Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

1.  Sưu tầm và tổng hợp BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYÊN MÔN TOÁN LỚP 9 Thanh Hóa, ngày 8 tháng 3 năm 2020
2. 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TẠO HUYỆN KIM THÀNH Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề số 1 Đề gồm 01 trang 1 x1 x 1 P = x : Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức x xx x . 2 a) Tìm x để P xác định, rútx =g ọn P. b) Tính giá trị của P khi 2 3. P.x6x3 x 4 c) Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức . Bài 2: (2,02 điểm) 2Giải c{c phƣơng trình x 2 3x 2 x 3 x 2 x 22x 3 a) x 5x 9 x 5 x 9. b) Bài 3: (2,01 11điểm) 1 a) Ch ứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 và abc 2015 thìx mx2 2015ột y trongy 2 2015 2015 ba số a, b, c phải có một số bằng 2015. b) Cho x và y thỏa mãn . Tính x + y. Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đƣờng tròn t}m O đƣờng kính BC. Gọi D l| trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam gi{c ACD, G l| giao điểm của CD và AO. Chứng minh: a) EG // AB 3 b) OE  CD c) SDAC + SBDO = S4ABC Bài 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB < AC). Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đƣờng vuông góc với đƣờng phân giác của góc A cắt AB và AC lần lƣợt tại M và N. Chứng minh: BM = CN. HẾT (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
3. 2 HƢỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (2 điểm) Ý/Phần 1 x1 x 1 Đ{p {n Điểm a) P x : x 0, x 1 , ĐKXĐ: x xx x 0,25 x1x1 x 1 x1 x1 x 1 : : = x xxx 1 = x xx 1 2 x1 x xx1 x x 1 x1 0,25 0,75  = : = = điểm xx x 1 xx x 1 x 2 2 0,25 b) 331 x 3 1 0,25 Với x = ĐKXĐ, x = 4 2 = 2 2 3 3 1 1 3 3 3 1 0,5 Nên P = = = . điểm 31 3 1 2 0,25 c) ĐK: x x4 x 4 P. = 6 3 . 2 = 6 3 x1 2 0,25 = 6 3 2 x2 x4 0 x + 2 + 1 = 6 3 (*) 0,75 x2 0 x2 4 0 Do x > 0; , x 4 điểm x2 0 x 4 0 0,25 Nên để (*) xảy ra thì và x = 4 (TM ĐKXĐ) Kết luận 0,25
4. 3 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần 2 2 Đ{p {n Điểm a) x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3 a, (1) x 2 3x 2 0 ĐK: x 3 0 x 2 2 x 2x 3 0 0,25 (1) (x-1)(x-2) + x+3 = x-2 + (x-1)(x+3) x 1 a 0 Đặt: x 2 b 0 x 3 c 0 0,25 (1) a.b + c = b + a.c a(b - c) - (b - c) = 0 1 điểm a 1 (a - 1)(b - c) = 0 b c Với a = 1 x 1 1 x - 1 = 1 x = 2 (thoả mãn đk) Với b = c x 2 x 3 x - 2 = x + 3 0x = 5 vô 0,25 nghiệm Vậy phƣơng trình (1) có nghiệm x = 2 0,25 2 2 b) x 5x 9 x 5 x 9. 0,25 Đặt x 2 9 y (với y 3) 2 y 5 1 điểm Khi đó, ta có: y 5x x 5 y y 5 y x 0 0,5 y x Từ đó tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình l|: x 4. 0,25 Bài 3: (2 điểm) Ý/Phần Đ{p {n Điể m a) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 abcabc ab cabc
5. 4 a b a b 0 ab c() a b c 11 (ab ) 0 ab c() a b c (a b )( ab ac bc c2 ) 0 (a b )( b c )( c a ) 0 ab 0 bc 0 ca 0 +) Nếu a + b = 0 thì suy ra c = 2015 +) Nếu b + c = 0 thì suy ra a = 2015 +) Nếu a + c = 0 thì suy ra b = 2015 Chứng tỏ trong 3 số a, b, c phải có một số bằng 0. b) x x22 2015 y y 2015 2015 (hai nhân tử vế trái phải khác 0,5 222015 0)Nên x x 2015 y 2015 y y y2 2015 2 2 Tƣơng tự y y 2015 = x 2015 x 1 điểm Cộng vế theo vế, ta có 0,5 x + y + y2 2015 + x2 2015 = + x y 2(x + y) = 0 nên x + y = 0 Bài 4: (3 điểm) Ý/Phần Đ{p {n Điểm A a) M E D N G 1 điểm B C O
6. 5 Vẽ hình chính xác 0,25 Chứng minh EG //AB: Kẻ c{c đƣờng trung tuyến CM, DN của ADC chúng cắt nhau ở E Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm ABC 0,25 CE CG 2 Xét MCD, ta có: EG // DM hay EG // AB CM CD 3 0,5 b) Chứng minh OE  CD : 0,5 OD AB (Đƣờng kính qua trung điểm D của dây AB) Mà EG // AB nên EG OD (1) 1 điểm ABC cân tại A OG BC, mà BC // DN nên OG DN (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ODE, do đó OE DG hay OE CD 3 c) 0,5 Chứng minh: SDAC + SBDO = SABC: 4 1 1 1 1 1 1 S OC OA BC OA OA.BC ODC 2 2 2 2 2 8 1 OA.BC S ABC 2 4 S1 ODC OA.BC 1 điểm 8 1 Vậy SABC = 4 SODC hay SODC = SABC 4 Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC 0,5 Bài 5: (1 điểm) Ý/Phần Đ{p {n Điểm A P N B D C M K
7. 6 Vẽ hình chính xác Chứng minh: BM = CN Gọi K l| giao điểm của MN v| đƣờng phân giác của góc A Từ B kẻ đƣờng thẳng song song với MN nó cắt AC tại P 0,25 AMN là tam giác cân tại A (AK vừa l| đƣờng cao vừa là 1 điểm đƣờng phân giác) AM = AN (1) BP//MN nên BP  AK.Tƣơng tự ABP cân tại A AB = AP (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4) Trong BCP, D l| trung điểm của BC, DN// BP N là trung điểm 0,5 của CP hay NP = NC (5). 0,25 Từ (4),(5) BM = CN Lƣu ý: C{c c{ch giải kh{c đúng vẫn cho điểm tối đa.
8. 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TẠO HUYỆN KIM THÀNH Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề số 2 Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) x 2 x 1 x 1 1.Cho biểu thức A = : x x 1 x x 1 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức A. b) Chứng minh rằng 02 A . 2 + x 2 - x 2. Cho biểu thức: 2 với –2 < x < 2 và x 0. 2 + x 2 - x x + 2 Tính giá trị của biểu thức . x - 2 Bài 2: (2,0 điểm) 1. Giải phƣơng trình: x2 7 x 6 x 5 30 2. Cho hai đƣờng thẳng (d1): y = ( m – 1 ) x – m2 – 2m (Với m là tham số) (d2): y = ( m – 2 ) x – m2 – m + 1 cắt nhau tại G. a) X{c định toạ độ điểm G. b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đƣờng thẳng cố định khi m thay đổi. Bài 3: (2,0 điểm) a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 – 1 24. b/ Tìm số tự nhiên n sao cho A n2 n 6 l| số chính phƣơng c/ Tìm các số nguyên xy; thỏa mãn: y2 2 xy 3 x 2 0 Bài4: (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn t}m O, đƣờng thẳng d cố định nằm ngo|i đƣờng tròn, M di động trên đƣờng thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đƣờng tròn (O,R), OM cắt AB tại I. a. Chứng minh tích OI.OM không đổi. b. Tìm vị trí của M để MAB đều. c. Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định. Bài5: (1,0 điểm) Cho các số thực dƣơng x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng x y z 9 x yz y zx z xy 4 <<<<<<<HẾT.<<<<<<<
9. 223 PGD&ĐT NINH GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN THI: TOÁN Đề số 42 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,5 điểm): a) Ph}n tích đa thức 3x22 10xy 3y thành nhân tử . xx 3 22 9 b) Rút gọn biểu thức A= ( Với x 3 ;x 3 ) 2xx 6 2 9 Câu 2 (2,0 điểm): x y 4z 1 a)Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện: y z 4x 1 z x 4y 1 b)Giải phƣơng trình 3x2 5 x 1 x 2 2 3 x 2 x 1 x 2 3 x 4 Câu 3 (2,0 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình : 6x 2xy y 10 b) Cho x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức x33 y2 xy . Chứng minh rằng 1 xy là một số hữu tỉ Câu 4 (2,5 điểm): 1)Cho đƣờng tròn (O;R) có đƣờng kính AB cố định , đƣờng kính CD thay đổi . Đƣờng thẳng vuông góc với AB tại B cắt AC và AD tại M và N. a) Chứng minh : AC.AM không đổi khi CD thay đổi CM AM3 b) Chứng minh : DN AN3 2) Cho tam giác ABC cân tại A có Aˆ 200 ;AB AC b;BC a Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 Câu 5 (1,0 điểm): xy Cho x xy 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= xy22 HẾT Họ và tên thí sinh: <<<<<<<<<<<< < Số b{o danh <<<<<.
10. 224 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÁP ÁN VÀ HƢỚNG DẪN CHẤM ĐÀO TẠO NINH GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 Lƣu ý: Thí sinh l|m theo c{c kh{c đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm b|i thi l|m tròn đến 0,25 điểm CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM 3x22 10xy 3y 22 a) 3x 9xy xy 3y 0, 5 1điểm 3x x 3y y x 3y x 3y 3x y 0,5 x 3 2 x 3 x 3 A 2 x 3 x 3 x 3 0,25 * Xét trƣờng hợp x > 3 ta có: 2 x 3 x 3 2 x 3 x 3 x 9 Câu 1 A x 3 2 x 3 x 3 x3 x3 2,0 0,5 *Xét trƣờng hợp x3 ta có điểm b) x 3 2 x 3 3 x 1,5 A điểm 2 3 x x 3 3 x x 3 x 3 2 3 x 3 x 2 3 x x 3 0, 5 x 3 x 3 3 x x2 9 3x 3 x x 3 x92 Kết luận .Vậy với x 3 ;x 3 thì A 0,25 x3 1 ĐK x, y,z 4 0,25 Cộng từng vế ta có : Câu 2 a) 2,0 1.0 điểm điểm 0, 5 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
11. 225 2x 2y 2z 4x1 4y1 4z1 4x 4y 4z 24x 1 24y 1 24z 1 0 2 2 2 4x11 4y11 4z11 0(*) 2 2 2 0,25 Vì 4x11 0; 4y11 0; 4z11 0 4x 1 1 0 1 Nên (*) xay ra 4y 1 1 0 x y z 2 4z 1 1 0 1 Kết luận : vậy x y z 2 3x2 5x 1 0 2 ĐK : x 2 0 (*) 0,25 2 x x 1 0 PT 3x2 5x 1 3 x 2 x 1 x 2 3x 4 x 2 2 0 2x 4 3x 6 0 3x22 5x 1 3 x x 1 x22 3x 4 x 2 b) 0,25 1,0 23 x 2 0 3x22 5x 1 3 x x 1 x22 3x 4 x 2 0,25 23 Vì < 0 3x22 5x 1 3 x x 1 x22 3x 4 x 2 0,25 nên x 2 0 x 2 Thử lai thấy x=2 thỏa mãn DDK (*) . vậy x= 2 là nghiệm của phƣơng trình 6x 2xy y 10 6x 2xy y 3 7 y 3 2x 1 7 Câu 3 a) x,y là số nguyên nên y 3và 2x 1 là số nguyên . Vì vậy y+3 ; 2x-1 l| ƣớc 0.25 2,0 1.0 của 7 điểm điểm Ta có c{c trƣờng hợp sau: y 3 1 x 4 y 3 7 x 1 0,5 1) 2) 2x 1 7 y 2 2x 1 1 y 4 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
12. 226 y 3 1 x 3 y 3 7 x 0 3) 4) 2x 1 7 y 4 2x 1 1 y 10 Kết luận x; y 4;2 , 1;4 , 3; 4 ; 0;10  0,25 * Nếu x =0 hoặc y= 0 thì 11 xy là số hữu tỉ *Nếu x, y đều khác 0 0,25 y3 y y 4 y 2 x33 y 2 xy x 2 xy 2 x22 x x x 2 y4 y 2 y 2 1 xy 2 1 1 x2 x x b) 2 1.0 yy22 1 xy 1 1 là số hữu tỉ điểm xx x y x33 y2 xy Vậy và là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức . 0, 5 thì 1 xy là một số hữu tỉ 0,25đ M C A O B Câu 4 2,5 D điểm N Tam giác ABC nội tiếp (O) có AB l| đƣờng kính Tam giác ABC vuông 0,25 1)a tai C 0,75 Tam giác ABM vuông tại B, BC l| đƣờng cao 22 AC.4 AM AB R không đổi ( The hệ thức lƣợng trong tam giác 0, 5 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
13. 227 vuông) Áp dụng hệ thức lƣợng trong tam các tam giác vuông AMB, ANB AMN ta có 22 AM MB.;. MN AN BN MN 0,25 AM2 BM 1)b AN2 BN 0,75 AM42 BM AM. CM 42 AN BN AN. DN AM3 CM AN3 DN 0,5 A E D 0,25 B C ABC cân tại A có góc BAC = 200 nên ABC = ACB = 800 Trên cạnh AC lấy D sao cho ABD = 600, khi đó DBC = 200 nên BDC = 800 BDC cân tại B BD = BC = a . 0,25 DC BC a2 BDC ABC ( g – g) DC = 2 BC AC b AD = b - 1 3 BDE vuông có EBD = 600 nên BE = BD = a và DE = BD = a. ; 0,25 2 2 AE = b - a. Áp dung định lý Pi-ta-go trong tg vuông ADE có : 2 2 2 2 2 2 AD = AE + DE (b - ) = (b - a) + (a. ) a4 a2 3a2 b2 - 2a2 + = b2 - ab + + = 3a2 –ab b2 4 4 a4 = 3a2b2 - ab3 a4 + ab3 = 3a2b2 a3 + b3 = 3ab2 0,25 Câu 5 * Nếu y = 0 thì P = 0 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
14. 228 1,0 *Nếu y 0 thì P 0 điểm * Nếu x,y trái dấu thì P 0 11yy Từ x xy 1 1 y 2 x x x 4 y 1 Đặt tt 0 x 4 y2 2 21 2 0,25 1x yx2 1 t 1 1 15 Ta có tt P xyy t t 16 t 16 t x Áp dụng bất dẳng thức cô si cho hai số dƣơng ta có 1 1 1 tt 2. . dấu bằng xảy ra khi 16tt 16 2 1 1 1 t t2 t x 4 y 16t 16 4 1 15 15 15 1 Với t .4 . Dấu bằng xảy ra khi t x 4 y 4 16t 16 4 4 1 17 4 0,25 Do đó P P 4 17 4 vậy GTLN của P bằng khi x=4y 17 0,25 Hết Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
15. 229 PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Đề số 43 (Thời gian làm bài: 150 phút) x 2 x 1 1 Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức: A với x 0, x 1 x x 1 x x 1 1 x 1) Rút gọn A 1 2) Chứng tỏ rằng: A 3 Câu II (2,0 điểm). 1) Giải phƣơng trình: x x 15 17 2 2) Tìm x, y sao cho: 5x 2 x 2 y y 1 0 Câu III (2,0 điểm). 2 1) Tìm số nguyên x, sao cho : x x p 0 với p là số nguyên tố. m2 2013m 2012 2) Tìm m để hàm số bậc nhất y x 2011 là hàm số nghịch biến. m2 2 2m 3 Câu IV (3,0 điểm). 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đƣờng tròn (O ; R), hai đƣờng cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đƣờng kính AK của đƣờng tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh AH = 2.IO. b) Biết BAC 600 , tính độ dài dây BC theo R. 0 2) Cho ABC(A 90 ) , BC = a. Gọi bán kính của đƣờng tròn nội tiếp ABC là r. r 2 1 Chứng minh rằng: . a2 Câu V (1,0 điểm). 22 Cho x 3y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C x y –––––––– Hết –––––––– Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
16. 230 HƢỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN - LỚP 9 Câu Phần Nội dung Điểm x 2 x 1 1 A x 1 x x 1 x x 1 x 1 0.25 x 2 x 1 x x 1 A x 1 x x 1 0.25 1 (1,0 đ) xx A 0.25 x 1 x x 1 x x 1 x 0.25 Câu I A , với x 0, x 1 x 1 x x 1 x x 1 (2,0 điểm) 2 1 1 x x1 Xét A 33x x 1 3(x x 1) 0.50 2 Do 2 0.25 (1,0 đ) 2 13 x1 0và x x1 x 0 24 0.25 1 1 A0 A 3 3 ĐKXĐ: x 15 x x1517 x15 x1520 0.25 2 1 Đặt t x15(t0) t t20 0.25 (1,0 đ) t 2 TM§K t 2 t 1 0 0.25 t 1 lo¹i 0.25 Câu II Với t2 x152 x154 x19 (TMĐK) (2,0 điểm) ĐKXĐ: x0 5x 2 x 2 y y2 1 0 4x4x1x2yx y2 0 0.25 22 2 2 x 1 x y 0 (1) 0.25 (1,0 đ) 22 Vì 2x1 0, xy 0x0,y  22 0.25 2 x 1 x y 0 . Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
17. 231 1 0.25 x 2 x 1 0 4 Để (1) xẩy ra thì (TM) 1 x y 0 y 2 Theo bài ra: p x2 x x x 1 mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp 0.25 1 nên x x 1 là số chẵn p là số chẵn. 0.25 (1,0 đ) Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2 0.50 x2 x 2 0 x 2 x 1 0 x = 1 hoặc x = - 2 (TM) m2 2013m 2012 Để hàm số y x 2011 nghịch biến thì m2 2 2m 3 0.25 Câu III m2 2013m 2012 2 0 m2 2 2m 3 m 2 1 0  m 2 (1). (2,0 điểm) m 2 2m 3 0.25 2 2 (1) m 2013m 2012 0 m 1 m 2012 0 (1,0 đ) m 1 0 m 1 0.25 m 2012 0 m 2012 m 1 0 m 1 m 2012 0 m 2012 0.25 1 m 2012 A Vì B, C thuộc đƣờng tròn đƣờng kính AK ABK ACK 900 E KB  AB,KC  AC 0.25 F O H CH AB,BH AC (gt) BK//CH,CK// BH C B I BHCK là hình bình hành 1a K 0.25 I l| trung điểm của BC (gt) Câu IV (1,0 đ) I l| trung điểm của HK (3,0 điểm) O l| trung điểm của AK (gt) OI l| đƣờng trung bình của KAH 0.25 1 OI AH AH 2.IO 2 0.25 1b OA OC OAC cân tại O OAC OCA (1,0 đ) KOC OAC OCA (T/c góc ngoài của tam giác) Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
18. 232 KOC 2.OAC Chứng minh tƣơng tự: KOB 2.OAB 0.25 KOC KOB 2 OAC OAB BOC 2.BAC 1200 0.25 0 0 0 OB OC OBC cân tại O OCI 180 120 : 2 30 ì I l| trung điểm của BC (gt) OI BC 0.25 3 Trong OIC I 900 : IC OC.cos300 R. BC R 3 2 0.25 B r 2 1 2r a 2 a 2r a a 2 D a2 0.25 r E O C/m đƣợc AB + AC = 2r + a A AB AC BC 2 F C 0.25 2 2 2 2 AB 2AB.AC AC 2BC 0.25 (1,0 đ) AB2 2AB.AC AC 2 2AB 2 2AC 2 AB AC 2 0 1 0.25 r 2 1 BĐT (1) đúng , dấu “=” xảy ra khi ABC v/cân tại A. a2 Do x 3y 1, đặt x 3y 1 a với a0 x = 1 + a – 3y, thay vào biểu thức C: C 10y22 6ay 6y a 2a 1 0.25 2 3 12 1 1 C 10 y a 1 a 2a . Câu V 10 10 10 10 (1,0 đ) (1,0 điểm) 1 0.50 min C khi: 10 3 3 3 3 y y a 1 0 y y 10 10 10 10 1 a 0 a 0 x 3y 1 x 0.25 10 * Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
19. 233 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN GIA LỘC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Đề số 44 Đề gồm 01 trang Câu 1. (2,0 điểm) x2 x2 x x 21 x 1) Rút gọn biểu thức: P = ;xx 0, 1 x x 11 x x 2) Cho x và y là hai số thỏa mãn: x x22 5 y y 5 5 . Hãy tính giá trị của biểu thức M = xy2015 2015 Câu 2. (2,0 điểm) x 3 1) Giải phƣơng trình: x 2 x 1 x 2 x 1 2 2) Giải bất phƣơng trình: 2xx 3 4 0 Câu 3. (2,0 điểm) 1) Giải phƣơng trình nghiệm nguyên sau: xy 2 x 2 y 1 2) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n n 1 n 2 n 3 1 là số chính phƣơng. Câu 4. (3,0 điểm) 1) Cho nửa đƣờng tròn t}m O đƣờng kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Trên Ax và By lần lƣợt lấy 2 điểm C và D sao cho COD 900 a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đƣờng tròn đƣờng kính AB tại tiếp điểm E b) Chứng minh AC.BD không đổi c) Gọi H l| ch}n đƣờng vuông góc kẻ từ E đến đƣờng kính AB. Chứng minh CB cắt EH tại trung điểm I của EH. 2) Trên hai cạnh AC, BC của tam gi{c đều ABC, lấy tƣơng ứng hai điểm M, N sao cho MA = CN. Tìm vị trí của M để MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi cạnh của tam gi{c đều là 2014 cm. Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số dƣơng thỏa mãn : x + y + z = 2016. Tìm giá trị lớn x y z nhất của biểu thức: A x 2016x yz y 2016y zx z 2016z xy Hết Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
20. 234 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƢỚNG DẪN CHẤM GIA LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN Hƣớng dẫn chấm gồm 04 trang Biể u Câu Phần Đ{p {n điể m x x 1 x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 1) P = x x 11 x x 1 = x x 1 2 x 1 2 x 1 1,0 = x x 2 x 1 2 x 2 = xx 1. + Nhân 2 vế của x x22 5 y y 5 5 (1) với xx 2 5 ta đƣợc: x x2 5 x x 2 5 y y 2 5 5 x x 2 5 x2 x 2 5 y y 2 5 5 x x 2 5 1 22 5 y y 5 5 x x 5 22 2 y y 55 x x (2) Tƣơng tự nhân 2 vế của (1) với yy 2 5 ta đƣợc: 0,25 x x22 55 y y (3) + Cộng vế với vế của (2) v| (3) ta đƣợc: 0,25 y y2 5 x x 2 5 x x 2 5 y y 2 5 2x 2 y 0 2 x y 0 x y 0 x y 0,25 xy2015 2015 Vậy M = = 0. 0,25 Điều kiện để phƣơng trình x{c định là: x 1 0,25 - Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với: 2 1 22x 3 x 3 xx 1 1 1 1 xx 1 1 1 1 (*) 2 2 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
21. 235 + Nếu xx 1 1 0 2 thì phƣơng trình (*) trở thành: 0,25 xx 33 x 1 1 x 1 1 2 x 1 22 2 4x 1 x 3 16 x 1 x 6 x 9 2 x2 10 x 25 0 x 5 0 x 5 ( thỏa mãn điều kiện x 2) 0,25 + Nếu xx 1 1 0 1 2 thì phƣơng trình (*) trở thành: xx 33 xx 1 1 1 1 2 22 xx 3 4 1, thỏa mãn điều kiện 12 x Vậy phƣơng trình đã cho có 2 nghiệm là: x = 5 và x = 1 0,25 0,25 2xx 3 4 0(1). ĐK: x 4 0,25 - Nếu x = - 4 thì bất phƣơng trình (1) đúng - Nếu x > - 4 thì bất phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với: 0,25 2 2 3 2xx 3 0 (thỏa mãn điều kiện) 2 0,25 3 Vậy bất phƣơng trình đã cho có nghiệm là x=-4 hoặc x 2 0,25 xy 2 x 2 y 1 y 2 x 1 2 y (1) Nếu y = -2 thì phƣơng trình (1) vô nghiệm Nếu y khác -2 ta có: 0,25 1 2y 5 0,25 1 y 2 x 1 2 y x 2 yy 22 Vì x là số nguyên nên y 2 l| ƣớc của 5 3 Do đó : y 2 1; 1;5; 5 y 1; 3;3; 7 x 3; 7; 1; 3 0,25 Vậy phƣơng trình có 4 nghiệm là: (-1;3);(-3;-7);(3:-1);(-7;-3) 0,25 A n n 1 n 2 n 3 1 22 n23 n n 2 3 n 2 1 n 2 3 n 2 n 2 3 n 1 n 2 3 n 1 2 0,75 Vì n N n2 31 n N nên A là số chính phƣơng 0,25 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
22. 236 F D E N 025 C I A B H O Lấy điểm N l| trung điểm của CD=> NO l| đƣờng trung bình của hình thang ABDC => NO vuông góc với AB. Tam giác CDO vuông tại O có ON l| đƣờng trung tuyến nên NO = NC => NCO CON (1) o 0,5 Ta có: ACO CON + AOC 90 (2) Từ (1) và (2) => ACO ECO => CO là phân giác của góc ACE Giả sử OE là khoảng cách từ O đến CD => OA=OE 4 Vậy CD là tiếp tuyến của đƣờng tròn đƣờng kính AB Xét 2 tam giác vuông OBD và CAO ta có BOD ACO (cùng phụ với góc ACO) Do đó OBD đồng dạng với tam giác CAO 0,5 OB BD => BD AC OA OB R2 AC AO Vậy BD.AC không đổi Ta có CAE cân tại C lại có CO là phân giác của góc ACO nên CO  AE. Mặt khác BE AE( E thuộc đƣờng tròn đƣờng kính AB) => OC//BE mà OA=OB nên CA = CF IH BI Do IH //CA theo hệ quả định lý Ta-lét ta có (1) CA BC 0,75 EI BI Dó EI //CF theo hệ quả định lý Ta -let ta có (2) CF BC IH EI Từ (1) và (2) => mà CA = CF => IH = EI CA CF Vậy I l| trung điểm của EH Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
23. 237 B H G N K A C M Kẻ MK AB;; NH  AB MG  NH Tứ giác MGHK là hình chữ nhật MG KH Mà MN MG MN KH Các tam giác AKM, BHN là các tam giác vuông có một góc nhọn 11 bằng 60o nên AK AM; BH BN . 22 Do đó: AM BN KH AB AK BH AB 22 CN BN BC AB AB AB 2 2 2 2 AB MN 2 AB 2014 Vậy minMN 1007 cm 22 MN l| đƣờng trung bình của tam gi{c ABC hay M l| trung điểm của cạnh AC. 2 Từ x yz 0 x2 yz2xyz (*) Dấu "=" khi x2 = yz 0,25 Ta có: 2016x yz x y zx yz x2 yz x(y z) x(y z) 2x yz Suy ra: 2016x yz x(y z) 2x yz x( y z) (áp dụng (*)) 0,25 xx 5 x 2016x yz x x y z (1) x 2016x yz x y z y y Tƣơng tự ta có: (2) y 2016y zx x y z zz (3) z 2016z xy x y z Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038
24. 238 x y z Từ (1),(2),(3) ta có: 1 x 2016x yz y 2016y zx z 2016z xy Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 672 Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi x=y=z=672 0,25 0,25 Liên hệ tài liệu word zalo: 039.373.2038