55 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: 55 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1. 55 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 7 ĐỀ SỐ 1: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: 1 a) . 1 6 2nn ; b) 27 < 3n < 243 8 Bài 2. Thực hiện phép tính: 11111357 49 ( ) 4.99.1414.1944.4989 Bài 3. a) Tìm x biết: 2x 3 x 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 A 63 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .14 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 22 2 n 3 n 2 n chia hết cho 10
2. Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 142 a. x 3,2 355 xx 111 b. xx 770 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. ac a c22 a b) Cho . Chứng minh rằng: cb b c22 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EHBC HBC . Biết H B E = 50o ; M E B =25o . Tính H E M và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 20 0 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Hết ĐỀ SỐ 2: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212 .34 56 .95 210 .725 352 .49 A 63 224 .38 5 .3 125.75 .14 93 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 22 2 n 3 n 2 n chia hết cho 10
3. Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 142 a. x 3,2 355 xx 111 b. xx 770 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. ac a c22 a d) Cho . Chứng minh rằng: cb b c22 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EHBC HBC . Biết H B E = 50o ; M E B =25o . Tính H E M và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 20 0 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC Hết ĐỀ SỐ 3: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a4 9 9 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn 10 11 Câu 3. Cho 2 đa thức P x = x 2 + 2mx + m 2 và Q x = x + (2m+1)x + m
4. Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: xy a / ; xy=84 37 1+3y1+5y1+7y b/ 125x4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = x 1 +5 x2 15 B = x2 3 Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a. Chứng minh: DC = BE và DC  BE b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA c. Chứng minh: MA BC ĐỀ SỐ 4: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : 2 1 1 1 a- 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b- 2 3 2 5 . 5 12 Câu 2 ( 2 điểm) a 2 a 3 a- Tìm số nguyên a để là số nguyên a 1 b- Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0 Câu 3 ( 2 điểm) a c a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0 b d
5. b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để được một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5 ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2 - 2y2 =1 ĐÁP ÁN ĐỀ 1TOÁN 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) 1 a) .162nn ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 8 b) 27 33 n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1111 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.1944.4989 1111 1 1 1 1 12(1357 49) = ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 1 1 1 2 (12.50 25)5.9.7.899 = (). 5 4 49895.4.7.7.8928 Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2x 3 x 2 Ta có: x + 2 0 => x - 2.
6. ĐỀ SỐ 49: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tìm x biết: x2 6x 2 x2 4 b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = (3 4x x2 )2004. (3 4x x2 )2005 Bài 2: (2 điểm) Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số tự nhiên. Tìm x ? Bài 3: (2 điểm) x y z t Cho . y z t z t x t x y x y z CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: x y y z z t t x P z t t x x y y z Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B = . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc 1 EBA= . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC. 3 Chứng minh tam giác CED là tam giác cân. Bài 5: (1 điểm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a3 3a2 5 5b và a 3 5c
7. ĐỀ SỐ 40: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính A 3 32 33 34 32003 32004 b) Tìm x biết x 1 x 3 4 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: x y z Nếu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Thì x 2y z 2x y z 4x 4y z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đường mỗi người đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC. Tính số đo các góc AIC và AKB ? Bài 5: (1 điểm) Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức: x2005 2006x2004 2006x2003 2006x2002 2006x2 2006x 1 ĐỀ SỐ 50:
8. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) a b c Câu 1 . ( 2đ) Cho: . b c d 3 a b c a Chứng minh: . b c d d Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng: a c b A = . b c a b c a Câu 3. (2đ). Tìm x Z để A Z và tìm giá trị đó. x 3 1 2x a). A = . b). A = . x 2 x 3 Câu 4. (2đ). Tìm x: a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 Câu 5. (3đ). Cho ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E BC, BH,CK  AE, (H,K AE). Chứng minh MHK vuông cân. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 Câu 1: (2đ) xx 2 Rút gọn A= xx2 820 Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau. Câu 3: (1,5đ) 10532006 Chứng minh rằng là một số tự nhiên. 9 Câu 4 : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az tại C. vẽ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC.Chứng minh rằng . a, K là trung điểm của AC. b, BH = AC 2 c, KMC đều Câu 5 (1,5 đ)
9. Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dưới đây đúng một nửa và sai 1 nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2. b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3. c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4. Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn. ĐỀ SỐ 51: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (3 điểm): Tính 11223 18(0,06: 73.0,38) : 192.4 62534 ac Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: cb aca22 baba22 a) b) bcb22 aca22 Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15361 a) x 42 b) xx 5 12752 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A20 0 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: g) Tia AD là phân giác của góc BAC h) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm xy, biết: 25 yx22 8( 2009)
10. ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: 3 điểm 1 1 2 2 3 18 (0,06: 7 3 .0,38) : 19 2 .4 = 6 2 5 3 4 1096151738819 = (:.):19. 0.5đ 61002510034 10932171938 = :19 1đ 650155503 109232319 = : 0.5 62502503 1 0 9 1 3 3 = . = 0.5đ 6 1 0 1 9 5063253 = . 0.5đ 301995 Bài 2: ac a) Từ suy ra c a2 b . 0.5đ cb acaa222 b . khi đó 0.5đ bcba222 b . aaba() = 0.5đ babb() acabcb2222 b) Theo câu a) ta có: 0.5đ bcbaca2222 bcbbcb2222 từ 11 1đ acaaca2222 bcacba2222 hay 0.5đ aca22 baba22 vậy 0.5đ aca22 Bài 3: 1 a) x 42 5 1 x 24 0.5đ 5
11. 11 1 xx 22 hoặc x 2 1đ 55 5 119 Với xx 22 hay x 0.25đ 555 1111 Với xx 22 hay x 0.25đ 555 b) 15 3 6 1 xx 12 7 5 2 6 5 3 1 xx 0.5đ 5 4 7 2 6 5 1 3 () x 0.5đ 5 4 1 4 4 9 1 3 x 0.5đ 2 0 1 4 130 x 0.5đ 343 Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5.x 4. y 3. z và x x y z 59 1đ xyzxxyz 59 hay: 60 0.5đ 111111159 543554360 Do đó: 1 1 1 x 60. 12 ; x 60. 15 ; x 60.20 0.5đ 5 4 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ
12. Bài 5: A -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ 200 suy ra D A B D A C M Do đó DAB 20:21000 b) ABC cân tại A, mà A 200 (gt) nên ABC (1800 20 0 ): 2 80 0 D ABC đều nên D B C 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra 000 C ABD 806020 . Tia BM là phân giác của góc ABD B nên ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAMABDABMDAB 20;1000 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25y8(x2009) 22 Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ 25 Vì y2 0 nên (x-2009)2 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ 8 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y ) 0.5đ Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ ĐỀ SỐ 52: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) 1 1 1 1 Bài 1. Tính 1.6 6.11 11.16 96.101 1 1 1 Bài 2. Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: x y 5
13. Bài 3. Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7 Bài 4. Tìm x, y thoả mãn: x1x2y3x4 = 3 Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; góc BAC = 700 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 400. Chứng minh: BN = MC. ĐỀ SỐ 52: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 21256210352 .34 .95 .725 .49 A 63 2245 .38 .3 125.75 .14 93 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3232nnnn 22 chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 142 a. x 3,2 355 xx 111 b. xx 770 Bài 3: (4 điểm) 231 e) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của ba số 546 đó bằng 24309. Tìm số A. ac a22 c a f) Cho . Chứng minh rằng: cb b22 c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
14. c) Từ E kẻ E H B C H B C . Biết H B E = 50o ; M E B =25o . Tính H E M và B M E Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: i) Tia AD là phân giác của góc BAC j) AM = BC Hết
15. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Bài 1:(4 điểm): Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 10 2.3412562103521251241034 .95 .725 .492.32.35 .75 .7 A 0,5 điểm 6393 12612593933 2245 .38 .3 125.75 .14 2.32.35 .75 .2 .7 2.3124103 . 315 .7 . 17 0,5 điểm 2.3125 . 31 5933 .7 . 12 2.3124 .2 5103 .7 .6 0,5 điểm 2.312593 .45 .7 .9 1107 0,5 điểm 632 b) (2 điểm) n + 2 3 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 3232nnnn 22 = 3322nnnn 22 =3(31)2(21)nn22 0,5 điểm =31025310210nnnn    1 1 điểm = 10( 3n -2n) Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
16. 14214162 xx 3,2 3553555 1414 x 0,5 điểm 355 0,5 điểm x 1 2 1 x 2 3 3 x 1 2 3 0,5 điểm x 2 17 33 x 2 15 33 0,5 điểm b) (2 điểm) xx 770 xx 111 x 110 xx7170 xx7170 x 110 x 1 x 70 1 (7)0x 10 xx 707 10 (7)18xx Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 231 0,5 điểm Theo đề bài ta có: a : b : c = :: (1) 546 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm a b c 23k Từ (1) = k a k;; b k c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 0,5 điểm
17. 491 Do đó (2) k 2 ()24309 251636 k = 180 và k = 180 0,5 điểm + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. 0,5 điểm + Với k = , ta được: a = 72 ; b = 135; c = 30 Khi đó ta có só A = +( ) + ( ) = 237. b) (1,5 điểm) 0,5 điểm ac Từ suy ra c a2 b . cb 0,5 điểm acaab222 . khi đó bcbab222 . 0,5 điểm a a() b a = b a() b b Bài 4: (4 điểm) Đáp án Thang điểm Vẽ hình 0,5 điểm A I B M C H K E a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB MAC = MEB
18. (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét A M I và E MK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì A M C E M B ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có H B E = 50o H B E = 90o - H B E = 90o - 50o =40o 0,5 điểm HEM = H E B - M E B = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm B M E là góc ngoài tại đỉnh M của H E M Nên B M E = H E M + M H E = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D B C
19. -Vẽ hình a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1 điểm suy ra D A B D A C 0,5 điểm Do đó DAB 20:21000 0,5 điểm b) ABC cân tại A, mà A 200 (gt) nên ABC (1800 20 0 ): 2 80 0 ABC đều nên DBC 600 0,5 điểm Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD 806020000 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM 100 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAMABDABMDAB 20;1000 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa. ĐỀ SỐ 53: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : 2 1 1 1 a. 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b. 2 3 2 5 . 5 12 Câu 2 ( 2 điểm) a 2 a 3 a. Tìm số nguyên a để là số nguyên a 1 b. Tìm số nguyên x, y sao cho x- 2xy + y = 0 Câu 3 ( 2 điểm) a c a. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b + d) thì với b, d khác 0 b d b. Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1 + 2 + 3 + để được một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 ( 3 điểm)
20. Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5 ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2- 2y2 = 1 ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN 7 CÂ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM U 1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a a 2 a 3 a(a 1) 3 3 0,25 Ta có : = a a 1 a 1 a 1 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi 3 là số nguyên a 1 hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau : 0,25 a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 0,25 Vậy với a 4, 2,0,2thì là số nguyên 0,25 2.b Từ : x- 2xy + y = 0 Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1 0,25 Vì x,y là các số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau : 1 2y 1 x 0 2x 1 1 y 0 0,25
21. 1 2y 1 x 1 0,25 Hoặc 2x 1 1 y 1 Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài 0,25 3.a Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d) 0,5 a c Hay ad = bc Suy ra ( ĐPCM) b d 0,5 3.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa=111.a ( a là chữ số khác 0) Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : n(n 1) 111a 3.37.a Hay n(n + 1) =2.3.37.a 2 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n + 1 < 74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n=37 hoặc n + 1 = 37 0,25 n(n 1) Nếu n =37 thì n + 1 = 38 lúc đó 7 0 3 không thoả mãn 2 n(n 1) Nếu n + 1=37 thì n = 36 lúc đó 666 thoả mãn 2 Vậy số số hạng của tổng là 36 0,5 4 A H B C D Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300 0,5 CD Nên CH = CH = BC 2 Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150 0,5 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450 + 300 =750 1,0 1,0 5 Từ : x2- 2y2 =1suy ra x2- 1 = 2y2 0,25 0,25
22. Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x = 3 lúc đó y = 2 nguyên tố thoả mãn Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2 =19 không thoả mãn 0,25 Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3) 0,25 ĐỀ SỐ 54: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4đ) - Rút gọn biểu thức a- A = a - 2 + 3 - 2a - 5 + a b- 1 2 3 (n 1) n (n 1) 3 2 1 với n N Bài 2 (4 đ) . Chứng minh rằng : nếu a,b,c là các số không âm thoả mãn các điều kiện sau : a + 3 c 17 = 8 và a + 2 b = 9 thì N = a + b - c - là số không dương . Tìm a,b,c để N = 0 2 Bài 3 (4 đ) . x2 3 Cho biểu thức A = 2 x Biểu thức A có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhát ? Tìm giá trị đó Câu 4 (4 đ) Cho tam giác cân ABC có ACB = 100 0 . Phân giác trong của CAB cắt CB tại D . Chứng minh rằng AD + DC = AB Bài 5 ( 4 đ) Cho tam giác ABC có AB = AC . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm D sao cho hai điểm B , D nằm khác phía đối với đường thẳng AC . Gọi K là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với AB và đường thẳng qua trung điểm M của CD và vuông góc với AD . Chứng minh KB = KD
23. ĐỀ SỐ 55: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: Thực hiện phép tính (2 điểm) 1 1 5 1 5 5 1 2 69 1 1 1 a/ : : b/ 2 3 4 5 9 11 22 9 15 3 167 Bài 2: So sánh (2 điểm) 2 a/ 7 5 với 48 2 b/ 1 50 với 6 Bài 3: Tìm x, y, z biết (4,5 điểm) a/ 3(x-2) – 4(2x+1) – 5(2x+3) = 50 1 1 21 b/ 3 : 4 2x 1 2 3 22 3x 2y 5y 3z 2z 5x c/ và 10x - 3y - 2z = -4 37 15 2 Bài 4: (6 điểm) Cho hàm số y m 2009 x 2 x . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; -1) a/ Tìm m b/ Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được c/ Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số trên. B(-2; -2) C(5; 1) D(2; 10) d/ Tính diện tích tam giác OBC Bài 5: (5,5 điểm) Cho ∆ABC, góc B = 600, AB = 7cm, BC = 14cm. Trên BC lấy điểm D sao cho góc BAD = 600. Gọi H là trung điểm của BD a/ Tính độ dài HD b/ Chứng minh rằng ∆DAC cân c/ ∆ABC là tam giác gì?
24. d/ Chứng minh rằng AB2 + CH2 = AC2 + BH2 ====== (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)