Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1.  Sưu tầm và tổng hợp BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 Tài liệu sưu tầm
2. 1 Website: ĐỀ SỐ 1 – TRƯỜNG THCS PHÚ NHUẬN 2014-2015 Câu 1. (1,5 điểm) 2211 0,4 −+−0,25 + 2014 1) M = 9 11− 35 : 771  1,4−+1 −0,875+ 0,7 2015 9 116  2) Tìm x, biết x2+x−1=x2+2 Câu 2. (2,5 điểm) 1) Cho abc,,là ba số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện : abc+− bca+−cab+− == cab ba c Hãy tính giá trị của biểu thức B =1+1+ 1+ ac b 2) Ba lớp 7ABC ,7 ,7 cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp với tỉ lệ 5:6:7nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6nên có một lớp nhận nhiều hơn 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua Câu 3. (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=2x+2+2x−2013 với x là số nguyên. 2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x+ y+ z= xyz Câu 4. (3,0 điểm) Cho xAy = 600 có tia phân giác Az.Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh: a) K là trung điểm của AC b) ∆KMC là tam giác đều c) Cho BK= 2 cm,tính các cạnh của ∆AKM Câu 5. (1,0 điểm) abc Cho ba số dương 0 ≤abc≤≤≤1.Chứng minh rằng: ++≤2 bc+1ac +1 ab +1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3. 2 Website: ĐÁP ÁN Câu 1. 2211 0,4 −+−0,25 + 2014 1)M = 9 11− 3 5 : 771  1,4−+ 1−0,875+ 0,7 2015 9 11 6  222111111111  −+−+ 2−+ −+  59113452014 59 11345 2014 =−:=−: 777777 2015 11171112015 −+−+ 7−+.−+ 59 11 68 10 59 11 3345  222014 =−:=0 772015 2) Vì x2 +x−1>0nên (1) ⇒x2+x−1=x2+2⇒x−1=2 +Nếu x ≥1thì (*) ⇒x−12=⇒x= 3 +Nếu x<1⇒x−1=−2⇒x=−1 Câu 2. 1) +Nếu abc++≠0 , theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: abc+−bca +−cab+−abcbcacab +−++−++− === =1 cab abc++ abc+−bca +−cab +−ab +bc +ca + Mà +1=+1=+12=⇒===2 cabcab ba c ba+ca+ bc+ Vậy B =1+1+ 1+ =  =8 ac b ac b +Nếu abc++=0 , theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: abc+−bca +−cab+−abcbcacab +−++−++− === = 0 cab abc++ abc+−bca +−cab +− ab+bc +ca + Mà +1=+1=+11=⇒===1 cab cab ba c ba+ca + bc + Vậy B =1+1+ 1+ =. . =1 ac b ac b 2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là xx( ∈ *) Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7ABC ,7 ,7 lúc đầu lần lượt là abc,, TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4. 3 Website: abcabc++ x 5x6x7x Ta có: ===⇒a=;b=;c= (1) 5671818 18 18 18 Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là abc', ', ' , ta có: a'b'c'a'''+b+cx4 x5x6x ===⇒a'=;'b=;'c= (2) 45615 15 15 1515 So sánh (1) và (2)ta có: a>ab';= bc'; < c' nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu 6x7x Vậy c'− c =4 ⇒−=4⇒x=360(tm ) 15 18 Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói. Câu 3. 1) Ta có: A=2x+2+2x−2013=2 x+2+2013− 2x ≥2x+2+ 2013− 2x= 2015 2013 Dấu ""= xảy ra khi (2x+2)( 2013− 2x) ≥ 0⇔−1≤x≤ 2 Vậy MaxA = 2015khi x =−1 2) Vì xyz,,nguyên dương nên ta giả sử 1≤x≤yz≤ 1111113 Theo bài ra 1=++≤++=⇒x2 ≤3⇒x=1 yz yx zx x2x2x2x2 Thay vào đầu bài ta có: 1+yz+=yz⇒ y− yz+1+ z =0 ⇒y(1−z) −(1−z) +20= ⇔( y−1)( z−1) =2 Th1: y− 11=⇒ y = 2và z−12=⇒z= 3 Th2:y −12 =⇒y =3 và z−11=⇒z=2 Vậy có hai cặp nghiệm nguyên thỏa mãn (1, 2, 3) ;( 1, 3, 2 ) Câu 4. z x B t C K A H M y TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5. 4 Website: a) ∆ABC cân tại B do CAB = ACB(= MAC ) và BK là đường cao ⇒ BK là đường trung tuyến ⇒ K là trung điểm của AC b) ∆ABH=∆ BAK( cạnh huyền – góc nhọn) 11 ⇒BH= AK (hai cạnh tương ứng) mà AK= AC⇒ BH= AC 22 1 Ta có: BH= CM (tính chất đoạn chắn) mà CK=BH= AC⇒ CM=CK⇒∆MKC là 2 tam giác cân (1) Mặt khác: MCB = 900 và ACB=300⇒ MCK =600 (2) Từ (1) và (2) ⇒∆MKC là tam giác đều c) Vì ∆ABK vuông tại K mà KAB =300 ⇒ AB= 2 BK=2.2= 4 cm Vì ∆ABK vuông tại K nên theo pytago ta có: AK= AB2− BK 2=16− 4= 12 1 Mà KC= AC⇒ KC= AK =12 2 ∆KCM đều ⇒KC=KM =12 Theo phần b, AB= BC=4, AH= BK=2, HM= BC ( HBCM là hình chữ nhật) ⇒AM= AH+ HM =6 Câu 5. Vì 0≤abc≤≤≤1nên: 11 cc (a−1)(b−1) ≥0⇔ab+1≥ a+ b ⇔≤⇔≤ (1) ab+1 ab+ ab+1 a+ b aabb Tương tự: ≤(2); ≤(3) bc+1 bc+ac +1 a+ c abcabc Do đó: ++≤++ (4) bc+1ac +1 ab+1 bc+ac+a+ b abc2a2b2c2(abc++) Mà : ++≤++==2(5) bc+ac +ab+abc ++abc ++abc ++abc ++ abc Từ (4) và (5) suy ra : ++≤2(dfcm) bc+1 ac+1 ab +1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6. 5 Website: ĐỀ SỐ 2 – HUYỆN THANH CHƯƠNG 2018 - 2019 Bài 1. (2,0 điểm) a) Thực hiện phép tính: 3 24 −1, 2 : 1 .1, 25 1, 08−: 5 257 2 M =++0,6.0,5: 1 59 36 5 0,64 − 5− . 25 94 17 b) Cho N = 0,7.( 20072009 − 20131999 ). Chứng minh rằng N là một số nguyên Bài 2. (2,0 điểm) Tìm xy, biết: x−1−60 2x+13y−22x+3y−1 a)= b)== −15x−1 576x Bài 3. (2,0 điểm) Cho biểu thức : P=3x−3+2x+1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = 6 Bài 4. (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB kẻ hai tia Ax// By .Lấy hai điểm CE, và DF, lần lượt trên Ax, By sao cho AC= BDCE, = DF . Chứng minh: a) Ba điểm COD,, thẳng hàng, EOF,, thẳng hàng b) ED= CF Bài 5. (2,0 điểm) Tam giác ABC cân tại C và C =1000 ;BD là phân giác của B.Từ A kẻ tia Ax tạo với AB một góc 300 .Tia Ax cắt BD tại M, cắt BC tại E. BK là phân giác CBD , BK cắt Ax tại N a) Tính số đo ACM b) So sánh MN và CE. ĐÁP ÁN Bài 1. 3 24 −1, 2 : 1 .1, 251, 08−: 5 25 7 2 aM) =++0,6.0,5: 1 59 36 5 0,64 − 5− . 25 94 17 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7. 147 Website: b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ +n= aaa 1 Bài 3. (4 điểm) Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa số học sinh của lớp 3 1 1 7,A số học sinh của lớp 7A và số học sinh của lớp 7A đi thi học sinh giỏi cấp huyện 1 4 2 5 3 thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC có A=3B = 6C a) Tính số đo các góc của ∆ABC b) Kẻ AD⊥BC ( D∈ BC). Chứng minh : AD − 12813 ⇒(−5 ) >(−2) b) Ta có: n A =11n+2+ 122n+1=11 2 .11n+ 12.( 122) =121.11 n+ 12.144n =(133− 12) .11n+12.144 n= 133.11n− 12.11n+ 12.144n =133.11n+ 12.( 144n−11 n) Ta thấy : 133.11n  133 (144n− 11n)( 144− 11) = 133⇒ 12.( 144n− 11n) 133 Do đó suy ra 133.11n+12. ( 144n− 11n)chia hết cho 133 ++ Vậy: số A =11n2+ 122n1chia hết cho 133, với mọi n∈ Bài 2. TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8. 148 Website: 2012 a) Ta có 2012 là số tự nhiên chẵn ⇒(2xy−+7) ≥0 2013 Và x−3≥0⇒x−3≥0 2012 2013 2012 2013 Do đó, từ (2xy−+7) + x−3≤0suy ra: (2xy−+7) =0& x−3 =0 2xy−+70= x= 3 ⇒⇒ x−3= 0 y=13 nn( +1) b) Ta có: 1+ 2+ 3+ +n = và aaa= a.111= a .3.37 2 Do đó, từ 1+ 2+ 3+ +n= aaa⇒ n( n +1) =2.3.37a ⇒nn( +1) chia hết cho số nguyên tố 37 ⇒ n hoặc n +1chia hết cho 37 (1) nn( +1) Mặt khác: =aaa≤999⇒ n( n + 1) ≤1998⇒n < 45 (2) 2 Từ (1) và (2)⇒n =37 hoặc n +1= 37 37.38 Với n=37 ⇒aaa ==703(ktm) 2 36.37 Với n+1= 37 ⇒aaa ==666(tm ) 2 Vậy n = 36 và a = 6 Bài 3. Goi tổng số học sinh của 7A1 ,7A2 ,7A3lần lượt là abc,,( abc,,∈ *) 111 Theo bài ra ta có: a−ab=− bc=− c(*) và abc++=147 345 2a3b4c12a12 b 12cabc Từ (*)⇒==⇒==⇒== 34518 16 15 1816 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: abcabc++ 147 ===3⇒a=54,b= 48,c=45 18 16 15 18+ 16+ 15 49 Vậy tổng số học sinh của 7A1 ,7A2 ,7A3lần lượt là 54;48;45 Bài 4. TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9. 149 Website: A 1 2 C B D AB C A+B +C 1800 a) Từ A=3B =6C ⇒===200 621621++ 9 ⇒A=1200 ,B = 400 ,C = 200 Vậy A=1200 ,B = 400 ,C = 20 0 b) Trong ∆ACD có: 0 0 0 0 ADC=90 , C=20 ⇒A2= 70⇒A1= 50 Xét ∆ABD có B =400>C = 200⇒AB< AC⇒ AB2< AC 2(*) Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB, ADC có: AB2= AD2+ BD2và AC2= AD2+ CD2 Do đó, từ (*)⇒AD2+ BD2< AD2+ CD2⇒BD2< CD2⇒ BD< CD (2) Từ (1) và (2) ⇒AD< BD< CD Bài 5. A M I C B E N K a) Theo giả thiết, ta có: 2AB= AB+ AB=AB + AM+ BM AM+ AN= AM+AC + CN , ∆ABC cân ở A⇒AB= AC Do đó, từ AM+ AN=2 AB⇒ BM= CN TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10. 150 Website: b) Qua M kẻ ME// AC( E∈ BC) ∆ABC cân ở A⇒∆BME cân ở M⇒EM= BM= CN ⇒∆MEI=∆NCIgcg ( )⇒IM =IN Vậy BC đi qua trung điểm của MN c) K thuộc đường trung trực của MN⇒ KM=KN(1) ∆ABK=∆ ACKcgc( ) ⇒ KB= KC(2); ABK= ACK(*) Kết quả chứng minh câu a: BM= CN(3) Từ (1,2,3) ( ) ( ) ⇒∆BMK=∆ CNK( c− c− c) ⇒ ABK= NCK ( ) 1800 Từ (*) và ( )⇒ ACK= NCK ==900 ⇒KC⊥AN 2 ĐỀ SỐ 47 Bài 1. (4,0 điểm) 123499 100 3 Cho biểu thức : C =−+−+ +− . Chứng minh rằng: C < 3323334 3993 100 16 Bài 2. (5,0 điểm) Câu 1: Tìm xyz,,biết: 3x=4y=5z−3x−4yvà 2xy+=z−38 a2+ b2ab Câu 2: Cho tỉ lệ thức: = với abcd,,,≠ 0 và c≠−d c2+ d2cd ac ad Chứng minh rằng: = hoặc = bd bc Bài 3. (3,0 điểm) Câu 1: Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có: +++ 4n3+4n2−4n1−4nchia hết cho 300 27− 2x Câu 2: Cho Q = . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ? 12 − x Bài 4. (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 22 H=(3x−2y) −(4y−6x) −xy −24 Bài 5. (5,0 điểm) Cho ∆ABC nhọn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD= AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE= AC. 1) Chứng minh rằng: BE= CD 2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H. Chứng minh MA⊥ BC 3) Nếu AB=c , AC= b, BC= a.hãy tính độ dài đoạn HC theo abc,, TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11. 151 Website: ĐÁP ÁN Bài 1. 123499100  23499 100 Biến đổi : 3C =3.−+−+ +−=1−+−+ +− 3323334 3993 100 33233 3983 99 Ta có:  23499 1001 23499 100  3C+C=1−+−+ +−+−+−+ +−   33233 3983 99 3323334 3993 100  −213243 100 99100 4C =1+++−+−++ +−+− 333232 3232 3993 993 100 1111100 4C =1−+−+ −− 33233 3993 100 1111 Đặt D =1−+−+ − 33233 399 1111111 Ta có: 3D =3. 1−+−+ −= 31−+−+ − 33233 399 332 398  111 1111 Khi đó: 3D+D=31−+−+ −+ 1−+−+ −  332 398  33233 399  1111111 4D =31−+−+ −+ 1−+−+ − 332 398 33233 399 111111 1 4D =3+(−1+ 1) +−+−++ +−+− 333232 3983 983 99 131 4D=3−⇒D=− 399 44.399 31100 31100 Nên ta có: 4C=−−⇒4C=−− 44.399 3 100 44.399 3 100 13 1100 3125 ⇒C =.−−=−− 444.399 3 100 16 42 .399 3 100 3125  C =−+ 16 42 .3993 100  125 3125 3 3 Ta có: +>0 nên −+<. Vậy C < 42 .399 3 100 16 42 .399 3 100 16 16 Bài 2. 1) Ta có: 2xy+=z−38⇒ 2xyz+−=−38 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12. 152 Website: xzxz Vì 3x=4y=5z−3x−4y⇒3x=5z−3x−3x⇒9x=5z⇒=⇒=(1) 5920 36 xyxy Vì 3x=4y⇒=⇒= (2) 4320 15 xyz Từ (1) và (2) suy ra == 20 15 36 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x =−2.20=− 40 xyz2xyz+−−38  === ==−2 ⇒y =−2.15=− 30 20 15 36 40+ 15− 36 19  z =−2.36=− 72 Vậy x=−40;y=−30; z=− 72 a2+ b2ab a2+ b22ab 2) Ta có: = nên = c2+ d2cd c2+ d22cd Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a2+b22aba 2+b2+2ab a2+b2−2ab == = c2+d22cdc 2+d2+2cd c2+d2−2cd 22 (a2+ab) +( b2+ab) ( a2−ab) +( b2−ab) (ab+) (ab −) = = =2= 2 (c2+cd) +( d2+cd) ( c2−cd) +( d2−cd ) (cd+) ( cd−) 22 ab+ab − ab+ab− ab+ba − =⇒= = cd+ cd− cd+cd− cd+cd− Suy ra hoặc: ab+ab− +Với = thì (abcd+)( −) =( abcd−)( +) cd+cd− ac ⇒ac− ad+ bc− bd=ac + ad− bc− bd⇒ ab= bc ⇒= bd ab+ba − +Với = thì (abcd+)( −) =(bacd −)( +) cd+cd− ad ⇒ac− ad+ bc− bd=bc + bd− ac− ad⇒ ac= bd ⇒= bc a2+ b2ab ac ad Vậy nếu =(abcd,,,≠0;c ≠−d) ⇒= hoặc = c2+ d2cd bd bc Bài 3. 1) Với mọi n nguyên dương, ta có: TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13. 153 Website: 4n+3+4n+2−4n+1−4n=4.n( 43+ 42−4− 1) =4n .75= 4n−1 .4.75= 300.4n−1 Mà 300.4n−1 chia hết cho 300 (với mọi n nguyên dương) +++ Nên 4n3+4n2−4n1−4nchia hết cho 300. 2) Điều kiện: x∈ ,x≠12 27− 2x 2.( 12−x) + 3 3 Biến đổi: Q == =2 + 12−x 12 −x12 −x 3 Ta có: 2∈ ;x∈ ;x≠12nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi ∈ 12 − x 3 Mà ∈ ⇔12−xU∈ (3)={− 3;− 1;1;3} ⇒x∈{15;13;11;9 } 12 − x Vậy Q nguyên khi và chỉ khi x∈{15;13;11;9} Bài 4. Ta có: 22 H=(3x−2y) −(4y−6x) −xy −24 22 22 =(3x−2y) −4.( 2y− 3x) −xy−24=(3 x −2y) −4.( 3x− 2y) −xy−24 =−−2=− −2+− 3.( 3x2 y) 3.( 3x 2y) xy24 ] 2 Ta có: 3.( 3x− 2y) ≥0∀xyxy,;−24≥ 0∀xy , 2 Do đó: 3.( 3x− 2y) +xy −24≥ 0∀x, y −−2 +−≤∀ Nên 3.( 3x2 y) xy 24 0x, y Hay H ≤ 0 Dấu ""= xảy ra khi và chỉ khi : 3x−2y=0và xy −24= 0(1) xy Với 3x−2y=0⇒3x=2y⇒= 23 xy Đặt ==k⇒x=2;ky= 3k 23 k = 2 Thay x=2,ky= 3 kvào (1) ta được: 2kk .3− 24= 0 ⇔ k =−2 x =2.2= 4 x =−4 Với k =2 ⇒  ; với k =−2 ⇒ x =3.2= 6 y =−6 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14. 154 Website: x=4;y= 6 Vậy giá trị lớn nhất của H là 0 ⇔  x=−4;y=−6 Bài 5. N E M D F A I K B H C 1) Ta có: DAC = DAB + BAC (vì tia AB nằm giữa hai tia AD, AC) Mà BAD = 900 (Vì AB⊥ AD tại A) nên DAC =900 + BAC (1) Ta có: BAE = CAE + BAC (vì tia AC nằm giữa hai tia AB, AE) Mà CAE = 900 (Vì AE⊥ AC tại A) nên BAE =900 + BAC (2) Từ (1) và (2) suy ra BAE = DAC Xét ∆ABE và ∆ADC có: AB= AD( gt ); BAE = DAC ( cmt); AE= AC() gt Do đó ∆ABE=∆ADC ( ) c g c⇒ BE= CD (hai cạnh tương ứng) 2) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm AN Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F Xét ∆MAE và ∆MDN có: MN= MA( vẽ thêm); AME= DMN ( cmt); ME= MD () gt ⇒∆MAE=∆MND ( ) c g c Suy ra AE= DN và NDM = MEA Mà NDM và MEA ở vị trí so le trong nên AE// DN⇒ ADN+ DAE =1800 ( trong cùng phía) (3) TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15. 155 Website: Ta lại có : DAE + DAB + BAC + EAC =3600 Hay DAE + BAC =1800 (do DAB = EAC =900 ) (4) Từ (3) và (4) ⇒ ADN= BAC Ta có: AE= DN( cmt); AE= AC () gt nên AC= DN Xét ∆ABC và ∆DAN có: AB= AD( gt ); ADN= BAC ( cmt); AC= DN( cmt) ⇒∆ABC=∆ DAN( ) c g c ⇒DNA = ACB hay DNF = ACB Ta có: DAF + BAD +BAH =1800 ( FAH , , thẳng hàng) Hay DAF +BAH =900( Do BAD = 900) (5) Trong ∆ADF vuông tại F có FDA + DAF =900 ( hai góc phụ nhau) (6) Từ (5), (6) ⇒FDA = BAH Ta có: ADN= NDF + FDA (vì tia DF nằm giữa hia tia DA, DN) BAC = HAC + BAH (vì tia AH nằm giữa hai tia AB, AC) Mà ADN= BAC ; FDA = BAH ( cmt)nên NDF = HAC Xét ∆AHC và ∆DFN có: NDF = HAC ( cmt); AC= DN( cmt); DNF = ACB( cmt) ⇒∆AHC=∆ DFN( g c g )⇒ DFN = AHC mà DFN = 900 (vì DE⊥ MA tại F) Nên AHC=900 ⇒MA ⊥ BC tại H ( dfcm) 3) MA⊥ BC tại H nên ∆AHB,∆ AHC vuông tại H Đặt HC=x⇒HB=a− x (vì H nằm giữa B và C) Áp dụng định lý Pytago cho 2 tam giác vuông AHB, AHC ta có: AH2= AB2− BH 2và AH2= AC2− CH 2 2 ⇒AB2−BH 2=AC 2− CH2⇒ c2−(ax−) = b2−x2 a2+b2−c2 Từ đó tìm được: HC=x = 2a ĐỀ SỐ 48 – TRƯỜNG THCS HƯƠNG ĐIỀN 2017-2018 Câu 1. Rút gọn biểu thức: aa) +aba) −ac)3( x−1 ) −2x−3 1111 Câu 2. Chứng minh: +++ +< 1 223242 20052 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16. 156 Website: Câu 3. Biết rằng : 12+22+32+ + 102=385. Tính tổng: S =22+42+ + 202 Câu 4. Cho tam giác ABC,trung tuyến AM.Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM , BI cắt cạnh AC tại D a) Chứng minh AC= 3 AD 1 b) Chứng minh: ID= BD 4 Câu 5. Tìm các số abc,,biết rằng: ab= c, bc=4, a ac= 9 b ĐÁP ÁN Câu 1. a) Với a≥0⇒a+a=2a Với a<0⇒a+a=0 b) Với a≥0⇒a−a=aa−=0 Với a<0⇒a−a=−aa−=−2 a c) Với x+30≥⇒x≥−3 Ta có: 3( x−1) −2x+3=3( x−1) −2( x+3) =x−9 Với x+30<⇒x<−3 3( x−1) −2x+3=3( x−1) +2( x+3) =5x+3 Câu 2. Ta có: 1111 <=− 22 1.2 1 2 1111 <=− 32 2.3 23 . . . 1111 <=− 20052 2004.2005 20042005 1111111111 ⇒+++ +<−+−+ +− 223242 2005212 2320042005 11111 ⇔+++ +<1 − 223242 20052 2005 1111 ⇔+++ +<1( dfcm ) 223242 20052 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17. 157 Website: Câu 3. 222 S =(2.1) +( 2.2) + +( 2.10) Ta có : =22 .12+ 22 .22+ + 22 .102= 2.12( 2+ 22+ + 102) = 22 .385= 1540 Câu 4. A D I E B M C a) Gọi E là trung điểm CD trong tam giác BCD nên ME là đường trung bình ⇒ ME//BD. Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM() gt mà ID//ME() gt Nên D là trung điểm của AE⇒ AD= DE (1) Vì E là trung điểm của DC⇒DE=EC (2) So sánh (1) và (2) ⇒AD= DE= EC⇒ AC=3 AD 1 b) Trong tam giác MAE, ID là đường trung bình (theo a)⇒ID=ME(1) 2 1 Trong ∆BCD, ME là đường trung bình ⇒ME=BD(2) 2 1 Từ (1) và (2) ⇒ID=BD. 4 Câu 5. 2 Nhân từng vế bất đẳng thức ta được: (abc) = 36 abc Nếu 1 trong 3 số bằng 0 thì hai số còn lại bằng 0 Nếu cả 3 số abc,,khác 0 thì chia 2 vế cho abc ta được abc = 36 Từ abc = 36 và ab= c⇒c 2 =6⇒c=6;c =−6 Từ abc = 36và bc=4a ⇒4a2=36⇒a2=9 ⇒a=3,a =−3 Từ abc=36, ab= 9 b⇒9b2 =36⇒b= 2,b =− 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18. 158 Website: a=3,b= 2 -Nếu c = 6thì ⇒  a=−3,b=−2 a=3,b=−2 Nếu c =−6 ⇒ a=−3,b=−2 Vậy (abc,,) ={(0;0;0) ;( 3;2;6) ;( 3;− 2;6) ;( 3;− 2;− 6) ;(− 3;2;− 6)} ĐỀ SỐ 49 – HUYỆN ANH SƠN 2016-2017 Bài 1. (2,0 điểm) Tính hợp lý các biểu thức sau: 15 15 134 22 .10+ 23 .6 a)27 .−13 . b) 2 −+ c) 4848 249 22 .15− 24 Bài 2. (2,5 điểm) Tìm x biết: 21 75 a)3( x−2) +=4bx)+−57= c)2 ( x−1) =(2x−1) 53 Bài 3. (1,5 điểm) Ba đội cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là 2 giờ, 3 giờ, 4 giờ. Tính số người tham gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số người của đội thứ bâ ít hơn số người của đội thứ hai là 5 người. Bài 4. (3,5 điểm) AB 3 Cho tam giác ABC vuông tại Avới = và BC=15 cm .Tia phân giác góc C AC 4 cắt AB tại D. Kẻ DE⊥ BC( E∈ BC). a) Chứng minh AC= CE b) Tính độ dài AB, AC c) Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF= AC.Kẻ tia Fx⊥ FA cắt tia DE tại M. Tính DCM Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=x−x−2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19. 159 Website: ĐÁP ÁN Bài 1. 15 155 11535 a)27 .−13 .= . 27−13 = 14. = 4848 8 4484 13412127 b)2 −+=2 +=+= 24943236 22 .10+ 23 .6 23 .5+ 23 .6 2.3 ( 5+ 6) 2.11 c)== == 2 22 .15− 242 2 .15− 2422 .( 15− 22) 11 Bài 2. 2 2 18 a)3( x−2) +=4⇒3( x−2) =4−⇒3( x−2) = 555 66 ⇒x−2=⇒x=2 55 1 35 x+=12 x= 1133 bx)+−57=⇒x+= 12 ⇒⇒ 331 37 x+=−12 x=− 33 −7=−5⇒−5−2−= c)2( x1) (2x1) (2x1.2) ( x1) 10  1 2x −10= x =  2   ⇔2x −11= ⇔  x = 0 2x −1=−1 x =1 Bài 3. Gọi số người tham gia làm việc của đội 1, đội 2, đội 3 lần lượt là xyz,,(giờ) ĐK: xyz,,> 0 Cùng một khối lượng công việc, số người tham gia và thời gian làm việc tỉ lệ nghịch. Theo bài ra ta có: 2x=3y= 4zvà yz−=5 yzyz− 5 ===60⇒y=20, z= 15,x= 30 11111 − 343412 Vậy số người tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là 30 người, 20 người, 15 người. Bài 4. TÀI LIỆU TOÁN HỌC
20. 160 Website: A D C B E F M K a) Chứng minh được ∆ACD=∆ ECDch(− gn)⇒ AC= CE AB3 AB AC b)=()gt ⇒= AC 434 AB2 AC2 AB2+ AC2 BC 2152 ⇔===9 916 9+ 16 25 25 ⇒AB2 =9.9= 81⇒AB= 9 cm AC 2 =9.16= 144⇒AC= 12 cm c) Kẻ Cy⊥ Fx cắt nhau tại K Ta thấy AC= AF=FK = CK= CE và ACK = 900 Chứng minh được ∆CEM=∆ CKM( ch− cgv)⇒ ECM = KCM (2 góc tương ứng) 11 Mà DCM = DCE + ECM = ACK =.900= 450 22 Bài 5. Xét các trường hợp: +Th1: x≥ 2⇒A =x−( x −2) =2 +Th2:0≤x <2 ⇒A=xx+−22=x −2< 2 +Th3:x <0 ⇒A=−x+ x −2=−2< 0 ⇒ Với mọi giá trị của x thì A ≤ 2 Vậy giá trị lớn nhất của Abằng 2 khi x ≥ 2 ĐỀ SỐ 50 Bài 1. (1,5 điểm) So sánh hợp lý: 200 1000 1  1  a)và  16  2  27 39 b)(− 32) và (−18) TÀI LIỆU TOÁN HỌC
21. 161 Website: Bài 2. (1,5 điểm) Tìm x, biết: 4 a)2( x− 1) =16 46 b)2( x+1) =(2x+1) cx)+38−=20 Bài 3. (1,5 điểm) Tìm các số xyz,,biết: 2006 2008 2010 a)3( x− 5) +( y2 −1) +( xz−) =0 xyz b) == và x2+y2+z2=116 234 Bài 4. (1,5 điểm) Cho đa thức A=11xyz432+20 x 2 yz−( 4 xy2 z−10 x2 yz+ 3 xyz432) −(2008 xyz2+ 8 x4 y32 z ) a) Xác định bậc của A b) Tính giá trị của Anếu 15x− 2y=1004z Bài 5. (1 điểm) Cho xyzt,,,∈ * xyzt Chứng minh rằng: M =+++có giá trị không phải xyz++xyt++yzt ++ xzt++ là số tự nhiên. Bài 6. (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC.Lấy điểm D bất kỳ thuộc cạnh BC.H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH= AI b) BH2+ CI 2có giá trị không đổi c) Đường thẳng DN vuông góc với AC. d) IM là phân giác của HIC ĐÁP ÁN Bài 1. 200 4.200 800 1000 1111 a)==>  16 222  27 b)3227=( 2 5) =2135 − 18 39 ⇒(−32 ) >(− 18) Bài 2. TÀI LIỆU TOÁN HỌC
22. 162 Website: a) Tính đúng x=1,5;x=−0,5 b) Tính đúng x=−0,5;x=0; x=−15 x+3− 8= 20x+3 =28 cx)+38−=20 ⇒⇔ x +38−=−20x+ 3=−12(VN)  x+3= 28x=25 ⇔⇔ x+3=−28x=−31 Bài 3. 2006 2008 2100 a)3( x− 5) +( y2 −1) +( xz−) =0  5 x = 3x −50=  3   ⇒y2 −10=⇒y=± 1 xz−=0  xz=    5555 Vậy ( xyz;;)∈;− 1;; ;1;  3333 x2y2z2x2+y2+z2116 ⇒===4 4916 4+ 9+ 1629 b) Từ giả thiết x=4;y=6; z= 8 ⇒  x=−4;y=−6; z=−8 Bài 4. a) A=30x2 yz− 4 xy2 z−2008 xyz2⇒ A có bậc 4 b) A=2xyz(15 x− 2y−1004z) ⇒A = 0nếu 15x− 2y=1004 Bài 5. Ta có: xxxyyy <<; << xyzt+++ xyz++xy +xyzt +++xyt ++xy+ zzzttt <<; << xyzt+++ yzt++ztxyzt ++++xzt ++zt + xyzt+++  xyzt ⇒<M <+++  xyzt+++ xy+xy+zt + zt+ ⇒1<M <2 Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên. Bài 6. TÀI LIỆU TOÁN HỌC
23. 163 Website: B H D M I N A C a) ∆AIC=∆ BHA⇒ BH= AI b) BH2+ CI2= BH2+ AH2= AB2 c) AM, CI là hai đường cao cắt nhau tại N⇒ Nlà trực tâm ⇒DN⊥AC d) ∆BHM=∆ AIM⇒HM =MI và BHM = IMA Mà IMA + BMI =900⇒BMH +BMI =900 ⇒∆HMI vuông cân ⇒HIM =450 Mà : HIC =900⇒HIM =MIC =450⇒IM là phân giác HIC TÀI LIỆU TOÁN HỌC