5 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: 5 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. 5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM 2017-2018 (CÓ ĐÁP ÁN)
2. 1. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT Hậu Lộc 2. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Than Uyên 3. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh 4. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Vĩnh Bảo 5. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tam Dương
3. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 7 ĐỀ HSG TOÁN 7 NĂM HỌC 2017 – 2018 Ngày thi: 26/3/2018 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1. (4,0 điểm). 132 8 19 23 a) Tính: A = 1 . 0,5 .3 1 :1 15 15 60 24 b) So sánh: 1620 và 2100 Bài 2. (3,0 điểm). 11 a) Tìm x biết: 2x 7 1 22 b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 15 .3nn 4.3 13.3 Bài 3. (4,5 điểm). 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a) Cho dãy tỉ số bằng nhau: a b c d a b b c c d d a Tính giá trị biểu thức Q, biết Q = c d d a a b b c x y z t b) Cho biểu thức M với x, y, z, t là các số xyzxytyztxzt tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10 1025 . Bài 4. (6,5 điểm). 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng: a) BAM = ACM và BH = AI. b) Tam giác MHI vuông cân. 2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE. Bài 5. (2,0 điểm). Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 11 x , 11 y , 11 z . Chứng minh rằng đa thức x2 y 4 z 6 có giá trị không lớn hơn 2. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.
4. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm Bài 1. 4,0 đ 7 47 47 + Biến đổi: A : 5 60 24 1,0 a) 2,0 đ 72 = 55 0,50 = 1 0,50 + Biến đổi: 1620 2 4.20 2 80 0,5 b) 2,0 đ + Có 2280 100 vì (1 2x 7 1 22 0,5 a) 2,0 đ => 2x 7 1 hoặc 2x 7 1 0,5 => x 4 hoặc x 3 0,5 Vậy x 4 hoặc x 3. + Biến đổi được 3n .(3 15 4) 13.3 0,25 n 6 0,25 b) 1,0 đ => 33 => n = 6 0,25 KL: Vậy n = 6 0,25 Bài 3. 4,5 đ 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d + Biến đổi: a b c d 2abcd abcd 2 abcd 2 abcd 2 1111 0,5 a b c d abcd abcd abcd abcd a) a b c d 0,25 (2,5 đ) + Nếu a + b + c + d 0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4 + Nếu a + b + c + d = 0 0,25 thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c) 1,0 => Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4 0,25 + KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d 0 0,25 Q = - 4 khi a + b + c + d = 0
5. xx + Ta có: x y z x y yy x y t x y 0,1 zz y z t z t b) tt (2,0 đ) x z t z t x y z t 0,25 M M 0) mà 210 = 1024 BAM ACM 2,75 đ * Chứng minh: BH = AI. 0,5 + Chỉ ra: BAH ACI (cùng phụ DAC ) 0,75 + Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn) 0,25 => BH = AI (2 cạnh tương ứng) b) Tam giác MHI vuông cân. + Chứng minh được AM BC 0,25 + Chứng minh được AM = MC 0,25 1.b/ + Chứng minh được HAM ICM 0,25 2,0 đ + Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c) 0,25 => HM = MI (*) 0,25 0,25 + Do HAM = ICM => HMA IMC => HMB IMA (do
6. AMB AMC 900 0,25 + Lập luận được: HMI 900 ( ) 0,25 Từ (*) và ( ) => MHI vuông cân A 0,25 2) 1,5đ B E H D C + Chứng minh được : AEC ABC BAE HAD DAC BAE EAH HAD DAC EAC 0,25 (Vì B và HAC cùng phụ với BAH ) Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE (*) 0,25 + Tương tự chứng minh được AB = BD ( ) 0,50 + Từ (*) và ( ) => AB + AC = BD + EC = ED + BC 0,25 +) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử x; y 0 => z = - x - y 0 0,25 2 4 6 Bài 5. +) Vì 11 x , 11 y , 11 z = > x y z x y z 0,50 => x2 y 4 z 6 x y z 0,25 2 4 6 0,25 2,0 đ => x y z 2 z 0,50 +) 11 z và z 0 => x2 y 4 z 6 2 0,25 KL: Vậy x2 y 4 z 6 2 Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
7. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 HUYỆN THAN UYÊN NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1. (4,0 điểm) 2 3 193 33 7 11 1931 9 a) Thực hiện phép tính: A.:. . 193 386 17 34 1931 3862 25 2 b) Rút gọn : B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + + (-5)2016 + (-5)2017. Câu 2 (4,0 điểm). 12a 15b 20c 12a 15b 20c a) Tìm a, b, c biết và a + b + c = 48. 7 9 11 b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5. Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội. Câu 3 (4,5 điểm). |x 2017 | 2018 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = . |x 2017 | 2019 3 8 15n2 1 b) Chứng tỏ rằng S = không là số tự nhiên với mọi n N, n > 4 9 16 n2 2. c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0. Câu 4 (5,5 điểm). Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng: a) DM = EN. b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC. Câu 5 (2,5 điểm). Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y = f(x) = ax. y 2 a) Tính tỉ số 0 . x0 4 b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm – SBD:
8. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2017 -2018 MÔN TOÁN LỚP 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018 (Đề thi gồm 01 trang) (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm) a) Thực hiện phép tính : 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 2 .49 2 63 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .13 b) CMR : 1 1 1 1 1 1 1 72 7 4 7 4nn 2 7 4 7 98 7 100 50 Bài 2 (3,0 điểm) a) Tìm x,y,z biết: 12 x y x2 xz 0 23 b) Cho đa thức f(x) ax2 bx c Biết ff(0) 0; f(1) 2017; ( 1) 2018. Tính a,b,c? Bài 3 (3,0 điểm) ac b22 a b a a) Cho . Chứng minh rằng cb a22 c a b) Tìm 1 số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1, 2 và 3 Bài 4 (8,0 điểm.) Cho ABC vuông tại A (AB > AC). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Trên đường vuông góc với AB tại B lấy điểm E sao cho BE = AD (E và C nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB). 1) Tam giác CDE là tam giác gì ? 2) Trên AC lấy điểm F sao cho CF = AD. Gọi giao điểm của BF và CD là O. Chứng minh COF 450 . 3) Trên BF lấy điểm P sao cho FCO OCP. Kẻ FH CP() H CP . Chứng minh: a) HO là tia phân giác của FHP b) Chứng minh: OH + OC > HF + CF. Bài 5(2,0đ) Tìm x, y N biết: 36 yx2 8 2018 2 HẾT Họ và tên thí sinh: Họ, tên chữ ký GT1: Số báo danh: . Họ, tên chữ ký GT2:
9. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 Bài Đáp án Điểm 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 2 .49 2 a) (2đ) E 63 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .13 0,5 2125 .3 2 124 .3 5 103 .7 5 44 .7 212 .3 6 2 12 .3 5 5 9 .7 3 5 9 .13 3 212 .3 4 3 1 54 .7 3 5 6 7 0,5 212 .3 5 3 1 59 .7 3 1 2 3 4 3 6 212 .3 4 .2 5 .7 5 7 12 5 9 3 2 .3 .4 5 .7 .9 0,5 1 56 7 5 Bài 1 6 5 .9 56 (4đ) 5 .3 2. 5 7 2429 0,5 2.55 .9 6250 1 1 1 1 1 1 1 b) (2đ) 72 7 4 7 4nn 2 7 4 7 98 7 100 50 1 1 1 1 1 1 Đặt A 0,5 72 7 4 7 4nn 2 7 4 7 98 7 100 1 1 1 1 1 Ta có 49A 1 0,5 72 7 4nn 4 7 4 2 7 96 7 98 1 Suy ra : 50A 1 1 0,5 7100 1 Vậy A 0,5 50 a) (1,5đ)Tìm x,y,z biết: 122 x y x xz 0 23 Sử dụng tính chất A 0 0,25 12 Suy ra x 0; y 0; x2 xz 0 0,25 23 12 Nên : x y x2 xz 0 0,25 Bài 2 23 (3đ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 2 1 0,5 x ;; y z 2 3 2 KL 0,25 b) (1,5đ)Cho đa thức f(x) ax2 bx c Biết ff(0) 0;f(1) 2017; ( 1) 2018. Tính a,b,c. Tính được f(0) = c c 0 0,25 f (1) a b c a b c 2017 a b 2017 0,25 f( 1) a b c a b c 2018 a b 2018 0,25
10. 4035 1 Từ đó tính được ab ; 0,5 22 KL: 0,25 ac b22 a b a a) (1,5đ)Cho . CMR : cb a22 c a ac Từ c2 ab 0,25 cb b2 c 2 b 2 abb a b b Khi đó : 0,5 a2 c 2 a 2 ab a a b a b22 c b Suy ra : 11 0,25 a22 c a b22 a b a Hay 0,25 a22 c a KL: 0,25 Bài 3 b) (1,5đ)Tìm 1 số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số (3đ) của nó tỉ lệ với 1,2 và 3 Gọi 2 chữ số cân tìm là a,b,c 0,25 Số chia hết cho 18 nên chia hết cho 9 .Suy ra abc 9 Lại có 1 abc 27 0,25 Suy ra a+b+c nhận 1 trong 3 giá trị 9,18,27 a b c a b c abc Theo bài ra ta có : mà aN nên N suy ra 1 2 3 6 6 0,25 a+b+c=18 abc Suy ra 3 a 3, b 6, c 9 0,25 1 2 3 Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số cuối là chẵn 0,25 KL : Ta chọn 396 và 936 0,25 B E P Bài 4 (8đ) D O H I A M F C Chứng minh: DBE CAD( ) c g c 0,5 đ 1) 2,0 Suy ra: DE = DC (1) 0,25 đ điểm BDE ACD; DEB CDA Mặt khác: DBE vuông tại B có BDE DEB 900 0,25 đ
11. Do đó: BDE CDA 900 0,25 đ Từ đó suy ra: CDE 900 0,5 đ CDE vuông tại D (2) Từ (1) và (2) suy ra CDE vuông cân tại D 0,25 đ vuông cân tại D DEC DCE 450 0,25 đ Chứng minh: BE // AC 0,5 đ Suy ra: EBC FCB Chứng minh: BEC CFB ( vì có BE = CF (cùng bằng AD), và 0,5 đ 2) BC là cạnh chung) 2,0 điểm Suy ra BCE CBF 0,25 đ Do đó BF // CE Khi đó DCE COF ( vì là hai góc so le trong) 0,25 đ Mà DCE 450 nên COF 450 0,25 đ AFH là góc ngoài tại đỉnh F của HFC 0,5 đ Nên AFH FHC HCF 9000 2. OCF 2. 45 OCF Mà AFO là góc ngoài tại đỉnh F của OFC 0,5 đ AFO COF FCO 450 FCO 3a) 1 0,5 đ 2,0 Do đó: AFO AFH 2 điểm Hay FO là tia phân giác của AFH CFH có đường phân giác của góc C và đường phân giác của ngoài tại đỉnh F 0,5 đ cắt nhau tại điểm O Nên đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh H của CHF cũng phải đi qua O Tức là HO là tia phân giác của FHP Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với OF tại I, cắt AC tại M. 0,5 đ Chứng minh: FIM FIH( ) g c g 3b) Suy ra: MI = HI, FM = FH 0,5 đ 2,0 Do đó OM = OH (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) điểm OMC có OM + OC > MC (bất đẳng thức tam giác) 0,5 đ Từ đó suy ra: OH + OC > HF + CF 0,5 đ
12. Tìm x, y N biết 36 yx2 8 2018 2 36 y22 8 x 2018 22 y 8 x 2018 36 0,25 x 2018 2 1 2 Vì yx2 0 2018 0 0,5 Bài 5 x 20182 4 (2đ) Với xy 2018 2 1 2 28(Loại) 0,25 2 x 2020 Với x 2018 4 x 2016 0,25 yy2 42 Với x 2018 2 0 x 2018; y2 36 y 6 0,25 KL 0,25
13. UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN TOÁN 7 NĂM HỌC 2017 - 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) 2 2 1 1 0,4 0,25 2017 a) Tính M = 9 11 3 5 :. 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2018 9 11 6 b) Tìm x, biết: 2017 x 2018 x 2019 x 2. Câu 2 (3,0 điểm) a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c b c a c a b c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức: B 1 1 1 . a c b b) Cho hai đa thức: f(x) (x 1)(x 3) và g(x) x32 ax bx 3 Xác định hệ số a;bcủa đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f (x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) . c) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x y z xyz . Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (M khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH. a) Chứng minh: ∆DBM = ∆FMB. b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng DK. Câu 4 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB 1) n 1 22 3 2 n 2 Chứng minh rằng Sn không là số nguyên. Hết Giám thị số 01 Giám thị số 02 ( Kí, ghi rõ họ và tên) ( Kí, ghi rõ họ và tên)
14. UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐÁP ÁN: MÔN TOÁN 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu Nội dung Điểm 2 2 1 1 0,4 0,25 2017 a) Ta có: M: 9 11 3 5 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2018 9 11 6 2 2 2 1 1 1 2017 5 9 11 3 4 5 : 0.25 7 7 7 7 7 7 2018 5 9 11 6 8 10 1 1 1 1 1 1 2 5 9 11 3 4 5 2017 : Câu 1 0.5 1 1 1 7 1 1 1 2018 7 5 9 11 2 3 4 5 2 2 2017 :0 7 7 2018 0.25 b) Có 2018 x 0 và 0,25 2017 x 2019 x x 2017 2019 x x 2017 2019 x 2 0,25 0,25 => 2017 x 2018 x 2019 x 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2017)(2019 – x) ≥ 0 và 2018 x = 0 , 0,25 suy ra: 2017 ≤ x ≤ 2019 và x = 2018 x 2018 Vậy x = 2018. a) Vì a, b,c là các số dương nên a b c 0 0,25 Nên theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: abcbcacababcbcacab 1 c a b a b c a b c b c a c a b 1 1 1 2 0,25 c a b a b b c c a 2 0,25 c a b b a c Câu 2 Mà: B 1 1 1 a c b a b c a b c B8 a c b 0,25 Vậy: B8 b) HS biết tìm nghiệm của f(x) (x 1)(x 3)= 0 x 1; x 3 0,25 Nghiệm của f (x) cũng là nghiệm của g(x) x32 ax bx 3 nên: Thay x1 vào g(x) ta có: 1 a b 3 0 0,25 Thay x3 vào g(x) ta có: 27 9a 3b 3 0
15. Từ đó HS biến đổi và tính được: a 3; b 1 0,5 c) Vì x,y,z Z nên giả sử 1 x y z 1 1 1 1 1 1 3 Theo bài ra: 1 2 2 2 2 yz yx zx x x x x 2 0,25 Suy ra: x 3 x 1 Thay vào đầu bài ta có: 1yzyz yyz1z0 y 1 z 1 z 2 0 y 1 z 1 2 0,25 y 1 1 y 2 TH1: z 1 2 z 3 y 1 2 y 3 0,25 TH2: (loại) z 1 1 z 2 0,25 Vậy (x; y; z) = (1;2;3) và các hoán vị A H E D F C Q B P M I K Câu 3 a) Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) 1,0 b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) MD = BF (2 cạnh 0,25 tương ứng) (1) +) C/m: ∆MFH = ∆HEM ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH 0,25 BH không đổi MD + ME không đổi (đpcm) 0,25 c) Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC 0,25 +) Chứng minh: BD = FM = EH = CK +) Chứng minh: ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn) DP = KQ (cạnh tương ứng) 0,25 +) Chứng minh: IDP IKQ ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm 0,25 0,25
16. A F E I B D C Ta có ABC 600 BAC BCA 1200 1 AD là phân giác của BAC suy ra IAC = BAC 2 1 CE là phân giác của ACB suy ra ICA = BCA 2 Câu 4 1 0 0 0 Suy ra IAC ICA = .120 = 60 AIC = 120 2 Do đó AIE DIC = 600 0,25 Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE Xét EAI và FAI có: AE = AF EAI FAI AI chung Vậy EAI = FAI (c-g-c) 0,25 suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1) 0 0 AIE AIF = 60 FIC AIC AIF = 60 0,25 Chứng minh DIC = FIC (g-c-g) Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại 1 1 1 1 Có S 1 1 1 1 n 12 2 2 3 2 n 2 1 1 1 (n 1) (2 2 2 ) 2 3 n 0,25 1 1 1 Đặt A 22 3 2 n 2 Câu 5 Do A > 0 nên Sn n 1 0,25 1 1 1 1 Mặt khác A 1 1.2 2.3 (n 1).n n 11 1 Sn (n1)(1 )n2 n2 (do 0 ) 0,25 nn n n 2 S n 1 nên S không là số nguyên n n 0,25 Chú ý: - Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa - Hình vẽ sai không chấm điểm bài hình
17. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 01 trang Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! 1042 .81 16.15 Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 44 .675 x y z Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và 2x2 2y 2 3z 2 100 . 3 4 5 Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018 0 . Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2. Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a Tính giá trị của biểu thức: M c d d a a b b c Câu 5. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: f x ax2 bx c (x là ẩn; a, b, c là hệ số). Biết rằng: f 0 2018, f 1 2019 , f 1 2017. Tính f 2019 . 27 2x Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x là số nguyên). 12 x Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK. Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho MA=2cm, MB=3cm và AMC 1350 . Tính MC. Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3; ; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa lấy luôn tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k. HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi:
18. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU CHỌN HSG Năm học: 2017 – 2018 Môn Toán – Lớp 7 Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa. -Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó. Câu Nội dung Điểm 1042 .81 16.15 24.54.34 24.32.52 A 4 = 8 3 2 0,5 4 .675 2 .3 .5 24.32.52 (52.32 1) 225 1 1 = 8 3 2 = 4 0,5 2 .3 .5 2 .3 5 224 2 .7 14 = = = 0,5 24 .3 2 4.3 3 0,5 x y z x 2 y 2 z 2 2x 2 2y 2 3z 2 2x 2 2y 2 3z 2 100 0,5 Từ ta suy ra: 4 3 4 5 9 16 25 18 32 75 25 25 0,5 x 6 y 8 2 x 36 2 x 10 Suy ra: y 2 64 ( Vì x, y, z cùng dấu) 0,5 2 x 6 z 100 y 8 z 10 KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10) 0,5 Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2018 0 với mọi x, y nên 0,25 (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 với mọi x, y. 0,25 Mà theo đề bài : (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0 0,25 3 Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0 0,25 1 suy ra x = 2, y = 0,25 2 0,25 Khi đó tính được: M = 24. 0,5 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Từ: a b c d 2abcd abcd 2 abcd 2 abcd 2 Suy ra : 1111 0,25 a b c d abcd abcd abcd abcd (*) 0,5 a b c d 4 Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d) a b b c c d d a 0,25 M = -4 c d d a a b b c 0,25 Nếu a + b + c + d 0 thì từ (*) a = b = c = d 0,25 = 4 0,25
19. KL: 0,25 Xét x =0: fc(0) 2018 2018 0,25 Xét x =1: f(1) 2019 a b c 2018 a b 1 (1) 0,25 Xét x =-1: f( 1) 2017 a b c 2017 a b 1 (2) 0,25 5 Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0 Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1 0,25 0,25 Từ đó tìm được f x x 2018 0,25 Suy ra: f 2019 1 0,5 27 2x 3 0,25 Ta có: Q = = 2+ . 12 x 12 x 3 0,25 Suy ra Q lớn nhất khi lớn nhất 12 x 3 0,25 * Nếu x > 12 thì 12 x 0 0. 12 x 3 0,25 * Nếu x 0 0,25 Vì phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có 0,25 giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất. Hay 12 xx 1 11 0,25 Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11 0,25 Do a Z+ 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c 0,25 Vậy 5b > 5c b>c 5b  5c 0,25 Hay (a3 + 3a2 + 5) (a+3) a2 (a+3) + 5 a + 3 0,25 Mà a2 (a+3) a + 3 5 a + 3 a + 3 Ư (5) 7 0,25 Hay: a+ 3 { 1 ; 5 } (1) Do a Z+ a + 3 4 (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5 a =2 0,25 Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52 b = 2 c 0,25 Và 5 =a + 3 = 2+3= 5 c = 1 0,25 Vậy: a = 2; b = 2; c = 1
20. - Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì x BOM BMO 300 - BK là đường cao của tam giác cân BMO 0,5 nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1) 0,5 B - Chứng minh BKO OHB(c.h g.n) z 8 M 0,5 - Suy ra BH=OK (2) K 0,25 - Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm O H 0,25 y - Dựng tam giác ADM vuông cân tại A D 0,25 (D, B khác phía đối với AM) - Chứng minh ABM ACD(c.g.c) vì: AD=AM ( AMD vuông cân tại A) A BAM CAD (cùng phụ với CAM 0,5 9 AB=AC (giả thiết) - Suy ra: CD=BM=3cm 2 2 2 0,25 - Tính được MD =AD +AM = 8 0,25 - Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M M 0,25 - Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1 B C 0,25 =>CD=1cm 0,25 - Xét 100 số 101; 102; 103; ; 200. Trong 100 số này rõ ràng không có số nào là bội 0,25 của số kia (vì 101.2>200). Do đó k 101 (1) 0,25 - Xét 101 số bất kì lấy ra từ 200 số đã cho: 1 a1 a 2 a 3 a 101 200. 0,25 Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng: ab 2.n1 11 n2 ab22 2. n3 ab33 2. 10 n101 ab101 2. 101 0,25 Với ni là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. (i 1;101) Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ;199}. Vì có 101 các số b mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số b và b nào đó bằng i i j 0,25 nhau. n ni j Suy ra trong hai số abii 2. và abjj 2. sẽ có một số là bội của số còn lại. 0,25 Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì luôn có 2 số mà số này là bội của số kia (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101. 0,25 Hết