Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT TÂN KỲ Đ Ề THI KI Ể M Đ ỊNH CHẤT LƯỢNG HSG TRƯỜNG THCS NGHĨA NĂM HỌC 2021 – 2022. ĐỒNG Môn: Toán - Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 22 22 CâuA =−5 −−222 1(− −122 −4( 100 −đi 5 ) + 2022ểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 1 1 1  B =1+ (1+ 2) + (1+ 2+ 3)+ + (1+ 2+ 3+ + 20) 2 5.43 6 .94 −3209 .(8)−4 C = 4.2.313 8 +2.84 .(27)−3 Câu2021 2: (42021 điểxm) Tìma)14.7 s=ố35.7 nguyên−3.49 x biết: 111 11 123 89 b) +++ ++ x=+++ ++ 234 9 10 987 21 Câu 3 (4 điểm) 2 a) Tìm số nguyên n để A= 2n2 + n- 6 chia hết cho 2n + 1 p −1 24 b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng : c) Tìm các số nguyên tố x và y biết x2 - 6y2 = 1 Câu 4: (5 điểm) a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 15m, chiều rộng 8m. Người ta trồng một vườn hoa hình thoi ở trong mảnh đất đó, biết diện tích phần còn lại là 75m2. Tính độ dài đường chéo AC, biết BD=9m. b) Cho hai tia Ox và Oy đối nhau, trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA=5cm, OM=1cm; trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3cm. Chứng tỏ: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. c) Cho 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng ( ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng). Qua 2 điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng. Câu 5: (3 điểm): 6n −3 a) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏMa mãn= : 3xy + 2x - 5y= 6 b) Tìm số tự nhiên n để phân số 4n − 6đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Hết.
2. PHÒNG GD & ĐT TÂN KỲ HƯ Ớ NG D Ẫ N CH ẤM KĐCL MÔN TOÁN 6 TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG NĂM HỌC 2021 – 2022. 22 22 Câu Ý A =−5 −−222 − −122− ( 100− 5 ) + 2022 Nội dung Điểm 22 22  22 22 0.5 a) 1.5 A = −5 + 222− 122− 1005+ + 2022 A =−5 + 5 + (222− 122− 100)+ 2022 0.5 điểm ( ) A1 =1 20221 0.5 B =1+ (1+ 2) + (1+ 2+ 3)+ + (1+ 2+ 3+ + 20) 1 2.31 3.4 120.21 B =12+ . 3 + . +20 + . 222 332 4 20 212 0.75 b) B = + + + + 1 0.25 1.5 điểm 2 2 2 2 Câu 1 B = .(123 20)+ + + + 0.5 ( 4 2120.21 điểm) B =. =105 25.46 .942− 39 .(− 8)4 C = 4.25.413 .3 86 .9+42.8 −43 .(9− .8 27)4 3 C = 12 8 9 12 0.25 13 8 4 3 c) 4.25.2.3 .3 −−2.83 .27.2 0.25 1 điểm C = 0.25 128 15 8 1213 8 9 2 .32.3 .(5− 3) − 22.3 .3 .2 0.25 C = = =1 132021 8 2 2021138 x a)14.72x .3 .(2=− 35.720213) 2− .33.49 2021 3.492x = 35.72022−14.7 2022 Câu 2 3.72=x 7.(5− 2)2022= 3.7 0.25 a) ( 4 0.75 2 điểm 7= 7 điểm) 2.x = 2022 1 x111=110111 123 89 b)+++ ++x= +++ ++ 0.5 b) 1 21134119 10 1 9 28 7 8 2 1 0.5 2 điểm +++ ++ .x =+1++1+ ++ 1+1 0.5 2349 10 9 8 2 0.5
3. 1111110101010 +++++=++++ x 23491098210 111111111 +++++=++++ 10 x 23491023910 =x 10 Ta có A=2 n2 + n − 6 = n .(2 n + 1) − 6 0.25 Vì A chia hết cho 2n+1 nên 6 2 1n + + = 21(6)1;2;3;6nU  0.5 Do 2n+1 là số lẻ nên ta có bảng sau a) 2n+1 1 -1 3 -3 1.5điểm 0.5 2n 0 -2 2 -4 n 0 -1 1 -2 Vậy với n − −2 ; 1;0 ;1  thì A chia hết cho 2n+1 0.25 vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3. Ta có p2-1 =p2-p+p-1=(p-1)(p+1) Câu 3 do p là số lẻ nên p=2k+1( kN * ) 0.25 4 2 b) p −1 = ( p − 1)( p + 1) = 2 k (2 k + 2) = 4 k ( k + 1) 8(1) 0.5 điểm 1,5 điểm Mặt khác p-1,p,p+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia 0.5 hết cho 3, mà p không chia hết cho 3 nên p-1 hoặc p+1 chia hết 0.25 cho 3. Từ đó suy ra p2-1=(p-1)(p+1) 3 (2) Vì (3,8)=1 và từ (1) và (2) nên suy ra p2-1 24 Ta có x2-6y2=1 0.25 −xyxxxyxxy22222 = −1616116 + − = −+= ( )( ) Vì 6y2 2 −+( xx112)( ) mà (x+1)+(x-1)=2x 2 nên x-1 và x+1 c) là hai số chẵn liên tiếp +−xx118 1 điểm ( )( ) 0.5 68342yyy22 mà y là số nguyên tố nên y=2 Với y=2 suy ra x2-6.22=1 xx2 =25 = 5 Vậy (x;y)=(5;2) 0.25 Câu IV a)1,5 5 điểm điểm 0.5 Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là:
4. 1 5 .8 1= 2 0 (m2 ) 0.5 Diện tích phần trồng hoa hình thoi là: 120-75=45(m2) 0.5 Độ dài đường chéo AC là 45.2:9=10(m) Vì hai điểm A và M cùng thuộc tia Ox và OM<OA nên điểm M 0.75 b) nằm giữa O và A, suy ra OM+MA=OA 2 điểm MA=OA-OM=5-1=4(cm). 0.75 Vì OA và OB là hai tia đối nhau, M thuộc OA nên OM và OB là hai tia đối nhau, suy ra Điểm O nằm giữa hai điểm M và B. Khi đó: OM+OB=MB Hay MB=1+3=4(cm) 0.5 Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B và MA=MB=4cm nên M là trung điểm của đoạn thẳng AB Giả sử có 30 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là: 30.29:2=435 (đường thẳng) 0.25 Với 5 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì vẽ được 0.25 c)1.5 5.4:2=10 (đường thẳng) 0.25 điểm Nhưng 5 điểm này thẳng hàng nên chỉ vẽ được 1 đường thẳng. 0.25 Do đó số đường thẳng giảm đi là: 10-1=9 ( đường thẳng) 0.5 Vậy vẽ được 435-9=426 (đường thẳng) 3xy+2x-5y=6 x(3 y + 2) − 5 y = 6 3x (3 y + 2) − 15 y = 18 0.5 3x (3 y + 2) − 15 y − 10 = 18 − 10 3x (3 y + 2) − 5(3 y + 2) = 8 (3xy − 5).(3 + 2) = 8 Câu 3yU + 2 (8) = 1; 2; 4; 8 5: a) Mà 3y+2 là số chia 3 dư 2 3y + 2 − 1;2; − 4;8 0.5 3 2 điểm Ta có bảng sau: điểm 3y+2 -4 -1 2 8 3x-5 -2 -8 4 1 y -2 -1 0 2 x 1 -1 3 2 1 Vậy (x;y) (1; − 2;) ( − 1; − 1;3;0;2;2) ( ) ( )
5. 6336n − Ta có: M ==+ 46246nn−− 6 Vì có tử 6>0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n-6 đạt giá 0.25 46n − b)1 0.25 trị dương nhỏ nhất với n là số tự nhiên điểm 0.25 Do đó 4n-6=2=>4n=8=>n=2. 0.25 3 6 9 Khi đó M = + = 2 2 2 Vậy GTLN của M là 4,5 khi n=2
6. −−−=215.21510xx32 ( ) ( ) 3 2x −= 15 0 x = 7,5 (2150x −=) 2x −= 15 0 2x − 15 = 1 =x 8 2 2 (21510x −−=) (2x −= 15) 1 2x − 15 = − 1 x = 7 Vì ∈ 푍 nên x = 7 hoặc x = 8 Vậy x 7;8 a) Tìm các số nguyên tố x,y,z thỏa mãn xy + 1 = z Vì xy, là các số nguyên tố xy 2 , 2 ZZ 5 là số nguyên tố lẻ 0,5 xy là số chẵn x chẵn =x 2 thay vào ta có 0,5 a Z =+21y 0,5 y y nn Nếu lẻ +213 ( abab++ lẻ) Z 3 vô lí 0,5 Do đó y là số chẵn =y 2 3 (4,0 Thay xyZ== =2,25 điểm) Vậy a 11 Tìm các số nguyên ab, biết rằng: −= 723 b + 0,5 aa1 1 2− 7 1 − = = (2ab − 7)( + 3) = 14 7 2bb++ 3 14 3 0,5 Do , ∈ 푍 nên 2aU− 7 (14) b Vì 27a − lẻ nên 2aa− 7 1; 7 0;3;4;7 0,5 Vậy (ab;) = ( 0; − 5) ;( 3; − 17) ;( 4;11) ;( 7; − 1) 0,5 1) Trên tia Ox lấy hai điểm M và N , sao cho OM = 3 cm và ON = 7 0,5 cm. 4 a) Tính độ dài đoạn thẳng MN . (6,0 a b) Lấy điểm P trên tia Ox , sao cho MP = 2 cm. Tính độ dài đoạn thẳng điểm) OP .
7. O M N x 0,75 a) Trên tia Ox , ta có: O M O N (37 ) nên M nằm giữa hai điểm O và N 0,75 +=OMMNON 37 +MN = =MN − = 7 3 4 (cm) Vậy MN = 4 (cm). b)TH1: P nằm giữa M và N . O M P N x Vì P nằm giữa M và N mà M nằm giữa hai điểm O và N Nên M nằm giữa O và P =+OPOMMP OP =3 + 2 = 5 (cm) TH2: P nằm giữa O và M . O P M N x Vì P nằm giữa O và M Nên OMOPPM=+ =+32OP =OP 1 (cm). 2) Cho 25 điểm trong đó có đúng 8 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? 0,75 Nếu 25 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được MP;;; MQ NP NQ đường thẳng (câu a). 0,5 b Với 8 điểm, không có điểm nào thẳng hàng vẽ được: 8.7: 2= 28 (đường thẳng) 0,25 Còn nếu 8 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng. 0,25 Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: 28127−= (đường thẳng) 0,25 Số đường thẳng cần tìm là: 300−= 27 273 (đường thẳng)
8. 3) Một tờ giấy hình chữ nhật được gấp theo đường chéo như hình 0,5 5 vẽ. Diện tích hình nhận được bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Biết 8 0,5 diện tích phần tô màu là 1 8 c m 2 . Tính diện tích tờ giấy ban đầu. 0,5 0,5 Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo (đường nét đứt) thì phần hình tam giác được tô màu bị xếp chồng lên nhau. Do đó diện tích hình chữ nhật ban đầu lớn hơn diện tích hình nhận được chính là diện tích tam c giác được tô màu. 53 Diện tích hình chữ nhật ban đầu giảm đi bằng 1−= diện tích hình chữ 88 nhật ban đầu. 3 Do vậy diện tích tam giác tô màu bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu, 8 hay diện tích hình chữ nhật ban đầu bằng 18cm2 . 3 Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là: 18:48(cm)= 2 8 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố abc,, đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện: 20a30()21abcabbccabc ++ 21117 Từ giả thiết suy ra ++ . Để không giảm tính tổng quát giả 310abc sử abc 1. 23 Suy ra 29c , do đó c 2;3 . 3 c 2 1 1 1 7 1 1 1 1 1 2 1 1 Với c = 2 suy ra + + + và . 5 3 2bc 10 6a b 5 6 b b 5 (2,0 Do đó b 7;11 . điểm) 1 1 1 1 1 1 2 + Với b = 7 , khi đó từ + suy ra 65ab 42a 35 a 19;23;29;31;37;41 . 516 + Với b =11 từ suy ra =a 13 do ab . 66a 55 1 1 1 11 12 Với c = 3 từ giả thiết suy ra + bb 65 = (do 3ab 30 3 b bc ).
9. 1 1 1 11 15 Thay b = 5 vào + ta được 67 aa = . 3ab 30 2 Vậy các bộ ba số nguyên tố khác nhau (abc;;) thỏa mãn là: (19;7;2) ,( 23;7;2) ,( 29;7;2) ,( 31;7;2) ,( 37;7;2) ,( 41;7; 2) ,( 13;11;2) ,( 7;5;3) và các hoán vị của nó. Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Bài hình (Câu 4) không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm.
10. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI HUYỆN HẬU LỘC Môn: Toán 6 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày khảo sát: 15/3/2022 (Đề này gồm: 01 trang). Câu I( 4 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau: 1) A = −522 − − 222−−122− (100−522 )+ 2022 1 1 1 2) B = 1+ (1+ 2)+ (1+ 2 + 3)+ + (1+ 2 + 3 + + 20) 2 3 20 5.46.94 − 39.(−8)4 3) 3. C = 4.213.38 + 2.84.(−27)3 Câu II(4 điểm): Tìm số nguyên x, biết: 1) 14.72021 = 35.72021 −3.49x 1 1 1 1 1 1 2 3 8 9 2) + + + + + x = + + + + + 2 3 4 9 10 9 8 7 2 1 Câu III(4 điểm): 1.Tìm số nguyên n để A=2n2+n-6 chia hết cho 2n+1 2. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: p2 −124 3. Tìm các số nguyên tố x và y biết x2 − 6y 2 =1 Câu IV(5điểm): 1)Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 1 5 m , chiều rộng 8m . Người ta trồng một vườn hoa hình thoi ở trong mảnh đất đó, biết diện tích phần còn lại là 75m2 . Tính độ dài đường chéo AC , biết BDm 9 . 15m A B 8m C D 2) Cho 2 tia Ox và Oy đối nhau, trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA = 5cm, OM = 1cm; trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB = 3cm. Chứng tỏ: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 3) Cho 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng (ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng). Qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng. Câu V(3 điểm): 1)Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn: 3xy + 2x − 5y = 6 6n − 3 2) Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6
11. . Hết HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 Câu Ý Nội dung Điểm A = −522 − − 222 − −122 − (100 − 522 )+ 2022 1 A = −522 + 222 + −122 − (100 − 522 )+ 2022 0,5 (1,5 22 22 A = −5 + 222 −122 − (100 − 5 )+ 2022 điểm) 22 22 A = −5 + 222 −122 −100 + 5 + 2022 0,5 A = (− 522 + 522 )+ (222 −122 −100)+ 2022 = 2022 0,5 1 1 1 B = 1+ (1+ 2)+ (1+ 2 + 3)+  + (1+ 2 + 3 + + 20) Câu 2 3 20 1 2.3 1 3.4 1 20.21 0,75 I 2 B = 1+  +  +  +  2 2 3 2 20 2 4 (1,5 2 3 4 21 0,25 điểm điểm) B = + + +  + 2 2 2 2 1 1 1 20.21 0,5 B = (2 + 3 + 4 +  + 21) = (1+ 2 + 3 + 4 +  + 20) =  = 105 2 2 2 2 6 4 9 4 6 4 9 4 5.4 .9 − 3 .(−8) 5.4 .9 − 3 .8 1 C = 13 8 4 3 = 13 8 4 3 4.2 .3 + 2.8 .(−27) 4.2 .3 − 2.8 .27 (1,0 5.212.38 − 39.212 212.38 (5 − 3) 212.38.2 điểm) C = = = =1 215.38 − 213.39 213.38 (22 − 3) 213.38 1,0 14.72021 = 35.72021 − 3.49x 3.49x = 35.72021 −14.72021 0.5 2x 2021 2021 3.7 = 5.7.7 − 2.7.7 1 3.72x = 5.72022 − 2.72022 (2,0 2x 2022 2022 3.7 = 5.7 − 2.7 điểm) 0.5 2x 2022 2022 3.7 = 7 (5 − 2) = 3.7 Câu 72x = 72022 II 0.5 4 2x = 2022 điểm x = 2022: 2 = 1011 Vậy x=1011 0.5 1 1 1 1 1 1 2 3 8 9 0,25 + + + + + x = + + + + + 2 3 4 9 10 9 8 7 2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 8 + + + + + x = +1 + +1 + +1 + + +1 +1 2 3 4 9 10 9 8 7 2 2 0,75
12. (2,0 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 + + + + + x = + + + + + điểm) 2 3 4 9 10 9 8 7 2 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,0 + + + + + x = 10 + + + + + x = 10 2 3 4 9 10 2 3 4 9 10 Vậy x=10 Ta có: A = 2n2 + n −6 = n(2n +1)−6 0,25 Vì A chia hết cho 2n+1 nên n(2n +1)− 62n +1 mà n(2n +1)2n +1 nên 62n +1 2n +1 U 6 = 1; 2; 3 6 ( ) . Do 2n+1 là số lẻ nên 0,5 1. 2n +1 U(6) = 1; 3. Ta có bảng sau: 1,5 điểm 2n+1 1 -1 3 -3 2n 0 -2 2 -4 n 0 -1 1 -2 0,5 Vậy với n − 2;−1;0;1 thì A=2n2+n-6 chia hết cho 2n+1. 0,25 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3 Câu 2 2 Ta có: p −1= p − p + p −1= p(p −1)+(p −1)= (p −1)(p +1) 0,25 III * 4 Do p là số lẻ nên p = 2k +1(k N ) 2. 2 0,5 điểm p −1= (p −1)(p +1)= 2k(2k + 2)= 4k(k +1)8(1) 1,5 Mặt khác , p-1,p,p+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3, điểm mà p không chia hết cho 3 nên p-1 hoặc p+1 chia hết cho 3. 0,5 Từ đó suy ra: p2 −1= (p −1)(p +1)3(2) Vì (3;8)=1 và từ (1) và (2) nên suy ra p2 −124 0,25 0,25 Ta có: x2 − 6y2 =1 x2 −1 = 6y2 x2 − x + x −1 = 6y 2 (x +1)(x −1) = 6y 2 2.a 1,0 Vì 6y2 2 (x +1)(x −1)2 mà (x +1)+ (x −1) = 2x2 nên x-1 và x+1 là 2 số điểm chẵn liên tiếp (x +1)(x −1)8 6y 2 8 3y2 4 mà (3,4)=1 nên y 2 4 y2 mà y là số nguyên tố nên y=2 0,5 Với y=2, suy ra x2 − 6.22 =1 x2 − 24 =1 x2 = 25 = 52 x = 5 Vậy (x;y)=(5;2) 0,25 15m A B Câu 1 IV 8m 1,5 5 điểm C điểm D Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: 0,5
13. 15 . 8 12 0 m2 Diện tích phần trồng hoa hình thoi là: 0,5 120 – 75 45 m2 Độ dài đường chéo AC là: 0,5 4 5 . 2 : 9 1 0 m x A M O B y Vì hai điểm A,M cùng thuộc tia Ox và (OM OM+MA=OA =>MA=OA-OM=5-1=4cm và suy ra MO và MA là 0,75 2a 2 tia đối nhau (1) 2,0 Vì Ox và Oy là hai tia đối nhau và M thuộc Ox, B thuộc Oy nên OM và điểm OB là hai tia đối nhau => O nằm giữa B và M=> OM+OB=MB 0,75 =>MB=3+1=4cm và suy ra MO và MB là 2 tia trùng nhau (2) Từ (1) và (2) suy ra MA và MB là 2 tia đối nhau, hay M nằm giữa A, B và MA=MB=4cm nên M là trung điểm của AB. 0,5 Giả sử có 30 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là: 30(30-1):2=435 (đường thẳng) 0,25 Với 5 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì vẽ được: 0,25 2b 5(5-1):2=10 (đường thẳng) (1,5 0,25 Nếu 5 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 (đường thẳng) điểm) Do đó số đường thẳng giảm đi là: 10-1=9 (đường thẳng) 0,25 Vậy vẽ được 435-9=426 (đường thẳng) 0,5 3xy + 2x − 5y = 6 x(3y + 2)− 5y = 6 3x(3y + 2)−15y = 18 3x(3y + 2)−15y −10 = 18−10 3x(3y + 2)− 5(3y + 2) = 8 (3x − 5)(3y + 2) = 8 0,5 3y + 2 U (8) = 1; 2;; 4; 8 Câu 3 Mà 3y+2 là số chia cho 3 dư 2 3y + 2 −1;2;−4;8. V (2 0,5 Ta có bảng sau: 2 điểm) 3y+2 -4 -1 2 8 điểm 3x-5 -2 -8 4 1 y -2 -1 0 2 x 1 -1 3 2 Vậy (x; y) (1;−2),(−1;−1),(3;0),(2;2) 1,0
14. 6n − 3 3 6 Ta có: M = = + 4n − 6 2 4n − 6 0,25 6 Vì phân số có tử 6>0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n-6 đạt giá 4n − 6 trị dương nhỏ nhất với n là số nguyên. 0,25 3 6 9 Do đó 4n − 6 = 2 4n = 8 n = 2.Khi đó M = + = 0,25 2 2 2 Vậy giá trị lớn nhất của M là 4,5 khi n=2 0,25
15. UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2021-2022 Môn: TOÁN - LỚP 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề này gồm 07 câu, 02 trang) Câu I (1,5 điểm) 1)Tìm số phần tử của tập hợp sau: A = 3;6;9;12; ;2022  2) Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 41,543,1823,178,465,823,17−++−− 111111 b) −−−−−−1.1.1.1 1.1 234520222023 Câu II (1,5 điểm) Tìm x, biết 1) 105[(27)13]25−+−=x 2) 7772751xxx++=++23 Câu III (1,0 điểm) 1) Số nhà của hai bạn An và Bình đều là số tự nhiên có bốn chữ số dạng ab53 và chia hết cho cả 5 và 9 . Tìm số nhà của hai bạn biết số nhà của bạn An lớn hơn số nhà của bạn Bình . 2) Tìm số nguyên tố p sao cho p +10 và p + 20 cũng là các số nguyên tố. Câu IV (1,5 điểm) 53n + 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì là phân số tối giản. 32n + 2) Vào tháng 9, giá bán một chiếc máy tính là 24 000 000 đồng. Đến tháng 10, cửa hàng tăng giá lên 20%. Đến tháng 11, cửa hàng hạ giá của tháng 10 xuống 20%. Hỏi giá bán của chiếc máy tính đó vào tháng 9 và tháng 11, tháng nào đắt hơn. Câu V. (1,0 điểm) Hùng tập ném bóng vào rổ. Khi thực hiện ném100 lần thì có 35 lần bóng vào rổ . 1) Lập bảng thống kê; 2) Tính xác suất thực nghiệm của sự kiện ném bóng vào rổ;
16. Câu VI. (3,0 điểm) 1) Người ta xếp bốn hình chữ nhật bằng nhau có chiều rộng mỗi hình là 5 c m; chiều dài là 8 c m để được một hình vuông ABCDvà bên trong có là một hình vuông M N P Q (như hình vẽ). Tính diện tích hình vuông M N P Q. 2) Lấy điểm O trên đường thẳng xy. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm. Trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1cm; OB = 4cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng BM. b) Chứng tỏ rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB. c) Cho điểm Q không thuộc đường thẳng xy và lấy thêm 2017 điểm phân biệt khác thuộc đường thẳng xy và không trùng với 4 điểm A, B, M, O. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 điểm trong số các điểm đã cho? Câu VII. (0,5 điểm) 381520231 2 − Cho A =++++ . Chứng minh rằng giá trị của A không phải là một tự nhiên. 23420232222 Hết
17. HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2021-2022 Môn: TOÁN - LỚP 6 Câu Nội dung Điểm 1)Tìm số phần tử của tập hợp sau: A = 3;6;9;12; ;2022  20223− Số phần tử của tập hợp A là +=1674 0,5 3 2) Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 41,543,1823,178,465,823,17−++−− Câu I 0,25 =+−++−41,548,463,185,8223,173,17 (1,5 ( ) ( ) ( ) điểm) = −5 + 0 =9 2 0 6 1 0,25 111111 b) −−−−−−1 .1 .1 .1 1 .1 234520222023 0,25 123420212022 = 234520222023 1 = 0,25 2023 1) 105[(27)13]25−+−=x 105[(27)13]25−+−=x 105[(27)13]5−+−=x 2 0,25 (27)1310525x +−=− (271380x +−=) 2793x += Câu II 2x = 86 0,5 (1,5 x = 43 điểm) 2) 7772751xxx++=++23 777xxx++= .2532751.49 0,25 7x ( 1+ 49 + 343) = 2751 7393x. = 2751 77x = 0,5 x = 1 1) Vì ab53 chia hết cho 5 nên b bằng 0 hoặc 5 0,25 + Với b = 0, do số ab53 9 nên a+ 5 + 3 + b = a + 5 + 3 + 0 chia hết cho 9
18. Suy ra a = 1 + Với b = 5, do số ab5 3 9 nên a53ba535+++=+++ chia hết cho 9 Câu Suy ra a = 5 0,25 III Vậy số nhà bạn An là 5535, số nhà bạn Bình là 1530 (1,0 2) Tìm số nguyên tố p sao cho p +10 và p + 20 cũng là các số nguyên điểm) tố + Nếu p là số chẵn thì là số chẵn và lớn hơn 2 nên là hợp số + Nếu p là số lẻ thì p3k,p3k1,p3k1==−=+ 0,25 Với p 3=− k 1 thì p103k1103k93(k3)+=−+=+=+ là hợp số Với p 3= k p 3 = , khi đó p1013,p2023+=+= là các số nguyên tố Với p=+ 3k 1 thì p+ 20 = 3k + 1 + 20 = 3k + 21 = 3(k + 7) là hợp số 0,25 Vậy p = 3 thỏa mãn đề bài 53n + 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì là phân số tối giản 32n + Gọi d = ƯCLN (5n + 3, 3n + 2) ++5n3d;3n2d Do đó ++3.( 5n3d;5.) 3n2d( ) 0,25 +−+15n10(15n9)d  Câu 1d IV (1,5 Suy ra d = 1 điểm) 0,5 Do vậy là phân số tối giản 2) Giá bán máy tính trong tháng 10 là 0,25 24 000 000 + 24 000 000. 20% = 28 800 000 đồng Giá bán máy tính trong tháng 11 là 0,25 28 800 000 - 28 800 000. 20% = 23 040 000 đồng Vậy giá bán máy tính đó vào tháng 9 đắt hơn tháng 11 0,25 Câu 1) Lập được bảng thống kê 0,5 V(1,0 2) Xác suất thực nghiệm của sự kiện ném bóng vào rổ là: điểm) 35 0,5 = 0,35 100 1) Độ dài cạnh hình vuông MNPQ là: 8 – 5 = 3 (cm) 0,5 Diện tích hình vuông MNPQ là: 3.3 = 9 (cm2) 0,5 Câu VI(3,0 2) Vẽ hình 0,25 điểm) x A O M B y a) Vì M nằm giữa O và B nên OM + MB = OB 0,5 Từ đó tính được MB = 3 cm b) Tính được độ dài AB = 6cm 0,5
19. Tính được độ dài đoạn AM = 3cm AB Suy ra A M M== B nên M là trung điểm của AB. 2 c) Tổng số điểm trên đường thẳng xy là 2021 điểm Gọi tên các điểm đó là A, B, M, O, P1, P2, P3, , P2017 Từ Q vẽ được 2021 đoạn thẳng khi nối với các điểm còn lại Từ A vẽ được 2020 đoạn thẳng khi nối với các điểm còn lại (trừ điểm Q) 0,5 Từ B vẽ được 2019 đoạn thẳng khi nối với các điểm còn lại (trừ điểm A, Q) Vậy tổng số đoạn thẳng vẽ được là: 2021+ 2020 + 2019 + + 3 + 2 + 1 0,25 = 2022.1010 + 1011= 2 043 231 381520231 2 − Cho A =++++ . Chứng minh rằng biểu thức A không có 23420232222 giá trị là một tự nhiên. 213141202312222−−−− Câu A =++++ 23420232222 VII. 1 1 1 (0,5 A =1 − + 1 − + + 1 − 0,25 22 3 2 2023 2 điểm) 111 A =−+++2022 222 232023 1111111 Ta có ++ +++= − 11 2320231.22.32022.20232023222 0,25 Do vậy 2021A2022 nên giá trị của A không phải là một số tự nhiên