24) + 26(1 + 2 + 22+ 23+ 24)+ + (1 + 2 + 22+ 23+ 24).296 = 2 . 31 + 26 . 31 + + 296 . 31 = 31(2 + 26 + +296). Vậy C chia hết cho 31 2 3 99 100 2 3 4 100 101 b. C = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 2C = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2
9. Ta có 2C – C = 2101 – 2 2101 = 22x-1 2x – 1 = 101 2x = 102 x = 51 Bài 3: Gọi số cần tìm là A: A = 4q1 + 3 = 17q2 + 9 = 19q3 + 13 (q1, q2, q3 thuộc N) A + 25 = 4(q1 +7) = 17(q2 +2) = 19(q3 + 2) A + 25 chia hết cho 4; 17; 19 A + 25 =1292k A = 1292k – 25 = 1292(k + 1) + 1267 khi chia A cho 1292 dư 1267 Bài 4 Tổng số điểm của 10 lớp 6A là (42 - 39) . 1 + (39 - 14) . 2 + (14 - 5) . 3 + 5 . 4 = 100(điểm 10) Bài 5: Có đường thẳng. Với n điểm có đường thẳng Đáp án đề số 25 Câu 1 : Tính giá trị biểu thức : a) Tổng : S =1 +2 +3 + +100 có 100 số hạng . S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) có 50 cặp. = 50 . 10 = 5050 b) A = Ta có : A = - = - c) B = + + + + + Ta có : B = 1 - + -+ -+ + - = 1 - = 2) Câu 2. So sánh . a) Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 ; 2300 =(23)100 = 8100 Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300 b) A = Vậy A = hay A =B = 3) Bài 3. Để số có 4 chử số , 4chữ số khác nhau mà 4 chữ số chia hết cho cả 4 số 2; 5; 3; 9. Ta cần thoả mản : Số đó đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẳn. Số đó chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5.Số đó vừa chia hết cho 3 và 9.Nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9. Vậy : Chữ số tận cùng của số đó là 0 . Chữ số đầu là số 1 Do đó số đã cho là 1260 Bài 4. Tìm số tự nhiên n. Mà 1! +2!+3! + +n! là bình phương của một số tự nhiên. Xét : n = 1 1! = 12 n = 2 1! +2! = 3 n=3 1! + 2! + 3! = 9 =32 n = 4 1!+ 2! +3! + 4! =33
10. Với n >4 thì n! = 1.2.3 n là mội số chẳn .Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với một số chẳn bằng sốcó chữ số tận cùng của tổng đó là chữ số 3 .Nên nó không phải là số chính phương. Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! + +n!là số chính phương. Bài 5 Giải 1 giờ xe thứ nhất đi đươc quảng đường AB. 1 giờ xe thứ 2 đi được quảng đường AB . 1 giờ cả 2 xe đi được += quảng đương AB. Sau 10 phút = giờ : Xe thứ nhất đi được . = quảng đường AB. Quảng đường còn lại là: 1 - (của AB) Thời gian hai xe cùng đi quảng đường còn lại là: := giờ = 1 giờ 6 phút. Hai xe gặp nhau lúc 7 giờ 10 phút + 1 giờ 6 phút = 8 giờ 16 phút . Đáp án : 8 giờ 16 phút. (0,25đ) Bài 6. Hình học. (tự vẽ hình) (2đ) Vì : = 1200 , = 750, điểm A nằm trong góc xOy nên tia OA nằm giữa hai tia Ox và Oy. Ta có : Điểm B có thể ở hai vị trí : B và B’. (0,75đ) +, Tại B thì tia OB nằm ngoài hai tia Ox, OA nên . Do đó . Nên 3 điểm A,O,B thẳng hàng. (0,75đ) +, Còn tại B’ thì : = 1350 b. a) Gọi d thuộc ƯC(a,b) thì a – b d ta sẽ chứng minh d ≤ 25 thật vậy giả sử d > 25 thì b>25 ta có a ≤ 50 mà b >25 nên 0< a – b < 25, không thể xảy ra a – b d ; d = 25 xảy ra khi a = 50; b = 25 vậy hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 25 c) BCNN(a,b) ≤ a.b ≤ 50.49=2450. Vậy hai số có BCNN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 49 Câu 4: (Học sinh tự vẽ hình) Ta thấy : vì nếu trái lại thì góc AOD có điểm trong chung với ba góc kia. Đặt = α
11. ta có: α +3α+5α+6α=3600 α = 240. Vậy: Đáp án đề số 27 Câu 1: (3đ). a. Vẽ được sơ đồ cho (1,5đ). - Số học sinh thích đúng 2 môn bóng đá và bơi: 14 – 10 = 4 (hs) - Số học sinh thích đúng hai môn bơi và bóng chuyền: 13 – 10 = 3 (hs). - Số học sinh thích đúng hai môn bóng đá và bóng chuyền: 15 – 10 = 5 (hs) - Số học sinh chỉ thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = 1 (hs) - Số học sinh chỉ thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = 0 (hs). - Số học sinh chỉ thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (hs). Vậy: Số học sinh của lớp là: 1 + 0 + 18 + 4 + 10 + 5 + 3 + 12 + = 53 (hs). b. (1,5 đ) A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58 59 60. * Từ 1 đến 9 có : 9 chữ số Từ 10 đến 60 có: 51 . 2 = 102 chữ số. Vậy: Số A có 9 + 102 = 111 chữ số. (0,5đ) * Nếu xóa 100 chữ số trong số A thì số A còn 11 chữ số. Trong số A có 6 chữ số 0 nhưng có 5 chữ số 0 đứng trước các chữ số 51 52 53 . 58 59 60. Trong số nhỏ nhất có 5 chữ số 0 đứng trước số nhỏ nhất là số có 6 chữ số. Số nhỏ nhất là 00000123450 = 123450 (0,5đ). * Trong số A có 6 chữ số 9. Nếu số lớn nhất có 6 chữ số 9 đứng liền nhau thì số đó là: 99999960 Số này chỉ có 8 chữ só không thỏa mãn. Số lớn nhất chỉ có 5 chữ số 9 liền nhau số đó có dạng 99999 . Các chữ số còn lại 78 59 60. Vậy số lớn nhất: 99999785860. Câu 2: (2,5đ). a.(1,5đ). A = 5 + 52 + + 596 5A =52 + 53 + + 596 + 597 5A – A = 597 - 5 A = Tacó: 597 có chữ số tận cùng là 5 597 – 5 có chữ số tận cùng là 0. Vậy: Chữ số tận cùng của A là 0. b. (1đ). Có: 6n + 3 = 2(3n + 6) – 9 6n + 3 chia hết 3n + 6 2(3n + 6) – 9 chia hết 3n + 6 9 chia hết 3n + 6 3n + 6 = 1 ; 3 ; 9 3n + 6 - 9 - 3 - 1 1 3 9 n - 5 - 3 - 7/3 - 5/3 - 1 1 Vậy; Với n = 1 thì 6n + 3 chia hết cho 3n + 6. Câu 3: (2,5đ). a. (1đ). Gọi số tự nhiên cần tìm là a (a > 0, a N) Theo bài ra ta có: - a chia cho 3 dư 2 a – 2 chia hết cho 3 - a chia cho 4 dư 3 a – 3 chia hết cho 4 - a chia cho 5 dư 4 a – 4 chia hết cho 5
12. - a chia cho 10 dư 9 a – 9 chia hết cho 10 a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60. b.(1,5đ). 11n + 2 + 122n + 1 = 121 . 11n + 12 . 144n =(133 – 12) . 11n + 12 . 144n = 133 . 11n + (144n – 11n) . 12 Tacó: 133 . 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11) 144n – 11n chia hết 133 11n + 1 + 122n + 1 Câu 4: (2đ). Số đường thẳng vẽ được qua n điểm: n .(n – 1) = 210 = 2 . 5 . 3 . 7 = 10 . 14 n. (n – 1) = 6 . 35 = 15 . 14. Vì n và n – 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14. Đáp án đề số 28 Bài 1:(2,25 điểm) a) x= ; b) x= ; c) x = 32 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau bằng cách hợp lý nhất: a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) = 31 + 31 + 31 +31+ 31 = 31.5= 155 b) B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144. c) C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152. Bài 3:(2,25 điểm) Tính: A= B= C = Bài 4:(1 điểm) Ta có: 10A = (1) Tương tự: 10B = (2) Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10BA > B Bài 5:(2,25 điểm) a) Trên tia BA ta có BK = 2 cm. BA = 7cm nên BK< BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 AK = 5 cm. Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nên điểm I nằm giữa A và K b) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 IK = 5 – 4 = 1. Đáp án đề số 29 Bài 1 (3điểm) a.(1 điểm) Ta có 405n = .5 ( 0,25 điểm) 2405 = 2404. 2 = ( .6 ).2 = .2 (0,25đ) m2 là số chính phương nên có chữ số tận cùng khác 3. Vậy A có chữ số tận cùng khác không A 10
13. b. ( 1điểm) B = (0,25đ) B = (0,25đ) Để B là số tự nhiên thì là số tự nhiên 18 (n+2) => n+2 ư ( 18) = (0,25đ) +, n + 2= 1 n= - 1 (loại) +, n + 2= 2 n= 0 +, n + 2= 3 n= 1 +, n + 2= 6 n= 4 +, n + 2= 9 n= 7 +, n + 2= 18 n= 16 Vậy n thì B N (0,25đ) c. (1 điểm) Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = 1 (0,25đ) Do đó C = 55 (0.25đ) (1) => y = 0 hoặc y = 5 +, y= 0 : (2) => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) 11 => x = 7 (0,25đ) +, y =5 : (2) = > x+9 +5 – (1+9+5 ) 11 => x = 1 (0,25đ) Baì 2 (2 điểm) a( 1điểm) M = = (0,25đ) = (0,25đ) = (0,5đ) b. (1 điểm) S = => S > (1) (0,5đ) S= => S 1 BN ( 2 > 1) => N năm giữa B và M. ( 0,25đ) MN = BM – BN = 1 cm = BN.=> N là đường trung điểm của BM . (0,5đ). c. Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1 cm (0,25đ) Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4 cm (0.25đ) Chu vi ΔCAN = AC + CN = NA = 4 + 4+1= 9 (cm) (0,5đ)
14. Đáp án đề số 30 Bài 1( 2 điểm): a)- Từ giả thiết ta có: (1) (0,25đ) hoặc (0,25đ) - Từ đó tìm ra kết quả x = ; (0,5đ) b) Nếu x = 0 thì 5y = 20 + 624 = 1 + 624 = 625 = 54 y = 4 ( y N) (0,5đ) Nếu x 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y N : vô lý (0,25đ) Vậy: x = 0, y = 4 (0,25đ) Bài 2( 2 điểm): a) (1đ) b) . Vậy: A > B (1đ) Bài 3( 2 điểm): Gọi số tự nhiên phải tìm là x. - Từ giả thiết suy ra và và x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. (0,5đ) - Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 . (0,5đ) - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra k = 1 (0,5đ) x + 20 = 700 x = 680. (0,5đ) Bài 4( 2 điểm): Máy một và máy hai bơm 1 giờ 20 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và hai bơm được bể . (0,25đ) Máy hai và máy ba bơm 1 giờ 30 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba bơm được bể. (0,25đ) Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và ba bơm được bể. (0,25đ) Một giờ cả ba máy bơm bể. (0,25đ) Một giờ:máy ba bơm được bể . Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể (0,25đ) máy một bơm được bểMáy một bơm một mình 4 giờ đầy bể (0,25đ) máy hai bơm được bểMáy hai bơm một mình 2 giờ đầy bể(0,25 đ) Kết luận (0,25 đ) Bài 4( 2 điểm): Hình vẽ (0,25đ) a)Lập luận được: xÔm + mÔy = xÔy hay:900 +mÔy = xÔy (0,25đ) yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy (0,2đ) xÔn = yÔm (0,25 đ) b) Lập luận được : xÔt = tÔy (0,25đ) xÔt = xÔn + nÔt (0,25đ) tÔy = yÔm + mÔt (0,25đ) nÔt = mÔt (0,25đ) Ot là tia phân giác của góc mOn (0,25 đ)