Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2016 – 2017 - Môn: Toán 7 Thời gian: 90 phút I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1: Giá trị của x trong biểu thức ( x - 1 )2 = 0,25 là: 9 1 1 9 9 1 9 1 A. ; B. ; C. ; D. ; 4 4 4 4 4 4 4 4 Câu 2: Cho góc xOy = 500, điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am. Để Am song song với Ox thì số đo của góc OAm là: A. 500 B. 1300 C. 500 và 1300 D. 800 Câu 3: Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x > 1. Biết f(n) = (n - 1).f(n – 1) và f(1) = 1. Giá trị của f(4) là: A. 3 B. 5 C. 6 D. 1 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 6 , Â = 300. Phân giác góc C cắt AB tại D. Khi đó độ dài đoạn thẳng BD và AD lần lượt là: A.2; 4 B. 3; 3 C. 4; 2 D. 1; 5 Câu 5: Cho a2m = - 4. Kết quả của 2a6m - 5 là: A. -123 B. -133 C. 123 D. -128 Câu 6: Cho tam giác DEF có  E =  F. Tia phân giác của góc D cắt EF tại I . Ta có: A. ∆ DIE = ∆ DIF B. DE = DF ,  IDE =  IDF C. IE = IF; DI = EF D Cả A, B,C đều đúng Câu 7: Biết a + b = 9. Kết quả của phép tính 0,a(b) 0,b(a) là: A. 2 B. 1 C, 0,5 D. 1,5 Câu 8: Cho (a - b)2 + 6a.b = 36. Giá trị lớn nhất của x = a.b là: A. 6 B. - 6 C. 7 D. 5 Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. Biết AC > AB. Khi đó độ dài hai đoạn thẳng BM và CN là: A. BM ≤ CN B. BM > CN C. BM < CN D. BM = CN Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y = - 2x là : A. M ( - 1; -2 ) B. N ( 1; 2 ) C. P ( 0 ; -2 ) D. Q ( -1; 2 ) Câu 11: Biết rằng lãi suất hàng năm của tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm là một hàm số theo số tiền gửi: i = 0,005p . Nếu tiền gửi là 175000 thì tiền lãi sẽ là: A. 8850 đ B. 8750 đ C. 7850 đ D.7750 đ Câu 12: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 20 0 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Số đo của góc BDC là: A. 500 B. 700 C. 300 D. 800 II. Phần tự luận (14 điểm) Câu 1.(3 điểm) A, Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 B, Cho tích a.b là số chính phương và (a,b) = 1. Chứng minh rằng a và b đều là số chính phương. Câu 2.(4 điểm) 2.1 Cho đa thức A = 2x.(x - 3) – x(x -7)- 5(x - 403) Tính giá trị của A khi x = 4. Tìm x để A = 2015 2.2 Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp 7A trồng toàn bộ 32,5% số cây. Biết số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1,2. Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7A trồng được ít hơn số cây của lớp 7B trồng được là 120 cây. Câu 3.(5 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 900. AB2 a) Chứng minh rằng: AC + BD = CD. b) Chứng minh rằng: AC.BD 4 2 2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng: HA + HB + HC < (AB AC BC) 3 Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết :A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000|
2. PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đ. án A C C A B D B A C D B C II. Phần tự luận (14 điểm) Câu Nội dung chính Điểm 1(4 M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 điểm) = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 0,25 = 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 0,25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 0,25 = 25.42018 – 25 + 25 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100Vậy M  102 0,25 B, Đặt a.b = c2 (1) Gọi (a,c) = d nên a  d, c  d 0,25 Hay a = m.d và c = n.d với (m,n) = 1 0,25 Thay vào (1) ta được m.d.b = n2 . d2 0,25 => m.b = n2. d => b  n2 vì (a,b) = 1= (b,d) 0,25 Và n2  b => b = n2 0,5 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm 0,5 2(4 1. Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 điểm) = x2 – 4x + 2015 A, Với x = 4 ta được A = 2015 x 0 2 B, A = 2015 => x – 4x = 0 => x(x - 4) = 0  x 4 2. Gọi số cây ba lớp trồng lần lượt là a, b, c ( cây, a,b,c N*) Theo đề bài ta có b : c = 1,5: 1,2 và b – a = 120 a = 32,5%( a + b + c) Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây 3(5 điểm) A, Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại điểm E. Chứng minh AOC BOE g c g AC BE;CO EO 0,25 Chứng minh DOC DOE c g c CD ED Mà ED EB BD AC BD . 0,25 Từ đó : CD AC BD (đpcm) 0,25 B, Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông BOE và BOD ta có: 0,25
3. OE 2 OB2 EB2 OE 2 OD2 2OB2 EB2 DB2 2 2 2 OD OB DB 0,25 Mà OE 2 OD2 DE 2 ; Nên DE 2 2OB2 EB2 DB2 2OB2 EB. DE BD DB.(DE BE) 2OB2 EB.DE EB.BD DB.DE DB.BE 0,5 2OB2 EB.DE DB.DE 2BD.BE 2OB2 DE. EB DB 2BD.BE 2OB2 DE 2 2BD.BE 2 2 Suy ra 2OB 2BD.BE 0 BD.BE OB 0,25 AB Mà BE AC;OB . 2 2 AB AB2 0,25 Vậy AC.BD (đpcm) 2 4 2. Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB 0,25 tại E Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g) 0,25  AD = HE; AE = HD 0,25 Δ AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1) Từ đó HE  BH 0,25 ΔHBE vuông nên HB < BE (2) Tương tự ta có HC < DC (3) 0,25 Từ 1,2,3 HA + HB + HC < AB + AC (4) Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5) HA + HB + HC < BC + AC (6) 2 Từ đó suy ra HA + HB + HC < (AB AC BC) đpcm 3 4(2 Ta có |7x – 5y| 0; |2z – 3x| 0 và | xy + yz + zx - 2000| 0 điểm) Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| 0 Mà A = 0 khi và chỉ khi |7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = 0 x y Có: |7x – 5y| = 0  7x = 5y  5 7 x z |2z – 3x| = 0  2 3 |xy + yz + zx - 2000| = 0  xy + yz + zx = 2000 x 20; y 28; z 30 Từ đó tìm được x 20; y 28; z 30 A 0, mà A = 0  (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30) Vậy MinA = 0  (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30) PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017 TIỀN HẢI m¤N: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút)
4. 1 (4,5điểm) a)Chứng minh DC= BE 1,5® Ta có  DAC =  DAB+  BAC =900+  BAC tương tự  BAE = 900+  BAC 0,25  DAC =  BAE 0,25 Xét DAC và BAE có AD =AB ( ABD vuông cân tại A) AC=AE ( AC E vuông cân tại A) 0,25  DAC =  BAE (cmt) 0,25 DAC = BAE(c-g-c) 0,25 DC =BE ( định nghĩa tam giác bằng nhau) 0,25 Chứng minh DC  BE 1,5® Gọi K , N lần lượt là giao điểm của DC với BE và AB AND và KNB có  AND=  KNB( đối đỉnh ); 0,25  ADN=  KBN ( DAC = BAE) 0,25  DAN=  BKN định lí tổng 3 góc trong tam giác ) 0,25 Mà  DAN=900(( ABD vuông cân tại A) 0,25  BKN=900 0,25 DC  BE tại K 0,25 b) Chứng minh A,H,M thẳng hàng 1,5® Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI=MA Chứng minh AMB= IMC(cgc) 0,25 CI=AB và CI //AB 0,25 Chứng minh  ACI=  DAE( cùng bù  BAC) 0,25 Chứng minh ACI= EAD (c-g-c) 0,25  CAI=  AED mà  AED +  EAH =900( AHE vuông tại H) 0,25  CAI+  EAH=900  MAH=1800 M,A,H thẳng hàng 0,25 2 (1,5điểm) Vì điểm I nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC nên I là giao điểm 3 0,25 dường phân giác trong tam giác ABC
5. Tam giác ABC vuông tại A nên AB2+AC2=BC2( định lý Pitago) Tính BC=5cm 0,25 Chứng minh CEI= CMI (cạnh huyền- góc nhọn ) CE =CM Tương tự AE =AD; BD =BM 0,25 BC BA AC 0,5 Chứng minh BM 2 5 3 4 0,25 BM 2 cm 2 Bài 5(1điểm ) Câu Nội dung Điểm S Có (n-1) số hạng: 0,25 3 8 15 n 2 1 1 1 1 1 S 1 1 1 1 4 9 16 n 2 22 32 42 n 2 1 1 1 1 S n 1 n 1 22 32 42 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác 1 22 32 42 n 2 1.2 2.3 3.4 (n 1)n n 0,25 1 1 S n 1 1 n 2 n 2 n n Từ (1) và (2) ta có n 2 S n 1 0,25 Vậy S không có giá trị nguyên với mọi số tự nhiên n 2 0,25 TRƯỜNG THCS TAM HƯNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC 2014 – 2015 3 32 33 32000 Câu1: (6 điểm) a) Tính ( - 81)( - 81)( - 81). . .( - 81) 4 5 6 2003 b) Tính giá trị của biểu thức : 6x2 + 5x - 2 tại x thoả mãn x - 2 =1 a 1 b 3 c 5 Câu 2 : (5đ) a) Cho và 5a - 3b - 4 c = 46 . Xác định a, b, c 2 4 6 a c 2a 2 3ab 5b 2 2c 2 3cd 5d 2 b) Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh : . Với điều kiện mẫu thức được b d 2b 2 3ab 2d 2 3cd xác định. x 4 1 Câu 3 (2đ)Tìm x, y nguyên biết 3 y 5 Câu 4 : (6đ) Cho MNP nhọn, MD vuông góc với NP tại D. Xác định I ; J sao cho MN là trung trực của DI, MP là trung trực của DJ ; IJ cắt MN ; MP lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng : a) MIJ cân b) DM là tia phân giác của góc LDK c) NK  MP ; PL  MN d) Trực tâm của MNP chính là giao của 3 đường phân giác của DLK e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh NP. Chứng minh rằng góc IMJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh NP để IJ có độ dài nhỏ nhất. 2 2 Câu 5: (1đ)Tìm Giá trị nhỏ nhất của C x x 3 x x 6 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM 36 36 Câu1: a)(3đ) Trong dãy số có - 81 = - 81 = 81-81 = 0Do đó tích bằng 0 9 32 b)(3đ)Ta có x 2 = 1 * x - 2 = 1 x = 3 * x - 2 = -1 x = 1 Thay x=1 vào biểu thức ta được 6. 1 2 + 5.1 - 2 = 9 Thay x=3 vào biểu thức ta được 6. 3 2 + 5.3 - 2 = 67
6. Câu 2:a)(2đ) Xác định a, b ,c a 1 b 3 c 5 5(a 1) 3(b 3) 4(c 5) 5a 3b 4c 5 9 20 = 2 2 4 6 10 12 24 10 12 24 => a = -3 ; b = -11; c = -7. a 1 b 3 c 5 Cách 2 : = t ; sau đó rút a, b ,c thay vào tìm được t = - 2 tìm a,b,c. 2 4 6 a c b)(3đ) Chứng minh Đặt = k => a= kb ; c = kd Thay vào các biểu thức : b d 2a 2 3ab 5b 2 2c 2 3cd 5d 2 k 2 3k 5 k 2 3k 5 0 => đpcm. 2b 2 3ab 2d 2 3cd 2 3k 2 3k 5x 3 4 Câu 3 (2đ) 15 y (5x – 3).y = 4.15 = 60 = 1.60 = 2.30 = 3.20 = 4.15 = 5.12 = 6.10 Từ đó suy ra các cặp x,y Câu 4: M K J L I N D P a) Do MN là trung trực của DI NP là trung trực của DJ (1đ) => MI = MD MD = MJ => MI = MJ => ΔMIJ cân tại M. b) MLI = MLD (c.c.c) => M· IL M· DL TT : MKD = MKJ (c.c.c) => M· DK M· JK Mà MIJ cân (câu a) => M· IL M· JK (1đ)=> M· DL M· DK => DM là tia p/g của L· DK c) CMTT câu b : PL ; NK là p/g trong của L· DK ; D· LK trong DKL => NK  MP (1 đ) PL  MN d) Từ câu c => trực tâm của MNP chính là giao của 3 đường phân giác trong DLK (1 đ) e) . * CM được I·MJ 2N· MP (không đổi) (1 đ) * MIJ cân tại M có I·MJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên MI nhỏ nhất. Ta có MI = MD MH (MH là đường vuông góc kẻ từ M đến NP) Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D  H (1đ) Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ M xuống NP thì IJ nhỏ nhất. M I J N H D P Câu 5: Đặt x2 + x = t
7. C t 3 t 6 có C t 3 6 t Áp dụng BĐT A B A B Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A.B 0 GTNN của C = 9 khi 3 x 2 PHÒNG GD & ĐT CHƯƠNG MỸ ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN 7 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 Câu 1.: a. Thực hiện phép tính: 11 12 5 5 5 0,265 0,5 2,5 1,25 11 12 3 b. So sánh: 50 26 1 và 168 . Câu 2.a. Tìm x biết: x 2 3 2x 2x 1 b. Tìm x; y Z biết: xy 2x y 5 c. Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và 4x - 3y + 5z = 7 Câu 3. a. Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x. Từ đó áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ + n. 2bz 3cy 3cx az ay 2bx x y z b. Cho Chứng minh: . a 2b 3c a 2b 3c Câu 4. Cho tam giác ABC ( B· AC 90o ), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a. AE = AF; b. HA là phân giác của M· HN ; c. CM // EH; BN // FH. ĐÁP ÁN THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI. NĂM HỌC: 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN 7 Câu Ý Nội dung Điểm a. 0,5 3 3 3 3 3 3 3 0.25 điểm A = 8 10 11 12 2 3 4 53 5 5 5 5 5 5 100 10 11 12 2 3 4 A= 1 1 1 1 1 1 1 165 132 120 110 3 3 3( ) 8 10 11 12 2 3 4 3 1320 Câu 1 53 1 1 1 1 1 1 53 66 60 55 5 0.25 1,5 5 5 5( ) 100 10 11 12 2 3 4 100 660 điểm 263 263 3. 3. 3 3 3945 3 1881 1320 1320 53 49 1749 1225 5. 5 5 5948 5 29740 100 660 3300 b. 1 Ta có: 50 > 49 = 4; 26 > 25 = 5 0.5 điểm 0,5 Vậy: 50 26 1 7 5 1 13 169 168 a. 1 Nếu x >2 ta có: x - 2 + 2x - 3 = 2x + 1 x = 6 0.25 điểm 3 0.25 Nếu x 2 ta có: 2 - x + 2x - 3 = 2x + 1 x = - 2 loại 2 3 4 0.25 Câu 2 Nếu x< ta có: 2 - x + 3 - 2x = 2x + 1 x = 2 5 4 điểm 0.25 4 Vậy: x = 6 ; x = 5 b. 1.5 Ta có: xy + 2x - y = 5 x(y+2) - (y+2) = 3 0. 5 điểm (y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1) 0. 5
8. y + 2 3 1 -1 -3 x - 1 1 3 -3 -1 0.5 X 2 4 -2 0 Y 1 -1 -3 -5 c. 1.5 Từ: 2x= 3y; 4y = 5z 8x = 12y = 15z 0. 5 điểm x y z 4x 3y 5z 4x 3y 5z 7 = 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 0.5 8 12 15 2 4 3 2 4 3 12 1 3 1 1 4 0. 5 x = 12. = ; y = 12. = 1; z = 12. 8 2 12 15 5 a. 0.5 Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f x ax2 bx c (a 0). điểm Ta có : f x 1 a x 1 2 b x 1 c . a 1 0.25 2a 1 2 f x f x 1 2ax a b x b a 0 b 1 2 1 1 Vậy đa thức cần tìm là: f x x2 x c (c là hằng số tùy ý). 2 2 Áp dụng: + Với x = 1 ta có : 1 f 1 f 0 . 0.25 + Với x = 2 ta có : 1 f 2 f 1 . . Câu 3 + Với x = n ta có : n f n f n 1 . 1.5 điểm n2 n n n 1 S = 1+2+3+ +n = f n f 0 = c c . 2 2 2 b. 1 2bz 3cy 3cx az ay 2bx điểm a 2b 3c 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 0.5 a2 4b2 9c2 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 2 2 2 0 a 4b 9c 0.25 z y 2bz - 3cy = 0 (1) 3c 2b 0.25 x z x y z 3cx - az = 0 (2); Từ (1) và (2) suy ra: a 3c a 2b 3c
9. Câu 4 Hình 0.25 F 3 điểm vẽ 0. 5 đ A N M E B C H a. 1 Vì AB là trung trực của EH nên ta có: AE = AH (1) 0.25 điểm Vì AC là trung trực của HF nên ta có: AH = AF (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF 0. 5 b. 1 Vì M AB nên MB là phân giác E· MH MB là phân giác ngoài góc 0.25 điểm M của tam giác MNH 0.25 Vì N AC nên NC là phân giác F· NH NC là phân giác ngoài góc N của tam giác MNH 0.25 Do MB; NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong góc H của tam giác 0.25 HMN hay HA là phân giác của M· HN . c. 1 Ta có AH  BC (gt) mà HM là phân giác M· HN HB là phân giác 0.25 điểm ngoài góc H của tam giác HMN MB là phân giác ngoài góc M của tam giác HMN (cmt) NB là phân 0.25 giác trong góc N của tam giác HMN BN  AC ( Hai đường phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với 0.25 nhau). BN // HF ( cùng vuông góc với AC) Chứng minh tương tự ta có: EH // CM PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8. HUYỆN ANH SƠN CẤP THCS - HUYỆN ANH SƠN NĂM HỌC 2013-2014 Bài 1 ( 2,0 điểm). Tính hợp lý các biểu thức sau: 1 5 1 5 1 3 4 22.10 23.6 a) 27  13  b) 2 c) 4 8 4 8 2 4 9 22.15 24 Bài 2 ( 2,5 điểm). Tìm x biết: 2 1 a) 3(x – 2) + = 4 b) x 5 7 c. (2x 1)7 (2x 1)5 5 3 Bài 3 (1,5 điểm): Ba đội cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là 2 giờ, 3 giờ, 4 giờ. Tính số người tham gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số người của đội thứ ba ít hơn số người của đội thứ hai là 5 người. AB 3 Bài 4 (3,5điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A với và BC = 15cm. Tia phân giác góc C cắt AB tại AC 4 D. Kẻ DE  BC (E BC). a) Chứng minh AC = CE. b) Tính độ dài AB; AC. c) Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Kẻ tia Fx  FA cắt tia DE tại M. Tính D· CM . Bài 5 (0,5điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức: A = x x 2
10. - HẾT - ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN 7. NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu Nội dung Điểm 1 1 5 1 5 5 1 1 5 35 a) 27  13  (27 13 ) 14. 2,0đ 4 8 4 8 8 4 4 8 4 0,75 1 3 4 1 2 1 2 7 b)2 2 0,75 2 4 9 4 3 2 3 6 22.10 23.6 23.5 23.6 c) 22.15 24 22.15 24 0,5 23 (5 6) 2.11 2 22 (15 22 ) 11 1 2 2 18 0,25 a) 3(x – 2) + = 4 3(x – 2) = 4- 3(x - 2) = 2,5đ 5 5 5 0,25 6 16 0,25 x – 2 = x = 0,25 5 5 1 1 0,25 x 5 7 x 12 3 3 0,25 1 1 35 37 x 12 hoặc x 12 x = hoặc x 0,5 3 3 3 3 (2x 1)7 (2x 1)5 0,25 (2x 1)5 ((2x 1)2 1) 0 2x 1 0 2x 1 1 2x 1 1 1 0,25 x 2 x 1 x 0 3 Gọi số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt 1,5đ là x; y; z (giờ). 0,25 ĐK: x; y; z > 0 Cùng một khối lượng công việc, số người tham gia và thời gian làm việc tỷ lệ lệ nghịch. Theo bài ra ta có: 2x = 3y = 4z và y – z = 5 0,5 y z y z 5 60 1 1 1 1 1 0,25 3 4 3 4 12 y = 20, z = 15, x = 30 (thoả mãn điều kiện bài toán) 0,25 Vậy số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là 30 người, 20người, 15 người 0,25 4 Vẽ hình, ghi GT, KL đúng : 0,5đ 3,5đ A D
11. B C E F M K a) C/m được ACD ECD ( cạnh huyền- góc nhọn) 1 => AC = CE (hai cạnh tương ứng) 0,5 AB 3 AB AC 0,25 b) (gt) AC 4 3 4 0,5 AB2 AC 2 AB2 AC 2 BC 2 152 9 9 16 9 16 25 25 AB2 9.9 81 AB 9cm 0,25 AC 2 9.16 144 AC 12cm c) Kẻ Cy  Fx cắt nhau tại K Ta thấy AC = AF = FK= CK = CE và ·ACK 900 0,25 C/M được CEM CKM ( cạnh huyền- cạnh góc vuông) 0,25 E· CM K· CM (hai góc tương ứng) 1 1 Mà D· CM D· CE E· CM ·ACK 900 450 2 2 5 Xét các trường hợp: 0,5đ + TH1 : x 2 A x (x 2) 2 +TH2 : 0 x 2 A x x 2 2x 2 2 0,25 + TH3 : x 0 A x x 2 2 2 => Với mọi giá trị của x thì A 2 Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2 khi x 2 0,25 UBND TX PHÚ THỌ ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp 7 a c a2 c2 a b2 a2 b a Bài 1: (2.0 điểm) Cho chứng minh rằng: a) b) c b b2 c2 b a2 c2 a 1 1 1 Bài 2:(2,0 điểm) Xét tổng gồm n số hạng S 1  với n ¥ * . Chứng n 1 2 1 2 3 1 2  n minh rằng Sn < 2 Bài 3: (2.0 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b. AM = BC Bài 5: (2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, µA 800 . Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao cho I·BC 100 , I·CB 300 . Tính ·AIB
12. UBND TX PHÚ THỌ HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010-2011 Môn: Toán - Lớp 7 Bài Đáp án Điểm a c Bài 1: (2.0 điểm): Cho chứng minh rằng: c b a2 c2 a b2 a2 b a a) b) b2 c2 b a2 c2 a a) a c a2 c2 a2 a.b a(a b) a Từ suy ra c2 a.b , khi đó = 0.75 c b b2 c2 b2 a.b b(a b) b b) a2 c2 a b2 c2 b Theo câu a) ta có: 0.25 b2 c2 b a2 c2 a b2 c2 b b2 c2 b từ 1 1 0.5 a2 c2 a a2 c2 a b2 c2 a2 c2 b a b2 a2 b a hay . Vậy a2 c2 a a2 c2 a 0.5 Bài 2:(2,0 điểm) Xét tổng gồm n số hạng 1 1 1 * S 1  với n ¥ . Chứng minh rằng Sn < 2 n 1 2 1 2 3 1 2  n Ta có với mọi k là số nguyên dương thì: 1 2 1 1 0.75 2 1 2 k k(k 1) k k 1 Thay lần lượt k 1, 2 n ta được tổng 1 1 1 1 1 1 2 0.75 sn 2 1  2 1 2 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 * Vì n ¥ nên Sn < 2 0.5 Bài 3: (2.0 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.25 Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5.x 4.y 3.z và x x y z 59 0.5 x y z x x y z 59 hay: 60 1 1 1 1 1 1 1 59 0.5 5 4 3 5 5 4 3 60 1 1 1 Do đó: x 60. 12 ; y 60. 15 ; z 60. 20 0.5 5 4 3 Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.25 Bài 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5 điểm A 200 M D B C
13. a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra D· AB D· AC Do đó D· AB 200 : 2 100 0.5 điểm b) ABC cân tại A, mà µA 200 (gt) nên ·ABC (1800 200 ) : 2 800 0.25 DBC đều nên D· BC 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD 800 600 200 . 0.25 Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; B· AM ·ABD 200 ; ·ABM D· AB 100 0.25 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0.25 Bài 5: (2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, µA 800 . Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao cho I·BC 100 , I·CB 300 . Tính ·AIB Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, 0.5 chứa điểm A dựng tam giác đều BCE. E Vì ABC cân tại A, µA 800 nên 0.5 ·ABC ·ACB 500 ·ABE ·ACE 100 và điểm A thuộc miền trong BCE. A Dẽ dàng chứng minh được 0.5 ABE = ICB (g. c. g) BA = BI ABI cân tại B, ta có 1400 A· BI = 500 100 400 A· IB 700 2 I B C Hình vẽ đẹp, chính xác 0.5