65 Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

Nội dung text: 65 Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 1 Bài 1 (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức a/ b/ Bài 2 (4.0 điểm) : a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 b/ Chứng minh rằng : Bài 3 (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên. b/ Tìm n để A là phân số tối giản Bài 4 (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ( a > b > 0 ), sao cho là số chính phương Bài 5 (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o Tính ao b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao Bài 6 (3.0 điểm) : Cho a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24 b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. Hết ĐÁP ÁN CÂU NỘI DUNG ĐIỂM a/ 2.0 b/ Câu 1 2.0 a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => (1) Để x nguyên thì 3y – 2 Ư(-55) = +) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = (Loại) +) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) 2.0 +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = (Loại) +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5 Câu 2 +) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2 +) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y =(Loại) Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh rằng : Ta có 2.0 (ĐPCM) Cho biểu thức : Câu 3 a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên. 1.0 Ta có :
2. (2) A nguyên khi n – 3 Ư(4) = => n b/ Tìm n để A là phân số tối giản Ta có : (Theo câu a) Xét n = 0 ta có phân số A = là phân số tối giản Xét n 0 ; 3 Gọi d là ước chung của (n + 1) và (n – 3) 1.0 => (n + 1) d và (n – 3) d => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => 4 chia hết cho d => d = 1 ; 2; 4 => d lớn nhất bằng 4 => A không phải là phân số tối giản Kết luận : Với n = 0 thì A là phân số tối giản Tìm số nguyên tố ( a > b > 0 ), sao cho là số chính phương Ta có : Vì => a,b => 1 a- b 8 Để là số chính phương thì a – b = 1; 4 Câu 4 +) a – b = 1 (mà a > b) ta có các số là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 3.0 Vì là số nguyên tố nên chỉ có số 43 thoả mãn +) a – b = 4 (mà a > b) ta có các số là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì là số nguyên tố nên chỉ có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73 Hình vẽ Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao 2.0 Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Nên tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD => => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o Câu 6 b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB Ta có : 1.0 Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy => c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên 1.0 Vì nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD => Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o Cho a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24 Ta có : (1) Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số bằng 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1 1.5 8 chia cho 3 dư 2. Câu 6 Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3 Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0) Vậy A chia hết cho 3 Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0 1.5 Nên có chữ số tận cùng là 8 Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng
3. là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9 ĐỀ SỐ 2 Bài 1: Thực hiện phép tính: 1) ; 2) ; 3) với Bài 2: Tìm x, biết: 1) ; 2) 3) Bài 3: 1) Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7. 2) Chứng tỏ rằng nếu a; a + k; a + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6. Bài 4: 1) Cho 5 đường thẳng phân biệt cắt nhau tại O. Hỏi có tất cả bao nhiêu góc đỉnh O tạo thành từ 5 đường thẳng đó không kể góc bẹt. 2) Cho góc xOy và tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Gọi Ot và Ot’ là hai tia phân giác của góc xOz và zOy. Chứng tỏ rằng: . Bài 5: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì chia hết cho 15. Hết ĐÁP ÁN Bài Hướng dẫn chấm Điểm 1) -7/4; 2) 1/3; 3) 0 1(6đ) 6.0đ Mỗi câu đúng cho 2.0 điểm 2 1) x = 2; 2) x = -1/2; x = 9/2; 3) -2 x 1 4.5đ (4.5đ) Mỗi câu đúng cho 1.5 điểm 1) Gọi số đó là Ta có Mặt khác nên suy ra b – c = -7; 0; 7 - Với b – c = -7 thì c = b + 7 và nên ta có các số thỏa mãn: 707; 518; 329. - Với b – c = 7 ta có các số 770; 581; 392. - Với b – c = 0 b = c mà nên 1.5đ Do 1 a + 2b 27 nên a + 2b nhận các giá trị 7; 14; 21. Từ đó ta có các số thỏa mãn: 133; 322; 511; 700; 266; 455; 644; 833; 399; 588; 777; 966. Vậy có tất cả 18 số kể trên. 3(3đ) 2) Vì a; a + k; a + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên là các số lẻ và không chia hết cho 3, ta có: a + k – a = k chia hết cho 2. Mặt khác khi chia các số đó cho 3 sẽ tồn tại 2 số có cùng số dư: 1.5đ - Nếu a và a + k có cùng số dư thì a + k – a = k chia hết cho 3. - Nếu a và a + 2k có cùng số dư thì a + 2k – a = 2k chia hết cho 3, mà (2, 3) = 1 nên k chia hết cho 3. - Nếu a + k và a + 2k có cùng số dư thì a + 2k – a + k = k chia hết cho 3. Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có k chia hết cho 2 và 3 mà (2, 3) = 1 nên k chia hết cho 2.3 = 6.
4. Vì và 0 ≤ b ≤ 9 mà a - c = 5. Nên ta có: Với a = 9 c = 4 và b2 = 9.4 = 36 b = 6 (Nhận) Với a = 8 c = 3 và b2 = 8.3 = 24 không có giá trị nào của b. Với a = 7 c = 2 và b2 = 7.2 = 14 không có giá trị nào của b. Với a = 6 c = 1 và b2 = 6.1 = 6 không có giá trị nào của b . Bài 2: a) b) Bài 3: Đặt A = a) Để A là số tù nhiên thì 91⋮ 3n + 4 ⋮ 3n + 4 là ước của 91 hay 3n + 4 thuộc {1; 7; 13; 91}. Với 3n + 4 = 1 n = -1 Loại vì n là số tù nhiên. Với 3n + 4 = 7 n = 1 Nhận A = 2 + 13 = 15. Với 3n + 4 = 13 n = 3 Nhận A = 2 + 7 = 9. Với 3n + 4 = 91 n = 29 Nhận A = 2 + 1 = 3. b) Để A là phân số tối giản thì 91 không chia hết 3n + 4 hay 3n + 4 không là ước của 91 Suy ra 3n + 4 không chia hết cho ước nguyên tố của 91. Từ đó suy ra: 3n + 4 không chia hết cho 7 suy ra n ≠ 7k +1. 3n + 4 không chia hết cho 13 suy ra n ≠ 13m + 3. Bài 4: Xét Suy ra: Với Bài 5: Hình vẽ a)Theo đề bài ta có góc x’Ox = 1800 mà góc x’Oy và góc yOx kề bù. Mà góc x’Oy = 400 ⇒ góc yOx = 1800 - 400 = 1400 Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy. Lại có: góc xOz < góc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox. Vậy tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy. b)Theo câu a ta có tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy. Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 43 0 ( vì góc xOt = 970 và góc xOy = 1400). Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 43 0 ( vì góc xOt = 970 và góc xOy = 540). Suy ra góc tOy = góc zOt = 430. Vậy tia Ot là tia phân giác của góc zOy ĐỀ SỐ 60 Phòng GD huyện Ngọc Lạc Trường Cao Thịnh năm 2006 2007 Thời gian làm bài:120 phút
5. Bài 1 (4 điểm) : Tính giá trị của biểu thức : a/ A = 1 + (-2) +3 + (-2) + + 2003 + (-2004) + 2005 b/ B = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + (B có 2005 số hạng) Bài 2(5 điểm) : a/ Chứng minh : C = ( 2004 + + + +2004) chia hết cho 2005 b/ Tìm số nguyên n sao cho n + 4 chia hết cho n + 1. Bài 3(4 điểm) : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 3 thì dư 1 ; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3 ; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 13. Bài 4(2 điểm) : Tìm x là số nguyên biết : . Bài 5 (5 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 7 cm ; điểm C nằm giữa A và b sao cho AC = 2 cm ; các điểm D, E theo thứ tự là trung điểm của AC và CB ,Gọi I là trung điểm của DE.Tính độ dài của DE và CI. ĐÁP ÁN Bài 1 : a/ A = 1 + (-2+3) + (-3+4) + + (-2002+2003) + (-2004 + 2005) = 1+ 1 + 1 + + 1+ + 1 ( có 1002 số hạng) = 1003 b/ B = 1 – 7 +13 – 19 + 25 – 31 + (B có 2005 số hạng) = 1 +C C = (-7+13) + (-19+25) + (-31+37) + (C có 1002 cặp) = 6 + 6+ 6 + = 6012 Vậy B = 6013 Bài 2 : a/ C = (2004 + 20042) + (20043+20044) + +( 20049+200410) = 2004.2005 + 20043.2005 + + 20049.2005 = 2005.( 2004 +20043+ + 20049) b/ n + 4 = (n + 1) + 3 Ư(3) = {} Vậy n {-4;-2;0;2} Bài 3 : Gọi số phải tìm là a (a nguyên dương) Theo gt : chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2 ,chia cho 5 dư 3 ,chia cho 6 dư 4 suy ra a +2 chia hết cho 3,4,5,6. BCNN(3;4;5;6) = 60 suy ra a+260 hay a = 60k -2 (k N) Mặt khác a 13 suy ra 60k -2 13 hay 8k-213 Do a nhỏ nhất suy ra k nhỏ nhất.Vậy 8k-2 = 78 k = 10 suy ra a = 598 Bài 4 : Nếu x : x-5+x-5=0 x=5 (TM) Nếu x <5 : 5-x+x-5 =0 0.x = 0 phương trình thoã mãn với mọi x <5 Vậy với các số nguyên x thoã mãn bài ra. Bài 5 : C nằm giữa A và B : CB = AB – AC= 5 cm D là trung điểm AI : AD = DC = 1cm E là trung điểm CB : CE = EB = 2,5 cm DE = DC + CE = 3,5 cm I là trung điểm DE : DI = 1 ,75 cm CI = DI-DC = 0,75 cm ĐỀ SỐ 61 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho và
6. Câu 3: (2 điểm) a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. Câu 4: (2 điểm) a. Cho a, b, n N* Hãy so sánh và b. Cho A = ; B = . So sánh A và B. Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, , a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. ĐÁP ÁN Câu 1: Ta có: = Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). Rút gọn đúng cho 0,75 điểm. b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm). Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm) Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2: = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm) Từ (1) và (2) 99(a-c) = 4 n – 5 4n – 5 99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 100  n2-1  999 101  n2  1000 11 n31 39 4n – 5  119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) và (4) 4n – 5 = 99 n = 26 Vậy: = 675 ( 0 , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n 2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n 2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm). + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm). + Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm). b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n 2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n 2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm). Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm Ta xét 3 trường hợp (0,5 điểm). TH1: a=b thì thì = =1. (0 , vì ,5 điểm). TH1: a>b a+m > b+n. Mà có phần thừa so với 1 là có phần thừa so với 1 là , vì (0,25 điểm). b) Cho A = ; rõ ràng A A< (0,5 điểm). Do đó A< = (0,5 điểm). Vây A<B. Bài 5: Lập dãy số . Đặt B1 = a1. B2 = a1 + a2 . B3 = a1 + a2 + a3 B10 = a1 + a2 + + a10 .
7. Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3 10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. ( 0,25 điểm). Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau: Ta đen Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư { 1,2.3 9}). Theo nguyên tắc Di-ric- lê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) ĐPCM. Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. ĐỀ SỐ 62 Thời gian làm bài 120 phút Câu1: a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99 Câu 2. a. chứng tỏ rằng là phân số tối giản. b. Chứng minh rằng : +++ + 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,25đ)  2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25đ) vậy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25đ) b.(1đ) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25đ) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1 (0,25đ) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25đ) vậy n=1;2 (0,25đ) c. (1đ) Ta có 99=11.9 B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99 (0,25đ) *B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9  (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15 • B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) hoặc y-x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2 (0,25đ) y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427 (0,25đ) Câu2: a. Gọi dlà ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d (0,5đ) vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau do đó là phân số tối giản (0,5đ) b. Ta có <=- <=- <=- (0,5đ) Vậy ++ + <-+-+ +- ++ + <1-=<1 (0,5đ) Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là : (24+3/4): 3/3 =33(quả) (1đ) Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất .
8. (33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ) Số cam bác nông dân mang đi bán . (50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ) Câu 4(1đ) . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm) ĐỀ SỐ 63 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2: (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a. b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. ĐÁP ÁN Bài 1 (1,5đ) a).5x = 125  5x = 53 => x= 3 b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 c). 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53  52x = 56 => 2x = 6 => x=3 Bài 2. Vì là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ = {0,1,2,3,4}. Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5 0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết. Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Bài 5 (2đ):
9. Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10. Bài 6 (1,5đ).Ta có: và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên vậy Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy ĐỀ SỐ 64 Thời gian làm bài 120 phút Câu 1. Tính: a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. Câu 2. a. Chứng minh rằng nếu: 11 thì 11. b. Chứng minh rằng: 10 28 + 8 72. Câu 3. Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg. Câu 4. Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số thứ 3. Câu 5. Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD. ĐÁP ÁN Câu 1. a). 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 21. => 2A – A = 2 21 +8 – ( 4 + 2 2 ) + (2 3 – 2 3) +. . . + (2 20 – 2 20). = 2 21. b). (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 => x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . . . . . + x + 100 = 5750 => ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 101 x 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = 7 Câu 2. a) = 9999 +11. b). 10 28 + 8 9.8 ta có 10 28 + 8 8 (vì có số tận cùng là 008) nên 10 28 + 8 9.8 vậy 10 28 + 8 72 Câu 3. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26) 11 và ( x-25) 10. Do đó (x-15) BC(10;11) và 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235. Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs. Câu 4. Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) Tổng của 3 số bằng (số thứ hai) = (số thứ hai) Số thứ hai là : 210 : = 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 3 là:.66 = 81 Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng Xét 3 trường hợp
10. a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào. b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD ĐỀ SỐ 65 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (3đ): a) So sánh: 222333 và 333222 b) Tìm các chữ số x và y để số chia hết cho 36 c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28 Bài 2 (2đ): Cho : S = 30 + 32 + 34 + 36 + + 32002 a) Tính S b) Chứng minh S 7 Bài 3 (2đ): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28 Bài 4 (3đ): Cho góc AOB = 1350. C là một điểm nằm trong góc AOB biết góc BOC = 900 a) Tính góc AOC b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD HƯỚNG DẪN Bài 1 (3đ): a) Ta có 222333 = (2.111)3.111 = 8111.(111111)2.111111 (0,5đ) 333222 = (3.111)2.111 = 9111.(111111)2 (0,5đ) Suy ra: 222333 > 333222 b) Để số 36 ( 0 x, y 9 , x, y N ) (0,5đ) (x+y+2) 9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x = (0,25đ) Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892 (0,25đ) c) Ta có a > 28 => ( 2002 - 1960 ) a => 42 a (0,5đ) => a = 42 (0,5đ) Bài 2 (2đ): a) Ta có 32S = 32 + 34 + + 32002 + 32004 (0,5đ) Suy ra: 8S = 32004 - 1 => S = (0,5đ) b) S = (30 + 32 + 34 ) + 36(30 + 32 + 34 ) + + 31998(30 + 32 + 34 ) = = (30 + 32 + 34 )( 1 + 36 + + 31998 ) = 91( 1 + 36 + + 31998 ) (0,75đ) suy ra: S 7 (0,25đ) Bài 3 (2đ): Gọi số cần tìm là: a Ta có a = 29q + 5 = 31p +28 (0,5đ) 29(q - p) = 2p + 23 Vì 2p + 23 lẻ nên( q - p) lẻ => q - p 1. (0,75đ) Vì a nhỏ nhất hay q - p = 1 => p = 3; => a = 121 (0,5đ) Vậy số cần tìm là 121 (0,25đ) Bài 4 (3đ): a) theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OA => góc AOC + góc BOC = góc AOB => góc AOC = góc AOB - góc BOC => góc AOC = 1350 - 900 = 450
11. b) vì OD là tia đối của tia OC nên C, O, D thẳng hàng. Do đó góc DOA + góc AOC = 180 0 (hai góc kề bù) => góc AOD = 1800 - góc AOC = 1800 - 450 => góc AOD = 1350 góc BOD = 1800 - 900 = 900 Vậy góc AOD > góc BOD