Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ 1 MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng x y 2 x y 0 y 3 1 x3 1 x 2 y 2 3 Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
2. HD CHẤM Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) A 1 0 x 2 7 x 5 7 b) (0,75đ) Xét 5 x 4 (0,25đ) B 2 x 3 2 x 3 7 Với x Z thì A  B khi Z 7  ( 2x – 3) (0,25đ) 2x 3 Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A  B (0,25đ) x y 4 4 c) (1,5đ) Biến đổi = x x y y y3 1 x3 1 (y3 1)(x3 1) x 4 y4 (x y) = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) xy(y2 y 1)(x 2 x 1) x y x y x 2 y2 (x y) = (0,25đ) xy(x 2 y2 y2x y2 yx 2 xy y x 2 x 1) 2 2 = x y (x y 1) (0,25đ) 2 2 2 2 xy x y xy(x y) x y xy 2 2 2 = x y (x x y y) = x y x(x 1) y(y 1) (0,25đ) 2 2 2 2 2 xy x y (x y) 2 xy(x y 3) = x y x( y) y( x) = x y ( 2xy) (0,25đ) xy(x 2 y2 3) xy(x 2 y2 3) = 2(x y) Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) x 2 y2 3 Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ) (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25đ) * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) * x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ) x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1
3. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) (1,75đ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x 2009)( ) 0(0,5đ) Vì ; ; 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2005 2007 2004 2006 2003 1 1 1 1 1 1 Do đó : 0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = -2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 E I 2 Bài 3: (2 điểm) 1 1 a) (1đ) B C 2 F Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) EDF cân tại D ˆ ˆ O Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) E1 F2 Mà ˆ ˆ ˆ = 900 Fˆ Eˆ Fˆ = 900 E1 E2 F1 2 2 1 A D EDF = 900. Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 Mà EDF vuông cân DI = EF 2 1 B Tương tự BI = EF DI = BI 2 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng D Bài 4: (2 điểm) C a) (1đ) A DE có độ dài nhỏ nhất E Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) a2 a2 a2 = 2(x – )2 + (0,25đ) 4 2 2 a Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,25đ) 2 a BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) 2 b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 1 1 1 1 2 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 2
4. 1 AB AB2 AB2 1 AB AB2 AB2 = – (AD2 – 2 .AD + ) + = – (AD – )2 + (0,25đ) 2 2 4 8 2 4 2 8 2 2 AB AB 3 2 Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB không đổi (0,25đ) 2 8 8 3 2 Do đó min SBDEC = AB khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ) 8
5. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ 2 MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7 Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: 5x 5 Bài 3: Cho phân thức: 2x 2 2x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định. b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1. x 2 1 2 Bài 4: a) Giải phơng trình : x 2 x x(x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trớc kế hoạch một ngày và còn vợt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày. Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đờng cao AH và trung tuyến AM. a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích ∆ AHM ?
6. 3 3 3 Xét hiệu B (a1 a2 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) (a1 a2 a2013 ) 0.5 3 3 3 (a1 a1) (a2 a2 ) (a2013 a2013 ) chia hết cho 3 2014 Mà a1,a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 2013 3. 0.5 Do vậy B chia hết cho 3. 0.5 Từ 2a 2 a 3b2 b có (a b)(3a 3b 1) a2 0.5 Cũng có (a b)(2a 2b 1) b2 . Suy ra (a b)2 (2a 2b 1)(3a 3b 1) (ab)2 0.5 2 Gọi (2a 2b 1,3a 3b 1) d . Chứng minh được d=1 0.5 =>3a 3b 1 là số chính phương => a b là số chính phương (đpcm) 0.5 A M O N 4 B H D E I K C Ta có IM//AC, IN//AB => AMIN là hình bình hành 1 1 => MN cắt AI tại trung điểm mỗi đường . Mà O là trung điểm AI 0.5 => M, O, N thẳng hàng (đpcm) 0.5 Kẻ OE vuông góc với BC. Chứng minh MHKN là hình thang vuông. 0.5 Ta có O là trung điểm MN mà OE//MH//NK. Suy ra OE là đường trung bình của hình 0.5 2 thang vuông MNKH nên MH + NK = 2OE (1) Xét ΔADI có O là trung điểm của AI và OE//AD. Suy ra OE là đường trung bình của 0.5 ΔADI nên AD = 2OE (2) Từ (1) và (2) ta có MH + NK = AD (đpcm). 0.5
7. Ta có MN // BC khi và chỉ khi MN là đường trung bình của ABC(Do O là trung điểm 0.5 AI) 3 I là trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB) 1 Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC 0.5 Xét hiệu x y (a b)(c d) (a c)(b d) (d a)(b c) 0.5 Vì d a,b c nên (d a)(b c) 0 . Suy ra x y (1) 0.5 5 Xét hiệu y z (a c)(b d) (a d)(b c) (a b)(d c) 0.5 Vì b a,c d nên (a a)(d c) 0 . Suy ra y z (2) 0.5 Từ (1) và (2) ta sắp xếp theo thứ tự giảm dần là z y x
8. ĐỀ SỐ 22 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 TẠO Môn: TOÁN - Lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 (5,0 điểm) 4x3 8x2 3x 6 Cho biểu thức: A 2x2 3x 2 a. Rút gọn A. b. Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 2 (3,0 điểm) a. Chứng minh rằng: n3 + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn. x 1 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = với x là số nguyên. x 2 Bài 3 (3,0 điểm) x2 1 x 5 Giải phương trình: . x x2 1 2 Bài 4 (3,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: a. 5x2 + y2 = 17 + 2xy. b. x 2 x 1 3 (y 2)2 . Bài 5 (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M trên BD sao cho MB MD. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua M và song song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H. a. Chứng minh: KF // EH. b. Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy. c. Chứng minh: SMKAE = SMHCF .
9. ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1 Hướng dẫn giải Điểm (5,0điểm) Rút gọn A a) - Phân tích được 4x3 - 8x2 + 3x - 6 = (x - 2)(4x2 + 3) 1,0 (3,0điểm) - Phân tích được 2x2 - 3x - 2 = (x - 2)(2x + 1) 1,0 4x2 3 - Rút gọn được kết quả A 1,0 2x 1 Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên b) - Tìm ĐKXĐ: (2,0điểm) 1 0,25 x ; x 2 2 4x2 3 4 A 2x 1 1,0 2x 1 2x 1 -Lập luận để A có giá trị nguyên x Z và 2x + 1 là ước lẻ của 4 0,5 - Tìm được x = 0; -1 0,25 Bài 2 (3,0điểm) Vì n chẵn nên n = 2k (k Z) Do đó n3 + 2012n = (2k)3 + 2012.2k 0,5 = 8k3 + 4024k a) = 8k3 - 8k + 4032k 0,5 (1,5 điểm) = 8k(k2 - 1) + 4032k 0,25 = 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k và lập luận suy ra điều phải chứng minh 0,25 b) x 1 Nhận xét : B = với x 2 mà x 2 > 0 với mọi x 2 nên: (1,5 điểm) x 2 Nếu x + 1 0 x > -1 thì B > 0 Suy ra B đạt giá trị lớn nhất nếu x > -1 Do x là số nguyên, x 2 , x > -1 Nên ta xét các trường hợp sau 1 x = 0 thì B = (1) 2 0,5 x = 1 thì B = 2 (2) x 1 x > 2 thì B = x 2
10. x 1 3 Với x > 2 ta có B = = 1 x 2 x 2 3 B lớn nhất khi lớn nhất x 2 0,25 mà 3 > 0 và x > 2 x - 2 > 0 3 nên: lớn nhất khi x - 2 nhỏ nhất và x - 2 nguyên x - 2 = 1 x 2 x = 3 B = 4 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: B lớn nhất bằng 4 khi x = 3 0,25 Bài 3 (3,0 điểm) ĐKXĐ: x 0 0,25 x2 1 x 1 Đặt y (y 0) Khi đó ta có phương trình x x2 1 y 0,5 1 5 y (2) y 2 1 Giải (2) tìm được y = 2 (tmđk); y (tmđk) 0,5 2 x2 1 Với y = 2 2 . Tìm được x = 1 (tmđk) 0,75 x 1 x2 1 1 Với y . Lập luận chứng tỏ phương trình này vô nghiệm 0,75 2 x 2 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm x = 1 0,25 Bài 4 (3,0 điểm) a) 17 17 5x2 y2 17 2xy (x y)2 4x2 17 x2 0 x2 0,5 (1,5 điểm) 4 4 Do x nguyên nên x2 0;1;4 0,25 + x2 = 0 (x - y)2 = 17 (loại) + x2 = 1 (x - y)2 = 13 (loại) 0,25 + x2 = 4 (x - y)2 = 1 Với x = 2 thì (2 - y)2 = 1 tìm được y = 1 ; y = 3 0,25 Với x = - 2 thì (- 2 - y)2 = 1 tìm được y = -1 ; y = -3 Vậy các cặp số nguyên (x; y) là (2;1); (2;3); (-2;-1); (-2;-3) 0,25 b) Chứng tỏ được x 2 x 1 3 với mọi x 0,25 (1,5 điểm) Dấu bằng xảy ra -2 x 1 2 Chứng tỏ được 3 (y 2) 3 với mọi y 0,25
11. 2 Do đó x 2 x 1 3 (y 2) 3 2 3 (y 2) 3 tìm được y = - 2 x 2 x 1 3 khi -2 x 1 mà x Z 0,75 x = -2; -1; 0; 1 Vậy các cặp số nguyên (x; y) là: (-2; -2); (-1; -2); (0; -2); (1; -2) 0,25 Bài 5 Hình vẽ (6,0 điểm) P A K B I O E M F N Q G D H C a, Chứng minh: KF // EH (2,0 điểm) BK MF Chứng minh được: 0,5 AK ME MF BF BF Chứng minh được: (hệ quả định lý Ta - lét) 0,5 ME DE FC BK BF Suy ra KF // AC (Định lý Ta - lét đảo) 0,25 AK FC Chứng minh tương tự ta có EH // AC 0,5 Kết luận KF // EH 0,25 b, Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy (2,0điểm) Gọi giao điểm của BD với KF và HE lần lượt là O và Q. N là giao điểm của AC và BD OK QE 0,75 Chứng minh được 1 OF QH Gọi giao điểm của đường thẳng EK và HF là P, giao điểm của đường thẳng EK và DB là P’. 1,0 Chứng minh được P và P’ trùng nhau Kết luận các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy 0,25
12. c, Chứng minh: S = S (2,0 điểm) MKAE MHCF Kẻ EG và FI vuông góc với HK, I và G thuộc HK 0,5 Chỉ ra được : SMKAE = MK.EG; SMHCF = MH.FI MK KB Chứng minh được: 0,25 MH HD MK MF Suy ra 0,25 MH ME MF FI Chứng minh được: 0,25 ME EG MK FI Suy ra , suy ra MK.EG = MH.FI 0,5 MH EG Suy ra điều phải chứng minh 0,25 Chú ý: - Học sinh có cách giải khác đúng cho điểm tương đương. - Nếu bài hình phần trên (a) sai thì vẫn chấm điểm phần dưới (b, ).
13. ĐỀ SỐ 23 PHÒNG GD& ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) x2 2x 2x2 1 2 Câu 1: (1.5 điểm) Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x A)Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Câu 2:(1.5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 4 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020. Câu 3: (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để: a, A= n3-n2+n-1 là số nguyên tố. b, B= n5-n+2 là số chính phương. ( n N;n 2 ) Câu 4: (1.5 điểm) 1 1 1 1 a) Giải phương trình : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c 3 b c a a c b a b c Câu 5: (0.5 điểm)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với : x = 1 a ; y = 1 b 1 a a2 1 b b2 Câu 6: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên đoạn OB lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a/ Tứ giác AMBD là hình gì? Vì sao? b/ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB. Chứng minh: EF // AC.
14. c/ Chứng minh: Ba điểm E, F, P thẳng hàng. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
15. ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm x2 2x 2x2 1 2 Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. a) x 0 x 0 +)A được xác định 2 3 2 8 4x 2x x 0 4(2 x) x (2 x) 0 0.25 x 0 x 0 x 0 2 (2 x)(4 x ) 0 2 x 0 x 2 +) ĐKXĐ : x 2; x 0 * Rút gọn : x2 2x 2x2 1 2 Ta có A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x Câu 1 x2 2x 2x2 x2 x 2 (1.5đ) 2 2 2 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x (x 2 2x)(2 x) 4x 2 x 2 x 2x 2 0.75 . 2(x 2 4)(2 x) x 2 2x 2 x 3 4x 2x 2 4x 2 x(x 1) 2(x 1) . 2(x 2 4)(2 x) x 2 x(x2 4) (x 1)(x 2) x 1 . 2(x2 4)(2 x) x2 2x b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. x 1 * Z x +1  2x 2x + 2  2x Mà 2x  2x 2x 2  2x 1  x x = 1 hoặc x = -1 0.5 * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) +) Vậy A= x 1 Z x = 1 hoặc x = -1 2x Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 4 Câu 2 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020. (1.5đ) a) x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = ( x2+2)2 - (2x)2 0.5 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 = x4 x 2020x2 2020x 2020 0.5
16. = x x 1 x2 x 1 2020 x2 x 1 = x2 x 1 x2 x 2020 0.5 Tìm số tự nhiên n để: a, A= n3-n2+n-1 là số nguyên tố. b, B= n5-n+2 là số chính phương. ( n N;n 2 ) a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1) 0.25 +)Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài +)Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 0.5 +)Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là Câu 3 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 (2đ) - Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố 0.25 b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 0.5 =n(n-1)(n+1) n 2 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)5 (tích của 5số tự nhiên liên tiếp) 0.25 và 5 n(n-1)(n+1)5 Vậy B chia 5 dư 2 Do đó số B có tận cùng là 2 hoặc 7nên B không phải số chính phương 0.25 Vậy không có giá trị nào của n để B là số chính phương 1 1 1 1 a) Giải phương trình : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c 3 b c a a c b a b c x2 9x 20 x 4 x 5 2 Ta có x 11x 30 x 6 x 5 2 0.25 x 13x 42 = x 6 x 7 Câu 4 ĐKXĐ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,25 (1.5 đ) Phương trình trở thành : 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 0.25 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 0,25 x 4 x 7 18
17. 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13) Từ đó tìm được x=-13; x=2 và kết luận đúng 0.25 b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y z x z x y 0.25 Từ đó suy ra a= ;b ;c ; 2 2 2 y z x z x y 1 y x x z y z =>A= ( ) ( ) ( ) 0.5 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A (2 2 2) hay A 3 2 0.25 Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với : x = 1 a ; y = 1 b 1 a a2 1 b b2 Ta có x,y > 0 và Câu 5 1 1 a a2 a2 1 1 1 1 1 1 1 1 (0.5 đ) 1 a 1 1 1 1 x 1 a 1 a y 0.5 a2 a2 a b2 b 1 1 1 1 Vì a> b > 0 nên và . Vậy x < y. a2 b2 a b B B C C P P M MF O F O I I E AE A D D Câu 4 Câu 4 0.25 (3đ) a/ Gọi(3đ) O là a/giao Gọi điểm O là của giao AC điểm và BD.của AC và BD. Chứng minhChứng PO là minh đường PO trung là đường bình củatrung MCA,bình của suy raMCA, PO // suy MA. ra PO // MA.0,75 0,75 Suy ra tứ giácSuy AMBD ra tứ giác là hình AMBD thang. là hình thang. 0,25 0,25 b/ Gọi I là giaob/ Gọi điểm I là của giao AM điểm và củaEF. AM và EF. IEA cân tại IEA I nên cân I·E tạiA II ·nênAE ; I ·EOADA I·A cânE ; tạiOAD O nên cân O· tạiAD O nênO· DA O·.AD O· DA. 0,5 0,5 0,5 0,5 Mà I·AE O·MàDA I·nênAE I·EO·AD AO ·nênAD .I·EA O· AD . Suy ra EF //Suy AC ra EF // AC c/ Chứng minhc/ Chứng IP là đườngminh IP trung là đường bình củatrung MACbình của nên IPMAC // AC nên IP // AC 0,5 0,5 Kết hợp vớiKết câu hợp b, suy với racâu E, b, F, suy P thẳng ra E, hàng.F, P thẳng hàng. 0,5 0,5
18. B C P M F O I E A D Câu 4 0,.5 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên I·EA I·AE ; OAD cân tại O nên O· AD O· DA. 0,5 0,5 Mà I·AE O· DA nên I·EA O· AD . Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5 0.25 B C P M F O I E A D Câu 4 0.25 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên I·EA I·AE ; OAD cân tại O nên O· AD O· DA. 0,5 0,5 Mà I·AE O· DA nên I·EA O· AD . Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5
19. B C P M F O I E A D Câu 4 0.5 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên I·EA I·AE ; OAD cân tại O nên O· AD O· DA. 0,5 0,5 Mà I·AE O· DA nên I·EA O· AD . Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5 B C P M F O I E A D Câu 4 0.25 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên I·EA I·AE ; OAD cân tại O nên O· AD O· DA. 0,5 0,5 Mà I·AE O· DA nên I·EA O· AD . Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5
20. B C P M F O I E A D Câu 4 0.25 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên I·EA I·AE ; OAD cân tại O nên O· AD O· DA. 0,5 0,5 Mà I·AE O· DA nên I·EA O· AD . Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5 B C P M F O I E A D Câu 4 0.5 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên I·EA I·AE ; OAD cân tại O nên O· AD O· DA. 0,5 0,5 Mà I·AE O· DA nên I·EA O· AD . Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5
21. B C P M F O I E A D Câu 4 0.25 (3đ) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. 0,75 Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0,25 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. IEA cân tại I nên I·EA I·AE ; OAD cân tại O nên O· AD O· DA. 0,5 0,5 Mà I·AE O· DA nên I·EA O· AD . Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0,5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. 0,5 Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình.