30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 ĐỀ SỐ 1 Bài 1. (4 điểm) a) Chứng minh rằng 76 + 75 - 74 chia hết cho 55 b) Tính A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 Bài 2. (4 điểm) a b c a) Tìm các số a, b, c biết rằng : và a + 2b - 3c = -20 2 3 4 b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ? Bài 3. (4 điểm) a) Cho hai đa thức f(x) = x5 - 3x2 + 7x4 - 9x3 + x2 - 1 x 4 g(x) = 5x4 - x5 + x2 - 2x3 + 3x2 - 1 4 Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x). b) Tính giá trị của đa thức sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 tại x = -1. Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. a) So sánh các độ dài DA và DE. b) Tính số đo góc BED. Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD. Kẻ đờng trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng: a) IK// DE, IK = DE. b) AG = 2 AD. 3
2. Đề 2 Bài 1: (3 điểm): Tớnh 1 1 2 2 3 18 (0,06:7 3 .0,38) : 19 2 .4 6 2 5 3 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: c b a2 c 2 a b2 a 2 b a a) b) b2 c 2 b a2 c 2 a Bài 3:(4 điểm) Tỡm x biết: 1 15 3 6 1 a) x 4 2 b) x x 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hỡnh vuụng. Trờn hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC b) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tỡm x, y biết: 25 y2 8( x 2009) 2
3. Đề 3 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phộp tớnh: 2.312 5 4.9 6 2 5.7 10 3 25.49 5 2 A 6 3 22 .3 8 4 .3 5 125.7 59 .14 3 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thỡ : 3n 2 2 n 2 3 n 2 n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tỡm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. x 7 x 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo :: . Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tỡm số A. a c a2 c 2 a b) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c 2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tớnh HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC d) AM = BC
4. Đề 4 Bài 1: (2 điểm) Cho A = 2-5+8-11+14-17+ +98-101 a, Viết dạng tổng quát dạng thứ n của A b, Tính A Bài 2: ( 3 điểm) Tìm x,y,z trong các trờng hợp sau: a, 2x = 3y =5z và x 2 y =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z và xy = 90. y z 1 x z 2 x y 3 1 c, x y z x y z Bài 3: ( 1 điểm) a1 a 2 a3 a 8 a 9 1. Cho và (a1+a2+ +a9 ≠0) a2 a 3 a 4 a 9 a 1 Chứng minh: a1 = a2 = a3= = a9 a b c a b c 2. Cho tỉ lệ thức: và b ≠ 0 a b c a b c Chứng minh c = 0 Bài 4: ( 2 điểm) Cho 5 số nguyên a1, a2, a3, a4, a5. Gọi b1, b2, b3, b4, b5 là hoán vị của 5 số đã cho. Chứng minh rằng tích (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5)  2 Bài 5: ( 2 điểm) Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của đoạn thẳng đó. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau qua AB, kẻ hai tia Ax và By song song với nhau. Trên tia Ax lấy hai điểm D và F sao cho AC = BD và AE = BF. Chứng minh rằng : ED = CF. === Hết===
5. Đề 5 Bài 1: (3 điểm) 1 4,5: 47,375 26 18.0,75 .2, 4 : 0,88 3 1. Thực hiện phép tính: 2 5 17,81:1,37 23 :1 3 6 2. Tìm các giá trị của x và y thoả mãn: 2x 272007 3 y 10 2008 0 3. Tìm các số a, b sao cho 2007ab là bình phương của số tự nhiên. Bài 2: ( 2 điểm) x 1 y 2 z 3 1. Tìm x,y,z biết: và x-2y+3z = -10 2 3 4 2. Cho bốn số a,b,c,d khác 0 và thoả mãn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 a3 b 3 c 3 a Chứng minh rằng: b3 c 3 d 3 d Bài 3: ( 2 điểm) 1 1 1 1 1. Chứng minh rằng: 10 1 2 3 100 2. Tìm x,y để C = -18- 2x 6 3 y 9 đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: ( 3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE). 1, Chứng minh: BH = AK 2, Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao? === Hết===
6. Đề số 6 Câu 1: Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn: a, 5x-3 4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + 8 -x Câu 4: Biết rằng :12+22+33+ +102= 385. Tính tổng : S= 22+ 42+ +202 Câu 5 : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại D. a. Chứng minh AC=3 AD b. Chứng minh ID =1/4BD Hết
7. c. c1. 7 = 0.(21) c2. 7 = 0,3(18) (0.5đ) 33 22 21 7 1 c3. 0,(21) = ; c4. 5,1(6) = 5 (0.5đ) 99 33 6 Câu 2: (2đ) Gọi khối lượng của 3 khối 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c (m3) a + b + c = 912 m3. (0.5đ) a b c Số học sinh của 3 khối là : ; ; 1,2 1,4 1,6 b a b c Theo đề ra ta có: và (0.5đ) 3.4,1 1,2 4.1,4 5.1,6 a b c 20 (0.5đ) 4.1,2 12.1,4 15.1,6 Vậy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3. Nên số HS các khối 7, 8, 9 lần lượt là: 80 hs, 240 hs, 300 hs. (0.5đ) Câu 3: ( 1.5đ): a.Tìm max A. 2 2 3 Ta có: (x + 2) 0 (x = 2) + 4 4 Amax= khi x = -2 (0.75đ) 4 b.Tìm min B. Do (x – 1)2 0 ; (y + 3)2 0 B 1 Vậy Bmin= 1 khi x = 1 và y = -3 (0.75đ) Câu 4: (2.5đ) Kẻ CH cắt MB tại E. Ta có EAB cân C tại E EAB =300 EAM = 200 CEA = MAE = 200 (0.5đ) Do ACB = 800 ACE = 400 AEC = 1200 ( E 1 ) (0.5đ) M 0 Mặt khác: EBC = 200 và EBC = 400 CEB = 100 30 A H B 1200 ( 2 ) (0.5đ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) AEM = 1200 Do EAC = EAM (g.c.g) AC = AM MAC cân tại A (0.5đ) Và CAM = 400 AMC = 700. (0.5đ) Câu 5: (1.5đ) Giả sử a2 và a + b không nguyên tố cùng nhau a2 và a + b Cùng chia hết cho số nguyên tố d: a2 chia hết cho d a chia hết cho d và a + b chia hết cho d b chia hếta cho d (0.5đ) (a,b) = d trái với giả thiết.
8. Vậy (a2,a + b) =1. (0.5đ) ĐỀ 23 Câu I : 1) Xác định a, b ,c a 1 b 3 c 5 5(a 1) 3(b 3) 4(c 5) 5a 3b 4c 5 9 20 = 2 2 4 6 10 12 24 10 12 24 => a = -3 ; b = -11; c = -7. a 1 b 3 c 5 Cách 2 : = t ; sau đó rút a, b ,c thay vào tìm t =- 2 tìm a,b,c. 2 4 6
9. 2) Chứng minh a c Đặt = k => a= kb ; c = kd Thay vào các biểu thức : b d 2a 2 3ab 5b 2 2c 2 3cd 5d 2 k 2 3k 5 k 2 3k 5 0 => đpcm. 2b 2 3ab 2d 2 3cd 2 3k 2 3k Câu II: Tính: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 16 1) Ta có :2A= 2( ) = =>A = 3.5 5.7 97.99 3 5 5 7 97 99 3 99 99 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2) B = = = 3 32 33 350 351 ( 3) ( 32 ) ( 33 ) ( 350 ) ( 351 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 351 1 ( 351 1) => B = => B = ( 32 ) ( 33 ) ( 3) 4 ( 351 ) ( 352 ) 3 3 ( 352 ) 352 4.351 Câu III 2 1 2 3 1 7 Ta có : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = . 0,(1).3 = . = 10 10 10 10 9 30 1 1 12 32 1 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ .0,(32)= 0,12+ .0,(01).32 = . 1000 1000 100 1000 99 = 1489 12375 Câu IV : Gọi đa thức bậc hai là : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vào (1) ta có -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= 4 => 2b -2+16 = 4 > b= -5 P(3) = 1 => 6a-30 +16 =1 => a = 5 2 5 Vậy đa thức cần tìm là : P(x) = x(x 1)(x 2) 5x(x 1) 2(x 3) 16 2 5 25 => P(x) = x 3 - x 2 12x 10 2 2 Câu V: a) Dễ thấy ADC = ABE ( c-g-c) => DC =BE . Vì AE  AC; AD  AB mặt khác góc ADC = góc ABE => DC  Với BE. b) Ta có MN // DC và MP // BE => MN  MP
10. MN = 1 DC = 1 BE =MP; 2 2 Vậy MNP vuông cân tại M. Đáp án đề 24 Bài 1: 3 3 3 3 3 3 3 a) A = 8 10 11 12 2 3 4 (0,25đ) 5 5 5 5 5 5 5 8 10 11 12 2 3 4
11. 1 1 1 1 1 1 1 3 3 8 10 11 12 2 3 4 A = (0,25đ) 1 1 1 1 1 1 1 5 5 8 10 11 12 2 3 4 A = 3 + 3 = 0 (0,25đ) 5 5 2102 1 b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25đ) 3B = 2102 – 1; B = 3 (0,25đ) Bài 2: a) Ta có 430 = 230.415 (0,25đ) 3.2410 = 230.311 (0,25đ) mà 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25đ) b) 4 = 36 > 29 33 > 14 (0,25đ) 36 + 33 > 29 + 14 (0,25đ) Bài 3: Gọi x1, x2 x3 lần lượt là số ngày làm việc của 3 máy x x x 1 2 3 (1) (0,25đ) 3 4 5 Gọi y1, y2, y3 lần lượt là số giờ làm việc của các máy y y y 1 2 3 (2) (0,25đ) 6 7 8 Gọi z1, z2, z3 lần lượt là công suất của 3 máy z z z 5z = 4z = 3z 1 2 3 (3) (0,25đ) 1 2 3 1 1 1 5 4 3 Mà x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25đ) x y z x y z x y z 395 Từ (1) (2) (3) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 15 (0,5đ) 187 40 395 5 3 15 x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25đ) Vậy số thóc mỗi đội lần lượt là 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4: a) EAB =CAD (c.g.c) (0,5đ) ABM ADM (1) (0,25đ) Ta có BMC MBD BDM (góc ngoài tam giác) (0,25đ)
12. BMC MBA 600 BDM ADM BDM 60 0 120 0 (0,25đ) b) Trên DM lấy F sao cho MF = MB (0,5đ) FBM đều (0,25đ) E DFBAMB (c.g.c) (0,25đ) A D DFB AMB 1200 (0,5đ) F Bài 6: Ta có 1 x 2 f (2) 3. f ( ) 4 (0,25đ) 2 M 1 1 1 x f( ) 3. f (2) (0,25đ) 2 2 4 B C 47 f (2) (0,5đ) 32 Đáp án đề 25 Câu 1 a.Nếu x 0 suy ra x = 1 (thoã mãn) Nếu < 0 suy ra x = -3 (thoã mãn)
13. 1 x 1 x 3 y 1 y 1 y 2 b. ; hoặc ;hoặc y 6 2 6 x 3 6 x 3 6 x 3 3 y 3 y 6 y 6 hoặc ;hoặc ; hoặc x 3 2 x 3 1 x 3 1 y 2 y 3 hoặc ; hoặc x 3 3 x 3 2 Từ đó ta có các cặp số (x,y) là (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, - 6) x y z3 x 7 y 5 z 3 x 7 y 5 z 30 c. Từ 2x = 3y và 5x = 7z biến đổi về 2 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15 x = 42; y = 28; z = 20 Câu 2 a. A là tích của 99 số âm do đó 1 1 1 1 1.3 2.4 5.3 99.101 A 1 1 1 1 2 2 2  2  2 4 9 16 100 2 3 4 100 1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 1  A 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2 2 x 1 x 3 4 4 4 b. B = 1 B nguyên nguenˆ x 3  x 3 x 3 x 3 x 3 4 x 4;25;16;1;49 Câu 3 Thời gian đi thực tế nhiều hơn thời gian dự định Gọi vận tốc đi dự định từ C đến B là v1 == 4km/h Vận tốc thực tế đi từ C đến B là V2 = 3km/h V4 t V 3 Ta có: 1 va 1 1 V23 t 2 V 2 4 (t1 là thời gian đi AB với V1; t2 là thời gian đi CB với V2) t13 t 2 t 1 t 2 t 1 15 từ 15 t2 = 15 . 4 = 60 phút = 1 giờ t2 4 4 3 4 3 1 Vậy quãng đường CB là 3km, AB = 15km Người đó xuất phát từ 11 giờ 45 phút – (15:4) = 8 giờ Câu 4 a. Tam giác AIB = tam giác CID vì có (IB = ID; góc I1 = góc I2; IA = IC) b. Tam giác AID = tam giác CIB (c.g.c) góc B1 = góc D1 và BC = AD hay MB =ND tam giác BMI = tam giác DNI (c.g.c) Góc I3 = góc I4 M, I, N thẳng hàng và IM = IN Do vậy: I là trung điểm của MN
14. c. Tam giác AIB có góc BAI > 900 góc AIB 900 d. Nếu AC vuông góc với DC thì AB vuông góc với AC do vậy tam giác ABC vuông tại A Câu 5. 4 x 10 10 10 P = 1 P lớn nhất khi lớn nhất 4 x 4 x 4 x Xét x > 4 thì 10 0 4 x 10 lớn nhất 4 – x là số nguyên dương nhỏ nhất 4 x 4 – x = 1 x = 3 10 khi đó = 10 Plớn nhất = 11. 4 x Hướng dẫn chấm đề 26 Bài 1 : a) Tìm x . Ta có 2x 6 + 5x =9 2x 6 = 9-5x
15. 15 * 2x –6 0 x 3 khi đó 2x –6 = 9-5x x = không thoã mãn. (0,5) 7 * 2x – 6 1 . Để A = 5 tức là 5 x x . (1) x 1 2 4 Bài 4 : E thuộc phân giác của ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy ra : tam giác NEC cân và ENC = ECN (1) . D thuộc phân giác của góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy ra tam giác MDC cân . và DMC =DCM ,(2) . Ta lại có MDB = DCM +DMC (góc ngoài của CDM ) = 2DCM.
16. Tương tự ta lại có AEN = 2ECN . Mà AEN = ABC (góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn). MDB = CAB (góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn ). Tam giác vuông ABC có ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD ) suy ra ECN + MCD = 450 . Vậy MCN = 900 –450 =450 . (1,5) Bài 5 : Ta có P = -x2 –8x + 5 = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 0 với mọi x nên –( x +4)2 +21 21 với mọi x . Dấu (=) xảy ra khi x = -4 Khi đó P có giá trị lớn nhất là 21. hướng dẫn đề 27 Câu 1: (3đ) b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 suy ra 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5đ
17. suy ra 2n (1/2 +4) = 9. 25 suy ra 2n-1 .9 =9. 25 suy ra n-1 = 5 suy ra n=6. 0,5đ c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5đ vì 3n.10  10 và 2n.5 = 2n-1.10  10 suy ra 3n.10-2n.5  10 0,5đ Bài 2: a/ Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây(x, y, z∈z+) ta có: 2x=3y = 4z và x+y+z =130 0,5đ hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130 0,5đ suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5đ10 Ta có: 4343 = 4340.433= (434)10.433 vì 434 tận cùng là 1 còn 433 tận cùng là 7 suy ra 4343 tận cùng bởi 7 1717 = 1716.17 =(174)4.17 vì 174 có tận cùng là 1 suy ra (174)4 có tận cùng là 1 suy ra 1717 = 1716.17 tận cùng bởi 7 0,5đ suy ra 4343 và 1717 đều có tận cùng là 7 nên 4343-1717 có tận cùng là 0 suy ra 4343-1717 chia hết cho 10 0,5đ suy ra -0,7(4343-1717) là một số nguyên. Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình) a/∆ MDB=∆ NEC suy ra DN=EN 0,5đ b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN 0,5đ c/ Gọi H là chân đường cao vuông góc kẻ từ A xuống BC ta có ∆ AHB=∆ AHC suy ra HAB=HAC 0,5đ gọi O là giao AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I thì ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nên OBA = OCA(1) 0,5đ ∆ OIM=∆ OIN suy ra OM=ON 0,5đ suy ra ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5đ Từ (1) và (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 0,5đ Vậy điểm O cố định. Đáp án đề 28 Câu 1: (2đ). a. a + a = 2a với a 0 (0,25đ)
18. Với a < 0 thì a + a = 0 (0,25đ). b. a - a -Với a 0 thì a - a = a – a = 0 -Với a< 0 thì a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3 -Với x + 3 0 x - 3 Ta có: 3(x – 1) – 2 x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – 3 – 2x – 6 = x – 9. (0,5đ) -Với x + 3 < 0 x< - 3 Tacó: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3). = 3x – 3 + 2x + 6 = 5x + 3 (0,5đ). Câu 2: Tìm x (2đ). a.Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 7 5x 3 x 7 (1) (0,25 đ) ĐK: x -7 (0,25 đ) 5x 3 x 7 1 . (0,25 đ) 5x 3 x 7 Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu bài. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ). b. 2x + 3 - 4x < 9 (1,5đ) 2x + 3 < 9 + 4x (1) 9 ĐK: 4x +9 0 x (1) 4x 9 2 x 3 4 x 9 4 2 x 3 (t/mĐK) (0,5đ). Câu 3: Gọi chữ số của số cần tìm là a, b, c. Vì số càn tìm chia hết 18 số đó phải chia hết cho 9. Vậy (a + b + c ) chia hết cho 9. (1) (0,5đ). Tacó: 1 a + b + c 27 (2) Vì 1 a 9 ; b 0 ; 0 c 9 Từ (1) và (2) ta có (a + b + c) nhận các giá trị 9, 18, 27 (3). Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9 (0,5đ). Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 2 chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn. Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963 (0,5đ). -Vẽ hình đúng viết giả thiết, kết luận đúng (0,5đ). -Qua N kẻ NK // AB ta có.
19. EN // BK NK = EB EB // NK EN = BK Lại có: AD = BE (gt) AD = NK (1) -Học sinh chứng minh D ADM = D NKC (gcg) (1đ) DM = KC (1đ) Đáp án đề 29 102007 10 9 Bài 1: Ta có: 10A = = 1 + (1) 102007 1 10 2007 1 102008 10 9 Tương tự: 10B = = 1 + (2) 102008 1 10 2008 1
20. 9 9 Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10B A > B 102007 1 10 2008 1 Bài 2:(2điểm) Thực hiện phép tính: 1 1 1 A = 1 . 1 1 (1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006 2 2 2 2 5 9 2007.2006 2 4 10 18 2007.2006 2 = . . . . (1) 3 6 10 2006.2007 6 12 20 2006.2007 Mà: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Từ (1) và (2) ta có: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 A = . . 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 x 1 1 1 x 1 Bài 3:(2điểm) Từ: 8 y 4 y 8 4 1 x - 2 Quy đồng mẫu vế phải ta có : . Do đó : y(x-2) =8. y 8 Để x, y nguyên thì y và x-2 phải là ước của 8. Ta có các số nguyên tương ứng cần tìm trong bảng sau: Y 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 x-2 8 -8 4 -4 2 -2 1 -1 X 10 -6 6 -2 4 0 3 1 Bài 4:(2 điểm) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3. Vậy có: b + c > a. Nhân 2 vế với a >0 ta có: a.b + a.c > a2. (1) Tương tự ta có : b.c + b.a > b2 (2) a.c + c.b > c2 (3). Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đường thẳng CK ở I. A Ta có: IBC cân nên IB = IC. 0 BIA = CIA (ccc) nên BIA C IA 120 . Do đó: I BIA =BIK (gcg) BA=BK K C B
21. b) Từ chứng minh trên ta có: BAK 700 Đáp án đề 30 Câu 1: ( 2 điểm ) 1 1 a. Do với mọi n 2 nên . ( 0,2 điểm ) n2 n2 1
22. 1 1 1 1 A   n Câu 3 (2 điểm ) Gọi ha , hb ,hc lần lượt là độ dài các đường cao của tam giác. Theo đề bài ta có: h h h h h h 2 h h h h h h a b b c c a a b c a b c ( 0,4 điểm ) 5 7 8 20 10 hc hb ha => => ha : hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 điểm ) 5 2 3
23. 1 1 1 Mặt khác S = a.h bh ch ( 0,4 điểm ) 2 a 2 b 2 c a b c => (0 , 4 điểm ) 1 1 1 ha hb hc 1 1 1 1 1 1 => a :b : c = : : : : 10 :15 : 6 (0 ,4 điểm ) ha hb hc 3 2 5 Vậy a: b: c = 10 : 10 : 6 Câu 4: ( 2 điểm ) Trên tia Ox lấy A , trên tia Oy lấy B sao cho O A = O B = a ( 0,25 điểm ) Ta có: O A + O B = OA + OB = 2a => A A = B B ( 0,25 điểm ) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu Của A và B trên đường thẳng A B y Tam giác HA A = tam giác KB B ( cạnh huyền, góc nhọn ) ( 0,5 điểm ) => H A KB , do đó HK = A B (0,25 điểm) Ta chứng minh được HK AB (Dấu “ = “ A trùng A B trùng B (0,25 điểm) do đó A B AB ( 0,2 điểm ) Vậy AB nhỏ nhất OA = OB = a (0,25điểm ) Câu 5 ( 2 điểm ) Giả sử a b c d Q ( 0,2 điểm ) => a b d a => b +b +2 bc d 2 a 2d a ( 0,2 điểm) => 2 bc d 2 a b c 2d a ( 1 ) ( 0,2 điểm) => 4bc = d 2 a b c 2 + 4 d2a – 4b d 2 a b c a ( 0,2 điểm) => 4 d d 2 a b c a = d 2 a b c 2 + 4d 2a – 4 bc ( 0,2 điểm) * Nếu 4 d d 2 a b c # 0 thì: d 2 a b c 2 4d 2a 4ab a là số hữu tỉ (0,2 5điểm ) 4d(d 2 a b c) Nếu 4 d d 2 a b c = 0 thì: d =0 hoặc d 2+ a-b – c = 0 ( 0,25 điểm ) + d = 0 ta có : a b c 0 => a b c 0 Q (0,25 điểm ) + d 2+ a-b – c = 0 thì từ (1 ) => bc d a Vì a, b, c, d 0 nên a 0 Q ( 0,25 điểm )
24. Vậy a là số hữu tỉ. Do a,b,c có vai trò như nhau nên a, b, c là các số hữu tỉ