Bộ đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7

1. UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GD&ĐT CẤU TRÚC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Môn: TOÁN - Lớp 7 – Thời gian làm bài: 150 phút Câu Nội dung Điểm 1 Tính toán trên tập R. Lũy thừa với số mũ nguyên. Giá trị tuyệt đối của 4 điểm một số thực. - Tính giá trị của biểu thức. - Tính tổng dãy số theo quy luật. - So sánh các số. 2 1. Tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau. 2 điểm - Dạng toán về tỉ lệ thức (tìm các thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức, chứng minh tỉ lệ thức ). - Dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch. - Dạng toán có lời văn, bài toán có liên quan đến thực tế 2. Toán Tìm x 2 điểm - Các dạng bài toán tìm x (có chứa dấu giá trị tuyệt đối, lũy thừa, tìm số nguyên x, y ) 3 1. Biểu thức đại số, nghiệm của đa thức, giá trị biểu thức đại số 4 điểm - Tính giá trị của biểu thức đại số. - Thu gọn đơn thức, đa thức; tìm bậc, hệ số của đa thức. - Tìm nghiệm/nghiệm nguyên của đa thức 2. Số học - Phép chia hết và phép chia có dư, ước và bội, chữ số tận cùng của một số -Số nguyên tố, hợp số, số chính phương - Phương trình nghiệm nguyên 3. Tổ hợp, xác suất - Bài toán tổ hợp (công thức cộng, công thức nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) ở mức độ đơn giản. - Xác suất của biến cố ngẫu nhiên (mức độ đơn giản) 4 1. Đường thẳng vuông góc, đường thẳng song song. Tam giác, quan hệ 4 điểm giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy trong tam giác. - Tính số đo góc, tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song, trùng nhau. - Các bài tập về các góc ở vị trí đặc biệt và tia phân giác một góc. - Chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. - Chứng minh một tam giác là tam giác đặc biệt: cân, vuông, đều. - Vẽ thêm đường phụ, hình phụ. - So sánh độ dài các đoạn thẳng. - Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học. - Chứng minh một đường là đường đặc biệt của tam giác, chứng minh các quan hệ hình học khác. - Chứng minh điểm thuộc đường thẳng, các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy.
2. - Bài toán giải quyết vấn đề thực tiễn liên quan đến ứng dụng của hình học 2. Hình học trực quan 2 điểm - Tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, hình lập phương. Các bài toán về tỉ số diện tích xung quanh, thể tích - Tính diện tích đáy, chiều cao - Các bài toán thực tế về hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác (chú trọng bài toán về thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần .) 5 - Chứng minh bất đẳng thức. 2 điểm - Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức. - Chia tỉ lệ - Nguyên lí Dirichlet - Các bài toán suy luận Ghi chú: 1. Trong một câu không nhất thiết phải ra hết các nội dung quy định. 2. Đề thi và hướng dẫn chấm được gõ trên phông chữ Times New Roman cỡ chữ 12 (hoặc 13), Công thức toán học và các chữ kí hiệu hình học được gõ trong Mathtype. 3. Hình vẽ được vẽ trên các phần mềm vẽ hình như Geogebra, GSP 4. Hướng dẫn chấm được trình bầy chi tiết và chia nhỏ đến 0,25. 5. Đây là cấu trúc đề thi để nộp cho ngân hàng đề thi HSG lớp 7 cấp huyện, còn đề chính thức khi thi HSG huyện thì HĐ ra đề có thể ra số lượng câu hỏi phù hợp– thang điểm 20/20.
3. UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút ĐỀ THAM KH ẢO Đề thi gồm 05 câu, trong 02 trang Câu 1. (4,0 điểm): 1. Thực hiện các phép tính sau: 0 7 2 4 1311322 4 .9549 2 .6 a) b) c) 11 23 1088 9 2 5 353523 2 .3 6 .2 0 111111111 2. Cho biểu thức: A  2345678910222222222 Chứng tỏ rằng A 1. Câu 2. (4,0 điểm): 1. Tìm các số x, y thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 4 x 5 y và x –22 y 1 . 2. Tìm x biết: 2024x1011x21012x3 Câu 3. (4,0 điểm): 1. Cho đa thức A x x x x 2399100 x x. a) Chứng minh rằng x 1 là nghiệm của đa thức Ax . 1 b) Tính giá trị của đa thức Ax tại x 2 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: 2xy x 2y 4. 3. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 3 con chíp được đánh số 1 ,2,3 . Lấy ngẫu nhiên một con chíp ở mỗi hộp, sau đó lấy tích hai số được đánh ở những con chíp đó. Xác suất để tích đó chẵn là bao nhiêu? Câu 4. (6,0 điểm): 1. Cho tam giác A B C vuông tại A . Tia phân giác của ABC cắt AC tại D,tia phân giác của ACB cắt AB tại E. Kẻ DH vuông góc với BC tại H, E K vuông góc với BC tại K. a) Chứ ng minh rằng BA BH và BD  AH. b) Chứng minh AB AC BC HK. c) Tính số đo góc H A K . 2. Hình bên mô tả một xe chở cát hai bánh mà thùng chứa của nó có dạng lăng trụ đứng tam giác với các kích thước đã cho trên hình. Hỏi thùng chứa của xe chở cát hai bánh đó có thể tích bằng bao nhiêu? Câu 5. (2,0 điểm): 1. Trên bảng có viết các số từ 1 đến 2021. Nam chọn xóa đi hai số bất kì trong các số trên bảng và ghi lên bảng một số đúng bằng hiệu của hai số đó. Bạn ấy thực hiện hành động ấy cho tới khi chỉ còn đúng một số trên bảng. a) Nam đã thực hiện bao nhiêu lần hành động đó? b) Hỏi Nam có thể nhận được số cuối cùng là số 2 hay không? Vì sao?
4. xzt y 2. Cho biểu thức M với x, y, z, t là các số tự xyzxytyztxzt nhiên khác 0. Chứng minh M10 1 0 2 5 . UBND HUYỆN NHO QUAN HDC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút Câu Nội dung Điểm Câu 1 1. (3,0 điểm) (4,0 7 24 16 1 0,5 điểm) 11 9 25 9 25 412 0 3 2 3 0,5 35 5 5 1 5 0 0,5 1311322 b)23 353523 703113 1 3535 701133 0,5 1232122 3355 54 22 9 0,5 4549 .92.6 2. 32. 2.3 c) 10888 2 .36 .20 21082 .32.3. 2 .5 108 2108109 .32 .321 2 .313 0,5 2108108108 .32 .3 .52 .315 63 2. (1,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 11111111 0,25 A 122334910 1 0,25 A1 10 9 0,25 A1 10 Vậy A < 1 Câu 2 1. (2,0 điểm) (4,0 2 2 2 2 0,5 xxxyyy điểm) Từ 4x = 5y 54542516 x12 y2 x 2 y 2 0,5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 25 16 25 16 9
5. a. Vì A M A B và A N A C M A C B A N (cùng bằng 90 BAC ). Xét A MC và ABN có: AM AB (gt); A N A C (gt); M A C B A N AMCABN (cạnh-góc-cạnh). b. Gọi D và E lần lượt là giao điểm của MC với AB và BN . A M C A B N A M C A B N hay A M D E B D , mà A D M E D B (đối đỉnh) AMDADMEBDEDB . ADM vuông tại A AMDADM 90 EBDEDB 90 DEB 90 . Vậy BNCM . c. Kẻ MK AH tại K ; NGAH tại G . Gọi I là giao điểm của MN và AH . AKM vuông tại K AMKMAK 90 . MAB 90 BAHMAK 90 AMKBAH . Xét AMK vuông tại K và BAH vuông tại H có: AMAB (gt); AMKBAH AMK BAH (cạnh huyền-góc nhọn) MKAH 3 . Chứng minh tương tự: ANG CAH NG AH 4 . Từ 3 và 4 MKNG . Do MKAH ; NGAH MKNG// IMKING (so le trong). Xét IMK vuông tại K và ING vuông tại G có: MK NG ; IMKING IMKING (cạnh góc vuông – góc nhọn kề) IMIN . Vậy AH đi qua trung điểm của MN . Bài 5: Cho các số thực dương a và b thỏa mãn a100 b 100 a 101 b 101 a 102 b 102 . Hãy tính giá trị của biểu thức P a2014 b 2015 . Lời giải Ta có: a100 b 100 a 101 b 101 a100 a 101 b 101 b 100 a100 11 a b 100 b 5 . Lại có: a101 b 101 a 102 b 102 a101 a 102 b 102 b 101 a101 11 a b 101 b 6 .
6. Từ 5 và 6 aaa101100100 aaabb1.11 abbbb100101 11 abbbb100101 110 bbab100 10 . b 10 b 1 Mà b là các số thực dương . ab 0 ab Trường hợp 1: Nếu b 1 b 10 aa 100 10 10 a (vì a 0 ) a 1. Trường hợp 2: Nếu ab 22aa100101 aa100101 a 1 (vì a 0 ) Do đó: ab 1. Vậy P 1 1 2 . = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
7. PHÒNG GD -ĐT KIẾN XƯƠNG KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2021-2022 (Đề thi này gồm 01 trang) Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm) 1. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý 16.3120.63109 a. A 4.3661212 422332 b. B :: 753753 2. Tính giá trị biểu thức Cxxxxxx 141312112101010 101010 khi x 9 Bài 2: (4,0 điểm) 2 1. Tìm các số x,, y z thỏa mãn: 23450xyyz và x y z 33 2. Cho đa thức fxbx =ax22 . Xác định hệ số ab, biết đa thức fx nhận x và x 2 làm nghiệm. Bài 3: (5,0 điểm) 25x 1. Tìm số nguyên x , để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên x 1 2. Tìm x , biết: 1133 a) 1.1,6x 2245 nn 2 b) xx 330 ( với n là số tự nhiên) Bài 4: (5,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC , điểm thuộc đoạn BM ( D khác B và M ). Kẻ các đường thẳng BH CI, lần lượt vuông với đường thẳng AD tại H và I . Chứng minh rằng: a. BHAI . b. BAMACM c. Tam giác M H I vuông cân 3 8 15n2 1 Bài 5: (1,0 điểm) Cho S ( với nN và n 1) n 4 9 16 n2 Chứng minh rằng Sn không là số nguyên. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang)
8. HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO NĂM HỌC: 2021-2022 Môn: Toán 7 Bài 1: (4,0 điểm) 1. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý 16.3120.63109 a. A 4.3661212 422332 b. B :: 753753 141312112 2. Tính giá trị biểu thức Cxxxxxx 101010 101010 khi x 9 Lời giải 1. 16.3120.63109 A 4.3661212 3 24 .3 10 2 3 .3.5. 2.3 9 6 22 .3 12 2.3 12 2.32.3.512101210 2.32.312121212 21210 .315 212101211 .3 .62 .3 .21 2121212121212 .3 .22 .3 .22 .3 .23 422332 B :: 753753 42332 : 75753 432322 :0:0 773533 141312112 2. Cxxxxxx 101010 101010 khi x 9 Với x 9 thì 101 x Khi đó Cxxxxxxx 14 1 13 1 12 1 11 xxxxx 1 2 1 1 xxxxxxxxxxxx14 14 13 13 12 12 113 1 2 1 2 Vậy C 1 khi x 9 Bài 2: (4,0 điểm) 2 1. Tìm các số xyz,,thỏa mãn: 23450xyyz và xyz 33 2. Cho đa thức f x =ax2 bx 2 . Xác định hệ số ab, biết đa thức fx nhận x 1 và x 2 làm nghiệm.
9. Lời giải 1. Lập luận được từ gỉa thiết suy ra 23xy và 45yz xy xy Do: 23xy . Suy ra hay 32 15 10 yz yz 45yz . Suy ra hay 54 10 8 xyzxyz 33 1 151081510833 Từ đó học sinh tính được : xyz 15;10;8 2. Đa thức f x ax2 bx 2 nhận x 1 làm nghiệm f 1 0 a b 2 0 hay ab 2 Đa thức fxbx =ax22 nhận x 2 làm nghiệm. fab 204220 4 b 2 2 b 2 0 b 1 a 1. Vậy ab 1; 1 Bài 3: (5,0 điểm) 25x 1. Tìm số nguyên x , để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên x 1 2. Tìm x , biết: 1133 a) 1.1,6x 2245 nn 2 b) xx 330 ( với n là số tự nhiên) Lời giải 253x 21 x 1. Ta có A 2 ( với x ≠1) xxx 111 3 Do 2 Z nên để A nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên x 1 3 Lại do xZ nên nhận giá trị nguyên khi 31 x x 1 Hay x 1 là U 33;1;1;3  Nếu không lập luận xZ trừ 0,25 Suy ra x 2;0;2;4 thỏa mãn xZ Vậy x 2;0;2;4 1 1 3 3 3 1 3 8 3 2. a) 1 .xx 1,6 . 2 2 4 5 2 2 4 5 5 313 .1x 224 3 1 1 1 1 2 1 1 x x x 2 2 4 2 4 3 2 6
10. 2 1 x hoặc x . 3 3 2 1 Vậy x ; x 3 3 b) xxxx 3303130nnn 22 n x 30 x 30 x 31 2 130 x x 31 x 3 x 4 x 2 Bài 4: (5,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC , điểm thuộc đoạn BM ( D khác B và M ). Kẻ các đường thẳng BH CI, lần lượt vuông với đường thẳng AD tại H và I . Chứng minh rằng: a. BH AI . b. B A M A C M c. Tam giác M H I vuông cân Lời giải A I B D M C H a) Chứng minh: BHAI + Chỉ ra BAH ACI ( cùng phụ DAC ) + Chứng minh được ACIBHA ( cạnh huyền – góc nhọn) BHAI ( 2 cạnh tương ứng) b) Chứng minh BAMACM Chứng minh được: ABM ACM (c.c.c) Lập luận được: BAM CAM 45 Tính ra được ACM 45 BAM ACM
11. c) Tam giác M H I vuông cân Chứng minh được A M B C Chứng minh được A M M C Chứng minh được H A M I C M Chứng minh được H A M I C M (c.g.c) H M M I (*) Do HAMICMHAMIMCHMBIMA ( do AMBAMC 90 ) Lập luận được: H M I 90 ( ) Từ (*) và ( ) MH I vuông cân 38151 n2 Bài 5: (1,0 điểm) Cho S ( với nN và n 1) n 4916 n2 Chứng minh rằng Sn không là số nguyên. Lời giải 111 Có S 11 1 n 23222 n 111 n 1 222 23 n 111 Đặt A 23222 n Do A 0 nên Snn 1 1 1 1 1 Mặt khác A 1 1.2 2.3 n 1 . n n 11 1 Snnnn 1122 ( do 0 ) nn n nSn21n nên Sn không là số nguyên = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
12. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN YÊN BÌNH Năm học 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán 7 (Đề thi gồm: 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/11/2022 Câu 1: (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức: 111333 4 .9549 2 .6 0,6 a) A = b) B = 971125125625 1088 444444 2 .3 6 .2 0 0,16 97115125625 1111 c) C = 111 1 4916400 Câu 2: (6,0 điểm) Tìm x biết: 3 xx 2 a) x 1 12 5 c) 2 2 9 6 53 b) 215215xx d) xxxx 23 20222022.2023 Câu 3: (3,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Axx 265 b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6. A x Câu 4: (3,0 điểm) 35 o Trong hình bên, cho Ax // By; Biết A = 35o và O = 80o. Tính 80o O góc B. ? y Câu 5: (3,0 điểm) B Một ngôi nhà có các kích thước như hình vẽ. a) Tính thể tích phần không gian được giới hạn bởi ngôi nhà. b) Hỏi phải dùng bao nhiêu lít sơn để sơn phủ được mặt ngoài ngôi nhà? Biết rằng 1 lít sơn bao phủ được 8 m2 tường (không sơn cửa) và tổng diện tích các cửa là 25 m2. Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2:
13. PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN BÌNH Môn: Toán - lớp 7 Năm học 2022-2023 Câu Hướng dẫn Điểm 549 108 4 .9 2 .6 2.32.321108109 2.313 a) Ta có: A = 1088 108108108 1,5 1 2 .3 6 .2 0 2.32.3 .52.31563 (4,5) b) 1 1 1 3 3 3 0,6 13 9 7 11 25 125 625 1 Ta có: B = 4 4 4 4 4 4 = 0,16 44 1,5 9 7 11 5 125 625 c) 1111 C 111 1 4916400 3 8 15 399 1.3 2.4 3.5 19.21 1.2.3 19 3.4.5 21 . . . . 4 9 16 400 2.2 3.3 4.4 20.20 2.3.4 20 2.3.4.5 20 2 1 2 1 1,5 2 0 .2 4 0 3 3 3 1,5 a) x 112 5 x 1 556 x 1 x b) 215215215xxxx 5332 .21510 2 (6,0) 15 x 3 2 2150x 2150x x 8 2 21510x 2151x x 7 1,5 c) 2x 2 2 x 96 2(21)96 x 2 2 x 32 2 x 2 5 x 5 1,5 d) xxxx 23 20222022.2023 x.(123 2022)2022.2023 (1 2022).2022 x.2022.2023 2 2023.2022 x.2022.2023 1,5 2 x 2 a) Ta có: A x2 x 65 x 2 x 65 x 2 x 65459 3 (x 2).( x 6) 0 2 x 6 0,5 (3,5) Dấu “=” xảy ra khi Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 9 đạt được khi 26 x 0,5
14. Câu Hướng dẫn Điểm 0,5 b) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, do đó p + 1 chẵn 0,5 => (p + 1)  2 (1) Cũng do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 0,5 (k N) Nếu p = 3k + 1 thì p +2 = 3k +3 = 3(k + 1) 3 0,5 => p + 2 không là số nguyên tố nên p = 3k + 1 không xảy ra. 0,5 Do đó p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 3 = 3(k +1) 3 (2) Vì (2;3) = 1 nên từ (1) và (2) ta có (p + 1) 6 A x 1,0 4 Qua O kẻ Oz // Ax 35 0,5 (3,0) o Vì Oz // Ax nên A A O z = 35o 80o O 0,5 z (2 góc so le trong). 1,0 Mà AOzBOzAOB ? y 35BOz80BOz45ooo B Do Oz // Ax mà Ax // By nên Oz // By BBOz45 o (2 góc so le trong) 5 (3,0) 1 a) Sm.7.158.15172,5 2 d 2 1,0 Vm 172,5.203450 3 0,5 b) 1 SSSm 22.7.152 1520 .8665 2 xq 12 2 0,5 Diện tích tường phải sơn: 665 – 25 = 640 m2 0,5 Số lít sơn cần mua: 640:8 = 80 lít 0,5 Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa của câu hỏi đó.
15. UBND THỊ XÃ HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. (2,0 điểm) Không dùng máy tính bỏ túi hãy so sánh . 11 a) AB 2251;196 56 b) 2 6 1 7 với 9 Bài 2. (4,0 điểm) 322443xyzxyz x y z a) Cho . Chứng minh rằng 432 2 3 4 mmm32 325 b) Chứng minh phân số A biểu diễn được dưới dạng thập phân mmm 126 vô hạn tuần hoàn với m là số nguyên. Bài 3. (4,0 điểm) a) Cho đa thức f x ax2 bx c với abc,, . Chứng minh rằng ff 2 3 0 . Biết 1320abc ab22 b) Cho biết ab, * . Tính giá trị biểu thức A biết A có giá trị nguyên ab Bài 4. (4,0 điểm) zxy a) Cho xyz,,0 và xyz 0. Tính giá trị biểu thức B 111 xyz b) Tính giá trị của đa thức M 4 x4 7 x 2 y 2 3 y 4 5 y 2 với xy22 5 Bài 5. (3,0 điểm) Tam giác ABC có đường cao AH , trung tuyến AM chia góc A thành ba phần bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC vuông tại và tam giác ABM đều. Bài 6. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B có BEAC tại E . Tính các góc nhọn của tam giác ABC biết rằng EC EA AB. HẾT
16. HƯỚNG DẪN GIẢI UBND THỊ XÃ HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. (2,0 điểm) Không dùng máy tính bỏ túi hãy so sánh . 11 a) AB 2251;196 56 b) 2 6 1 7 với 9 Lời giải 111 a) A 225115114 555 11 và B 19614 66 1111 Ta có 56561414 AB 5656 b) Ta có: 2625265 Và 1716174 Khi đó: 26175426179 Bài 2. (4,0 điểm) 322443xyzxyz xyz a) Cho . Chứng minh rằng 432 234 m32 3 m 2 m 5 b) Chứng minh phân số A biểu diễn được dưới dạng thập phân m m 1 m 2 6 vô hạn tuần hoàn với m là số nguyên Lời giải 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z 4 3x 23 yz 2 xy 42 4 z 3 a) Ta có 4321694 12x 8 y 6 z 12 x 8 y 6 z 16 9 4 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 12xyzxyz 8 612 8 6 12 xyzxyz 8 612 8 6 0 16 9 4 16 9 4 32x y x y Khi đó: 0 3x 2 y 0 3 x 2 y 1 4 2 3
17. 24z x z x và 0 2zx 4 2 3 4 2 x y z Từ 1 và 2 2 3 4 22 mmm32 325 m mmm 325225 mmm b) Ta có: A m mmm 126126126 mmm mm 2 mmmm 225 m m mm 225 m mm 125 m mmm 126126126 mmm mm Goi d là ước chung của mmm 125 và mmm 126 dN * mmmdmmmd 126;125 mmmmmmddd 12612511 Do đó mmm 125 và mmm 126 nguyên tố cùng nhau nên mmm32 325 A là phân số tối giản mmm 126 Ta có với mZ ta có m; m 1; m 2 là ba số nguyên liên tiếp nên mmm 123 mà 63 nên mmm 1263 Phân số A tối giản mà mẫu có chứa ước nguyên tố là 3 khác 2 và 5 nên phân số A viết đước dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Bài 3. (4,0 điểm) a) Cho đa thức fxaxbxc 2 với abc,, . Chứng minh rằng ff 230 . Biết 13a b 2 c 0 ab22 b) Cho biết ab, * . Tính giá trị biểu thức A biết A có giá trị nguyên ab Lời giải: a) Với x 2, ta có: fabc 242 và x 3, ta có: fabc 393 Khi đó: f 2 f 3 4 abcabcabc 2 9 3 13 2 Mà 13a b 2 c 0 ffff 23023 2 f 2 . f 3 f 3 . f 3 f 3 0 (đpcm) b) Kí hiệu ab; là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương ab, Gợi dab ; a md; b nd với mn;1 Khi đó: a2 b 2 d 2 m 2 n 2 và abdmn 2 22 Để A có giá trị nguyên thì a b ab với Suy ra m22 n mn
18. 22 22 Vì mn;1 m n m và m n n nmmnnmmn22; ; mn 1 222 dmn 2 Khi đó, giá trị biểu thức A 2 dmn2 1 Bài 4. (4,0 điểm) zxy a) Cho x y, ,z 0 và x y z 0. Tính giá trị biểu thức B 111 xyz b) Tính giá trị của đa thức Mxxyyy 473542242 với xy22 5 Lời giải zxyxzyxzy a) Ta có : B 111 xyzxyz Vì x y z 0 xzyyxzzyx ;; yzx Khi đó : B 1 vì x y, ,z 0 xyz Vậy B 1 với x y, ,z 0 và x y z 0. b) Ta có Mxxyxyyy 443354222242 Mxxyyxyy 4352222222 Vì xy22 5 Mxyyxy4.53.552022222 M 20.5100 Vậy M 100 với xy22 5 Bài 5. (3,0 điểm) Tam giác ABC có đường cao AH , trung tuyến AM chia góc A thành ba phần bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC vuông tại và tam giác ABM đều. Lời giải A I D B C H M Vì và chia thành ba phần bằng nhau nên BAH HAM MAC Kẻ MD AC D AC Xét ABH và AMH có: BAH HAM AH chung
19. AHBAHM  90 ABHAMH g. c. g H B H M 1 Mà BMMCHMMC 2 1 AHMADMHMMDMDMC ch - gn 2 Trên tia đối của tia MC lấy điểm I sao cho MD DI DMCDICCICMICM c. g. c cân tại C 1 11 Lại có MDMCMDMIMCMI ; 2 22 Từ 12 M D C đều ACBABC 3060  Từ đó suy ra ABM đều và ABC vuông Bài 6. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B có B E A C tại E . Tính các góc nhọn của tam giác ABC biết rằng E C E A A B Lời giải B A C E D Trên đoạn thẳng EC lấy điểm D sao cho AEED Lại có ECEAABECEDABABDC Xét ABE và DBE có: AEED BEABED  90 BE chung ABEDBE c. g. c ABBD BDDCAB BDC cân tại D DBC C Vì BDE là góc ngoài của tam giác BDC BAC BDE 2 C Xét tam giác ABC vuông tại B có BACC  90 Mà BAC 2 C C 30  BAC 2.30  60   HẾT 