55 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: 55 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1. 55ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 7 ĐỀ SỐ 1: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎIHUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: 1 nn n a) .1 6 2 ; b) 27 < 3 < 243 8 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 11357 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài 3. a) Tìm x biết: 2 x 3 x 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. Bài 5.Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽđường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC ĐỀSỐ 2: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎIHUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 2.31 2 5 4.9 6 2 5.7 1 0 3 25.49 5 2 A 63 2 4 5 93 2 .3 8 .3 1 2 5 .7 5 .1 4 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
2. n22 n n n 3 2 3 2 chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3, 2 3 5 5 xx1 1 1 b. xx7 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. 22 ac a c a b) Cho . Chứng minh rằng: 22 cb b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng o o c) Từ E kẻ EHBC HBC . Biết HBE = 50 ; MEB =25 . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 2 0 0 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Hết ĐỀSỐ 2: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎIHUYỆN MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 2.31 2 5 4.9 6 2 5.7 1 0 3 25.49 5 2 A 63 2 4 5 93 2 .3 8 .3 1 2 5 .7 5 .1 4 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
3. n22 n n n 3 2 3 2 chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3, 2 3 5 5 xx1 1 1 b. xx7 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. 22 ac a c a d) Cho . Chứng minh rằng: 22 cb b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng o o c) Từ E kẻ EHBC HBC . Biết HBE = 50 ; MEB =25 . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 2 0 0 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC Hết ĐỀSỐ 3: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a4 9 9 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn 10 11 Câu 3. Cho 2 đa thức 2 2 P x = x + 2mx + m và
4. 2 Q x = x + (2m+1)x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: xy a/ ; xy=84 37 1+3y 1+5y 1+7y b / 1 2 5 x 4 x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = x 1 +5 2 x 15 B = 2 x 3 Câu 6: Cho tam giác ABC cóÂ< 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a. Chứng minh: DC = BE và DC BE b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA c. Chứng minh: MA BC ĐỀSỐ 4: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : 2 1 1 1 a- 6 . 3 . 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b- 2 3 2 5 . 5 12 Câu 2 ( 2 điểm) 2 a- Tìm số nguyên a để a a 3 là số nguyên a 1 b- Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0 Câu 3 ( 2 điểm)
5. a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì a c với b,d khác 0 b d b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ đểđược một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5 ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2 - 2y2 =1 ĐÁPÁNĐỀ 1TOÁN 7 Bài 1.Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) 1 nn 4n-3 n a) .1 6 2 ; => 2 = 2 => 4n – 3 = n => n = 1 8 b) 27 33 n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính:(4 điểm) 1 1 1 11357 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1111 1 1 1 1 12(1357 49) = ( ). 5499141419 4449 12 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 = (). 54 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài 3.(4 điểm mỗi câu 2 điểm)
6. a) Tìm x biết: 2 x 3 x 2 Ta có: x + 2 0 => x - 2. + Nếu x - 3 thì => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) 2 5 + Nếu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Thoả mãn) 3 + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2006 2007 x Khi x thay đổi + Nếu x -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007 Bài 4.Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờđến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có: x – y = 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) 3 và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) x 12 x y x y 1 1 Do đó: : 11 y 1 12 1 11 3 33 12 4  x = ( vòng ) x (giờ) 33 11 Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờđến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là 4 giờ 11
7. ĐỀSỐ 48: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức: 2 4 3 81 ,624 : 4 4 ,505 125 3 4 A 2 2 11 2 13 : 0 ,88 3,53 ( 2 ,75 ) : 25 25 b) Chứng minh rằng tổng: 1 1 1 1 1 1 1 S 0 ,2 2 4 6 4 n 2 4 n 2002 2004 2 2 2 2 2 2 2 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm các số nguyên x thoả mãn. 2005 x 4 x 10 x 101 x 990 x 1000 b) Cho p > 3. Chứng minh rằng nếu các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì d chia hết cho 6. Bài 3: (2 điểm) a) Để làm xong một công việc, một số công nhân cần làm trong một số ngày. Một bạn học sinh lập luận rằng nếu số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi 1/3. Điều đóđúng hay sai ? vì sao ? b) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2 a b c d a 2 b c d a b 2 c d a b c 2 d a b c d a b b c c d d a Tính M c d d a a b b c Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I. a) Tính các góc của DIE nếu góc A = 600. b) Gọi giao điểm của BD và CE với đường cao AH của ABC lần lượt là M và N. Chứng minh BM > MN + NC. Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z là các số dương. Chứng minh rằng: x y z 3 2 x y z 2 y z x 2 z x y 4
8. ĐỀSỐ 49: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) 2 2 a) Tìm x biết: x 6 x 2 x 4 b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: 2 2004 2 2005 A(x) = (3 4 x x ) . (3 4 x x ) Bài 2: (2 điểm) Ba đường cao của tam giác ABC cóđộ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số tự nhiên. Tìm x ? Bài 3: (2 điểm) Cho x y z t . y z t z t x t x y x y z CMR biểu thức sau có giá trị nguyên: x y y z z t t x P z t t x x y y z Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B = . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc EBA= 1 . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC. 3 Chứng minh tam giác CED là tam giác cân. Bài 5: (1 điểm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : 3 2 b c a 3 a 5 5 và a 3 5
9. ĐỀSỐ 40: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm) 2 3 4 2003 2004 a) Tính A 3 3 3 3 3 3 b) Tìm x biết x 1 x 3 4 Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng: Nếu x y z a 2 b c 2 a b c 4 a 4 b c Thì a b c x 2 y z 2 x y z 4 x 4 y z Bài 3: (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km đểđi đến C (ba địa điểm A, B, C ở cùng trên một đường thẳng). Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đường mỗi người đãđi. Biết họđến C cùng một lúc. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC. Tính sốđo các góc AIC và AKB ? Bài 5: (1 điểm) Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức: 2005 2004 2003 2002 2 x 2006 x 2006 x 2006 x 2006 x 2006 x 1 ĐỀSỐ 50:
10. ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 . ( 2đ) Cho: a b c . b c d 3 Chứng minh: a b c a . b c d d Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng: A = a c b . b c a b c a Câu 3. (2đ). Tìm x Z để A Z và tìm giá trịđó. a). A = x 3 . b). A = 1 2 x . x 2 x 3 Câu 4. (2đ). Tìm x: 2 x x+ 2 a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) = 81. c). 5 + 5 = 650 Câu 5. (3đ). Cho ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E BC, BH,CK AE, (H,K AE). Chứng minh MHK vuông cân. ĐỀTHIHỌCSINHGIỎITOÁNLỚP 7 Câu 1: (2đ) xx 2 Rút gọn A= 2 xx8 2 0 Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau. Câu 3: (1,5đ) 2006 Chứng minh rằng 1 0 5 3 là một số tự nhiên. 9 Câu 4 : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽđường thẳng song song với với Ay cắt Az tại C. vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chứng minh rằng . a, K là trung điểm của AC. b, BH = AC 2 c, KMC đều Câu 5 (1,5 đ)
11. Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dưới đây đúng một nửa và sai 1 nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2. b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3. c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4. Em hãy xác định thứ tựđúng của giải cho các bạn. ĐỀSỐ 51: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (3 điểm): Tính 1 1 2 2 3 18 (0,06:7 3 .0,38) :19 2 .4 6 2 5 3 4 Bài 2: (4 điểm): Cho ac chứng minh rằng: cb 22 22 a c a b a b a a) 22 b) 22 b c b a c a Bài 3:(4 điểm)Tìm x biết: 1 1 5 3 6 1 a) x 42 b) xx 5 1 2 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 2 0 0 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: g) Tia AD là phân giác của góc BAC h) AM = BC 22 Bài 6: (2 điểm): Tìm xy, biết: 2 5yx 8 ( 2 0 0 9 )
12. ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: 3 điểm 1 1 2 2 3 18 (0,06:7 3 .0,38) :19 2 .4 = 6 2 5 3 4 109 6 151738 819 = ( : . ) : 1 9 . 0.5đ 6 1002 5100 34 109 32 1719 38 = . . : 1 9 1đ 6 5 0 1 5 5 5 0 3 1 0 9 2 3 2 3 1 9 = : 0.5 6 2 5 0 2 5 0 3 1 0 9 1 3 3 = . = 0.5đ 6 1 0 1 9 5 0 6 3 2 5 3 = . 0.5đ 3 0 1 9 9 5 Bài 2: ac a) Từ suy ra c2 a. b 0.5đ cb 2 2 2 a c a a. b khi đó 2 2 2 0.5đ b c b a. b = a() a b a 0.5đ b() a b b 2 2 2 2 a c a b c b b) Theo câu a) ta có: 2 2 2 2 0.5đ b c b a c a 2 2 2 2 b c b b c b 11 từ 2 2 2 2 1đ a c a a c a 2 2 2 2 b c a c b a hay 22 0.5đ a c a 22 b a b a vậy 22 0.5đ a c a Bài 3: 1 a) x 42 5 1 x 240.5đ 5
13. 11 1 xx22hoặc x 2 1đ 55 5 119 Với xx22 hay x 0.25đ 555 1111 Với xx22 hay x 0.25đ 555 b) 1 5 3 6 1 xx 1 2 7 5 2 6 5 3 1 xx 0.5đ 5 4 7 2 6 5 1 3 ()x 0.5đ 5 4 1 4 4 9 1 3 x 0.5đ 2 0 1 4 130 x 0.5đ 343 Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5 .x 4 . y 3 . z và x x y z 59 1đ x y z x x y z 59 hay: 60 0.5đ 1 1 1 1 1 1 1 5 9 5 4 3 5 5 4 3 6 0 Do đó: 1 1 1 x 6 0 . 1 2 ; x 6 0 . 1 5 ; x 6 0 . 2 0 0.5đ 5 4 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: A -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ 200 suy ra DABDAC M Do đó DAB 2 000 : 2 1 0 b) ABC cân tại A, mà A 200 (gt) nên 0 0 0 D ABC (180 20):2 80 0 ABC đều nên DBC 60 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra 0 0 0 C ABD 8 0 6 0 2 0 . Tia BM là phân giác của góc ABD B
14. nên ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: 00 AB cạnh chung ; BAMABDABMDAB 2 0 ; 1 0 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 y22 8(x 2009) Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ Vì y2 0 nên (x-2009)2 25 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ 8 Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) 2 2 Với (x- 2009) = 0 thay vào (*) ta có y =25 suy ra y = 5 (do y ) 0.5đ Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ ĐỀSỐ 52: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) 1 1 1 1 Bài 1. Tính 1.6 6.11 11.16 96.101 1 1 1 Bài 2. Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: x y 5 Bài 3. Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20, 140 và 7 Bài 4. Tìm x, y thoả mãn: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3 Bài 5. Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; góc BAC = 700 . Phân giác trong góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho góc MBN = 400. Chứng minh: BN = MC. ĐỀSỐ 52: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút)
15. Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 2.31 2 5 4.9 6 2 5.7 1 0 3 25.49 5 2 A 63 2 4 5 93 2 .3 8 .3 1 2 5 .7 5 .1 4 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : n22 n n n 3 2 3 2 chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3, 2 3 5 5 xx1 1 1 b. xx7 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 e) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. 22 ac a c a f) Cho . Chứng minh rằng: 22 cb b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng o o c) Từ E kẻ EHBC HBC . Biết HBE = 50 ; MEB =25 . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 2 0 0 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: i) Tia AD là phân giác của góc BAC j) AM = BC Hết
16. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Bài 1:(4 điểm): Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 10 125 62 103 5 2 125 124 103 4 2.3 4.9 5.7 25.49 2.3 2.3 5.7 5.7 A 0,5 điểm 6393 126 125 93 933 22 .3 8 4 .3 5 1 2 5 .7 5 .1 4 2.3 2.3 5.7 5.2.7 1 2 4 1 0 3 2.3.3 1 5.7.1 7 0,5 điểm 1 2 5 2 .3 . 3 1 59 .7 3 . 1 2 3 1 2 4 1 0 3 2 .3 .2 5 .7 . 6 0,5 điểm 1 2 5 9 3 2 .3 .4 5 .7 .9 1 1 0 7 0,5 điểm 6 3 2 b) (2 điểm) n + 2 3 - Với mọi số nguyên dương n ta có: n22 n n n n22 n n n 3 2 3 2 = 3 3 2 2 nn22 = 3 (3 1) 2 ( 2 1) 0,5 điểm n n n n 1 = 310 2 5 310 2 10 1 điểm = 10( 3n -2n) Vậy  10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
17. 1 4 2 1 4 1 6 2 xx3, 2 3 5 5 3 5 5 5 1 4 1 4 0,5 điểm x 3 5 5 0,5 điểm 1 1 x 2 x 2 3 1 3 x 2 3 0,5 điểm x 2 17 33 x 2 15 33 0,5 điểm b) (2 điểm) xx1 1 1 xx7 7 0 x 1 1 0 xx7 1 7 0 x 1 1 0 xx7 1 7 0 x 1 x 70 10 1 (x 7 ) 0 xx7 0 7 (xx 7 )10 1 8 Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. 2 3 1 0,5 điểm Theo đề bài ta có: a : b : c = :: (1) 5 4 6 và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) 0,5 điểm a b c 23k Từ (1) = k a k;; b k c 2 3 1 5 4 6 5 4 6 0,5 điểm
18. 2 4 9 1 Do đó (2) k ( ) 2 4 3 0 9 2 5 1 6 3 6 k = 180 và k = 180 0,5 điểm + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. 0,5 điểm + Với k = , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = +( ) + ( ) = 237 . b) (1,5 điểm) 0,5 điểm ac Từ suy ra c2 a. b cb 0,5 điểm 2 2 2 a c a a. b khi đó 2 2 2 b c b a. b 0,5 điểm a() a b a = b() a b b Bài 4: (4 điểm) Đáp án Thang điểm Vẽ hình 0,5 điểm A I B M C H K E a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB MAC = MEB
19. (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì AMCEMB ) AI = EK (gt ) Nên AMIEMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra AMI = EMK o Mà AMI + IME = 180 ( tính chất hai góc kề bù ) o EMK + IME = 180 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) o o Trong tam giác vuông BHE ( H = 90 ) có HBE = 50 o o o o HBE = 90 - HBE = 90 - 50 =40 0,5 điểm o o o HEM = HEB - MEB = 40 - 25 = 15 0,5 điểm BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM o o o Nên BME = HEM + MHE = 15 + 90 = 105 ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 200 M D B C
20. -Vẽ hình a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1 điểm suy ra DABDAC 0,5 điểm Do đó DAB 2 000 : 2 1 0 0,5 điểm 0 0 0 b) ABC cân tại A, mà A 200 (gt) nên ABC (180 20):2 80 0 ABC đều nên DBC 60 0,5 điểm Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD 8 00 6 0 0 2 0 0 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM 100 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: 00 AB cạnh chung ; BAMABDABMDAB 2 0 ; 1 0 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa. ĐỀSỐ 53: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : 2 1 1 1 a. 6 . 3 . 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b. 2 3 2 5 . 5 12 Câu 2 ( 2 điểm) 2 a. Tìm số nguyên a để a a 3 là số nguyên a 1 b. Tìm số nguyên x, y sao cho x- 2xy + y = 0 Câu 3 ( 2 điểm) a. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b + d) thì a c với b, d khác 0 b d b. Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1 + 2 + 3 + đểđược một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 ( 3 điểm)
21. Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5 ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2- 2y2 = 1 ĐÁPÁNCHẤM TOÁN 7 CÂ HƯỚNGDẪNCHẤM ĐIỂM U 1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2 2.a a a 3 a ( a 1) 3 3 0,25 Ta có : = a a 1 a 1 a 1 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi 3 là số nguyên a 1 hay a+1 làước của 3 do đó ta có bảng sau : 0,25 a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 0,25 Vậy với a 4 , 2 ,0 ,2 thì là số nguyên 0,25 2.b Từ : x- 2xy + y = 0 Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1 0,25 Vì x,y là các số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau : 1 2 y 1 x 0 2 x 1 1 y 0 0,25
22. 1 2 y 1 x 1 0,25 Hoặc 2 x 1 1 y 1 Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài 0,25 3.a Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d) 0,5 Hay ad = bc Suy ra a c ( ĐPCM) b d 0,5 3.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0) Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : n ( n 1) 111 a 3 .37 .a Hay n(n + 1) =2.3.37.a 2 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n + 1 < 74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n=37 hoặc n + 1 = 37 0,25 n ( n 1) Nếu n =37 thì n + 1 = 38 lúc đó 703 không thoả mãn 2 n ( n 1) Nếu n + 1=37 thì n = 36 lúc đó 666 thoả mãn 2 Vậy số số hạng của tổng là 36 0,5 4 A H B C D 0 0 Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60 do đó CDH = 30 0,5 Nên CH = CD CH = BC 2 0 0 Tam giác BCH cân tại C CBH = 30 ABH = 15 0,5 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450 + 300 =750 1,0 1,0 5 Từ : x2- 2y2 =1suy ra x2- 1 = 2y2 0,25 Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x = 3 lúc đó y = 2 nguyên 0,25
23. tốthoả mãn Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2 =19 không thoả mãn 0,25 Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3) 0,25 ĐỀSỐ 54: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4đ) - Rút gọn biểu thức a- A = a - 2 + 3 - 2a - 5 + a b- 1 2 3 ( n 1) n ( n 1) 3 2 1 với n N Bài 2 (4 đ) . Chứng minh rằng : nếu a,b,c là các số không âm thoả mãn các điều kiện sau : a + 3 c = 8 và a + 2 b = 9 thì N = a + b - c - 17 là số không dương . Tìm a,b,c để N = 0 2 Bài 3 (4 đ) . 2 x 3 Cho biểu thức A = 2 x Biểu thức A có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhát ? Tìm giá trịđó Câu 4 (4 đ) Cho tam giác cân ABC có ACB = 100 0 . Phân giác trong của CAB cắt CB tại D . Chứng minh rằng AD + DC = AB Bài 5 ( 4 đ) Cho tam giác ABC có AB = AC . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm D sao cho hai điểm B , D nằm khác phía đối với đường thẳng AC . Gọi K là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với AB vàđường thẳng qua trung điểm M của CD và vuông góc với AD . Chứng minh KB = KD
24. ĐỀSỐ 55: ĐỀTHIHỌCSINHGIỎI (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1:Thực hiện phép tính (2 điểm) 1 1 1 5 1 5 5 1 2 69 1 1 a/ : : b/ 2 3 4 5 9 11 22 9 15 3 167 Bài 2:So sánh (2 điểm) 2 a/ 7 5 với 48 2 b/ 1 50 với 6 Bài 3:Tìm x, y, z biết (4,5 điểm) a/ 3(x-2) – 4(2x+1) – 5(2x+3) = 50 1 1 21 b/ 3 : 4 2 x 1 2 3 22 c/ 3 x 2 y 5 y 3 z 2 z 5 x và 10x - 3y - 2z = -4 37 15 2 Bài 4:(6 điểm) Cho hàm số y m 2009 x 2 x . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; -1) a/ Tìm m b/ Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được c/ Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số trên. B(-2; -2) C(5; 1) D(2; 10) d/ Tính diện tích tam giác OBC Bài 5:(5,5 điểm) Cho ∆ABC, góc B = 600, AB = 7cm, BC = 14cm. TrênBC lấy điểm D sao cho góc BAD = 600. Gọi H là trung điểm của BD a/ Tính độ dài HD b/ Chứng minh rằng ∆DAC cân c/ ∆ABC là tam giác gì?
25. d/ Chứng minh rằng AB2 + CH2 = AC2 + BH2 ====== (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)