Bộ đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH THÁI THỤY NĂM HỌC 2021-2022 Môn: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3,0 điểm) 0 1311321 1. Tính bằng cách hợp lý: A = 23 353 5 22 2. Cho đa thức M thỏa mãn: M – 19x222 y xy 2x y 5xy 2 Tìm đa thức M và tính giá trị của M tại x = 2 và y = - 1 Bài 2 (3,0 điểm) 15 3 1 1. Tìm x biết x+ = 12 4 2 2. Cuối học kì I, ba bạn An, Tâm, Bình được thưởng tổng số vở là 58 quyển. Ba bạn 1 1 quyết định dùng một nửa số vở của An, số vở của Tâm, số vở của Bình để tặng các bạn 3 4 học sinh nghèo. Biết số vở còn lại sau khi tặng của ba bạn bằng nhau. Hỏi mỗi bạn được thưởng bao nhiêu quyển vở ? Bài 3 (3,0 điểm) 1. Cho hàm số y = f(x) = (a –1)x. Tìm a biết f(2) – f(–1) = 6 x+3 2. Cho biểu thức A = . Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên. x–2 Bài 4 (4,0 điểm) 1. Tìm x biết: x1+x2––+x–4=3 2bz 3cy 3cx az ay 2bx 2. Cho dãy tỉ số bằng nhau (với a, b, c 0 ). a 23bc xy z Chứng minh == a2b3c Bài 5 (6,0 điểm) Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M sao cho ABM vuông cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm N sao cho ACN vuông cân tại A. Gọi K là giao điểm của BN và CM. 1. Chứng minh AMC = ABN. 2. Chứng minh BN  CM. 3. Chứng minh MN2 + BC2 = 2(AB2 + AC2) 4. Tính góc AKC ? Bài 6 (1,0 điểm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn a 3 + 5a 2 + 21 = 7b và a + 5 = 7c Hết Họ và tên học sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT NĂNG LỰC HỌC SINH NĂM HỌC 2021-2022 Môn: TOÁN 7 Biểu Bài Nội dung điểm 0 1311321 1. Tính bằng cách hợp lý: A = 23 Bài 1 353 5 22 222 2 (3,0 điểm) 2. Cho đa thức M thỏa mãn: M – 19x y xy 2x y 5xy Tìm đa thức M và tính giá trị của M tại x = 2 và y = - 1 0 1311321 A = 23 353 5 22 70 3 1 13 = 1 0,5 Câu 1.1 3535 (1,5 điểm) 70 1 13 3 = 1 0,5 33 55 = 23 - 2 +1 = 22 0,25 Vậy A = 22 0.25 Tính được M = 21x2y + 6xy2 0,5 Thay x = 2 và y = -1 vào biểu thức M ta được: Câu 1.2 0,75 (1,5 điểm) M = 21. 22.(-1) + 6. 2. (-1)2 = -84 + 12= -72 Kết luận 0,25 Bài 2 (3,0 điểm): 15 3 1 1. Tìm x biết x+ = 12 4 2 2. Cuối học kì I, ba bạn An, Tâm, Bình được thưởng tổng số vở là 58 Bài 2 1 quyển. Ba bạn quyết định dùng một nửa số vở của An, số vở của Tâm, (3,5 điểm) 3 1 số vở của Bình để tặng các bạn học sinh nghèo. Biết số vở còn lại sau 4 khi tặng của ba bạn bằng nhau. Hỏi mỗi bạn được thưởng bao nhiêu quyển vở ? 15 3 1 531 Câu 2.1 x x 0.5 (1,5 điểm) 12 4 2 442 55 55 x x : 0.5 44 44 x 1 0,25 Vậy x 1 0,25 2
3. Biểu Bài Nội dung điểm Gọi số vở được thưởng của ba bạn An, Tâm, Bình thứ tự là x, y, z 0,25 (quyển). Điều kiện: x, y, z nguyên dương. 123 Theo bài ra ta có: x yz và x + y + z = 58 0,25 234 x yz và x + y + z = 58 0,25 Câu 2.2 12 9 8 xyzxyz 58 (1,5 điểm) 2 0,25 12 9 8 12 9 8 29 x = 2.12 = 24 (TMĐK) y = 2.9 = 18 (TMĐK) 0,25 z = 2.8 = 16 (TMĐK) Vậy An được thưởng 24 quyển vở. Tâm được thưởng 18 quyển vở. 0,25 Bình được thưởng 16 quyển vở. 1. Cho hàm số y = f(x) = (a –1)x. Tìm a biết: f(2) – f(–1) = 6 Bài 3 x+3 (3,0điểm) 2. Cho biểu thức A = . Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên. x-2 Ta có f(2) = (a-1).2 = 2a -2 0,5 Ta có f(-1) =(a - 1).(-1) = -a +1 Theo bài ra f(2) - f(-1) = 6 0,5 Câu 3.1 => 2a - 2 – (-a +1) = 6 (1,5 điểm) => 3a - 3 = 6 0,25 => a = 3 Vậy a = 3 0,25 ĐK: x 2 0,25 x 35 A = 1 0,25 xx 22 5 A có giá trị nguyên nguyên . x 2 0,25 Câu 3.2 (1,5 điểm) Do x nguyên nên x - 2 Ư(5) = { -1; 1; -5; 5} Ta xét bảng sau: x - 2 -1 1 -5 5 0,5 x 1 3 -3 7 x { 1; 3; -3; 7 } (TMĐK) Vậy x { 1; 3; -3; 7 } thì A Z 0,25 3
4. Biểu Bài Nội dung điểm Bài 4 (4,0 điểm): 1. Tìm x biết: x1+x2––+x–4=3 Bài 4 2bz 3cy 3cx az ay 2bx 2. Cho dãy tỉ số bằng nhau (4 điểm) a 23bc (với a, b, c 0). xy z Chứng minh == a2b3c Nhận thấy x 1414xx x Ta có: xx 11 0.5 44 x x xx1414143 x xxx Câu 4.1 Lại có: (2,0 điểm) x 20 0.5 xx1243 x xx 10 1 0.75 Dấu bằng xảy ra khi 40 xxx 4 2 xx 20 2 Vậy x = 2 0,25 23bz cy 3 cx az ay 2 bx Ta có : và a, b, c khác 0 abc23 abzcy(2 3 ) 2 bcxaz (3 ) 3 caybx ( 2 ) aa.2.23.3 b b c c 23abz acy 62 bcx abz 36 acy bcx 0,5 abc22249 236236abz acy bcx abz acy bcx = 0 Câu 4.2 abc222 49 0,25 (2,0 điểm) ( Vì a, b, c 0 nên abc222 490 ) 23bz cy y z * 02bz 3 cy 0 (1) 0,5 abc23 3cx az x z * 03cx az 0 (2) 0,5 23bac x yz Từ (1) và (2) suy ra ( đpcm). 0,25 abc23 4
5. Biểu Bài Nội dung điểm Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M sao cho ABM vuông cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm N sao cho ACN vuông cân tại A. Gọi K là giao điểm của BN và CM. Bài 5 (6điểm) 1. Chứng minh AMC = ABN. 2. Chứng minh BN  CM. 3. Chứng minh MN2 + BC2 = 2(AB2 + AC2) 4. Tính góc AKC ? Vẽ hình, ghi GT – KL N M A E 0,5 K B C 0 0,5 Chứng minh được MAC = NAB ( = 90 + BAC ) Xét AMC và ABN, có: Câu 5.1 + AM = AB ( AMB vuông cân) (1,5 điểm) + AC = AN ( ACN vuông cân) + M AC = NAB 1,0 Suy ra AMC = ABN (c - g - c) b) Gọi I là giao điểm của BN với AC Xét KIC và AIN, có: Câu 5.2 ANI = K CI ( AMC = ABN) 0,5 (1,5 điểm) AIN = K IC (đối đỉnh) 0,5 I KC = NAI = 900, do đó: MC  BN tại K. 0,5 Chứng minh được: Câu 5.3 MK2 + BK2 = MB2 = MA2+ BA2 = 2 BA2 (1) (1,5 điểm) 0,5 5
6. PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KÌ THI OLIMPIC Năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Bài 1 1) Tính giá trị của biểu thức: 9 (5đ) 219 .27 3 .5 15. 4 .9 4 315 .2 22 6 16 .4 4 A 69 .2 10 12 10 2.99 .8 7 7.27 5 .2 23 2/ Tìm x biết 10 2 2 x 3x 13 7 7 a/ x 3 1024.125 .25 b/ x 2 5 5 5 10 9 219 .27 3 .5 15. 4 .9 4 219 .3 9 .5 2 18 .3 9 .5 5.3 9 .2 18 .3 3 1) = 69 .2 10 12 10 219 .3 9 2 20 .3 10 2 19 .3 9 . 5 2 0.75 15 22 16 4 15 22 24 16 22 15 2 3 .2 6 .4 3 .2 2 .32 .3 1 2 .3 13 13 2đ = 2.99 .8 7 7.27 5 .2 23 222 .3 18 7.3 15 .2 23 222 .3 15 3 3 7.2 5 5 0.75 3 13 15 26 11 Vậy A = 2 5 10 10 0.5 10 10 2 2 10 0.75 2/ a) x 3 1024.125 .25 x 3 10 Vì x 3 0 x 3 10 x 7 x = 49 0.75 Vậy: x = 49 3đ x 3x 13 7 7 x 3x 13 7 7 b) x x 0.5 2 5 5 5 10 2 5 5 5 10 x 3x 7x 7 13 6x 6 x = - 2 1 2 5 10 5 5 10 5 Vậy: x = - 2 Bài 2 x y z 1/ Tìm x; y; z biết: và x2 y 2 z 2 116 (4đ) 2 3 4 a b c d 2/ Cho (a,b,c,d 0) Tính giá trị của 2b 2c 2d 2a 2021a 2020b 2021b 2020c 2021c 2020d 2021d 2020a T cd da ab bc x y z 1/ Tìm x; y; z biết: và x2 y 2 z 2 116 2 3 4 x y z x2 y 2 z 2 Ta có 2 3 4 4 9 16 0.5 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
7. x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 116 = 4 4 9 16 4 9 16 29 0.5 x 2 4 x2 16 x 4 4 y2 4 y2 36 y 6 9 0.5 z2 4 z2 64 z 8 16 x y z Mà x; y cùng dấu và x; z trái dấu 0.5 2 3 4 (x; y; z) ∈ {(4; 6; - 8); (- 4; - 6; 8)} 0.5 a b c d a b c d 2/ Vì 2b 2c 2d 2a bc d a Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c d a b c d 1 abc d 0.5 bdac bc d a 2021a 2020b 2021b 2020c 2021c 2020d 2021d 2020a T cd da ab bc 2021a 2020a 2021a 2020a 2021a 2020a 2021a 2020a 1 aa aa aa a a 1 4. 2 2 Bài 3 Ba thửa ruộng hình chữ nhật A,B,C có cùng diện tích. Chiều rộng của 3 (3đ) thửa ruộng A, B, C lần lượt tỷ lệ với 3 ; 4 ; 5. Chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài của 2 thửa ruộng B và C là 35m. Tính chiều dài mỗi thửa ruộng. Gọi chiều rộng của ba thửa ruộng A; B; C lần lượt là a; b; c (a; b; c > 0) Gọi chiều dài của ba thửa ruộng A; B; C lần lượt là x; y; z (x; y; z > 0) Vì chiều rộng của ba thửa ruộng A; B; C lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5 a b c 3 4 5 0.5 Vì ba thửa ruộng A; B; C có cùng diện tích nên : ax = by = cz a b c a b c 3x. 4y. 5z. mà 3x = 4y = 5z 3 4 5 3 4 5 0.5 x y z mà chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài 20 15 12 0.5
8. của 2 thửa ruộng B và C là 35m y + z – x = 35 0.5 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z y z x 35 = 5 20 15 12 15 12 20 7 0.5 x y z 5 x = 100; 5 y = 75; 5 z = 60 20 15 12 0.5 Vậy chiều dài của ba thửa ruộng A; B; C lần lượt là 100; 75; 60 Chú ý: Học sinh có thể giải theo cách sau: - Vì Ba thửa ruộng có diện tích bằng nhau nên chiều dài và chiều rộng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch - Mà chiều rộng của ba thửa ruộng tỉ lệ thuận với 3; 4; 5 nên chiều rộng của ba thửa ruộng tỉ lệ nghịch với 3; 4; 5 3x = 4y = 5z từ đó HS tính ra kết quả Bài 4 Cho ABC vuông cân tại A. M là trung điểm của BC. Lấy điểm D bất kỳ (6đ) trên đoạn BM. H, I thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng: a/ BH = AI b/ BH2 + CI2 có giá trị không đổi. c/ IM là phân giác của DIC B H D M I 0.5 C A a/ Chỉ ra BAH ACI (cùng phụ CAI ) Chỉ ra ∆BAH = ∆ACI (ch-gn) 1.5 BH = AI b/ Từ ∆BAH = ∆ACI AH = CI 1 BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (áp dụng ĐL Pytago trong ∆BAH vuông tại H) 0.5 Mà AB có giá trị không đổi nên BH2 + CI2 không đổi 0.5
9. c/ M là trung điểm của BC, ∆ABC vuông cân tại A nên MAC ABM 450 ; BM AM 0.5 ∆BAH = ∆ACI ABH CAI ABH ABM CAI CAM MBH MAI ∆MBH và ∆MAI có: BH = AI (cmt); BM = AM và MBH MAI ∆MBH = ∆MAI (cgc) HM = IM và HMB IMA 0.75 0 0 0 Mà IMA IMB 90 HMB IMB 90 IMH 90 0 0 MIH vuông cân MIH 45 mà DIC 90 0.5 IM là phân giác của DIC 0.25 Bài 5 Cho ABC cân tại A có A 3C . Vẽ tia Cx sao cho CA là tia phân giác (1đ) của BCx , Cx cắt BA tại D. Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác cân? Vì sao? D A C B ABC cân tại A nên A 3C 3B A B C 5B 1800 0.25 B 1800 :5 36 0 C A 36 0 .3 108 0 ; ACD 72 0 CAD 1800 108 0 72; 0 ADC 180 0 72 0 36 0 72 0 0.5 0 CAD CDA BCD BDC 72 Nên trong hình vẽ có 3 tam giác cân là ABC cân tại A; CAD cân tại C; 0.25 BCD cân tại B Bài 6 Tìm tất cả các số abc có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c (1đ) Từ 3a + 5b = 8c 3a – 3b +8b = 8c 3(a – b) = 8c – 8b 0.25 0.25 Hay 3(a – b) = 8(c – b) 3(a – b)  8 mà (3, 8) = 1 nên a – b  8 Do 0a9;0b9 9ab9;ab0 a b 8;8 0.25 Nếu a – b = - 8 a = 1; b = 9 8c = 3.1 + 5.9 = 48 c = 6
10. Nếu a – b = 8 a = 8; b = 0 hoặc a = 9; b = 1 + a = 8; b = 0 8c = 8.3 + 0 = 48 c = 3 + a = 9; b = 1 8c = 9.3 + 5.1 = 32 c = 4 0.25 Vậy: Các số abc cần tìm là 196; 803; 914. Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng chấm điểm tương đương.
11. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 7 CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) a) Cho đa thức f(x) = (1 + 26x2 + 4x3 + 2019x4 - 2050x5)10. Giả sử sau khi khai triển đa 49 50 thức f(x) ta được f(x) = a0 + a1x + + a49x + a50x . (ai là các hằng số i=0;50). Tính giá trị biểu thức T = a1 + a2 + + a49 + a50 11 1 b) Tính giá trị biểu thức P = aa−+− , với a = . 20182020 2019 Câu 2. (2,0 điểm) 322553abcabc−−− a) Tìm 3 số a; b; c biết: == và a + b + c = – 50 532 b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó. Câu 3. (2,5 điểm) a) Tìm số hữu tỉ x, sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là một số nguyên. b) Tìm x, y, z nguyên thỏa 4 mãn: xyzzyx−+2018201920202018202020192019 −+ −+− +− +− = 26 c) Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2018; a + 2b = 2019. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + c. Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC, B = 600 . Hai phân giác AD và CE của tam giác ABC cắt nhau ở I. Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AD tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. a) Tính A I C b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4cm. c) Chứng minh tam giác IDE cân. Câu 5. (1,0 điểm) A Xét hình bên: Ta viết các số 1, 2, 3, 4, 9 vào vị trí của 9 điểm trong hình vẽ bên sao cho mỗi số chỉ xuất hiện đúng một F G lần và tổng ba số trên một cạnh của tam giác bằng 18. Hai E cách viết được gọi là như nhau nếu bộ số viết ở các điểm H (A;B;C;D;E;F;G;H;K) của mỗi cách là trùng nhau. Hỏi có bao K B nhiêu cách viết phân biệt ? Tại sao? D C Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: . Số báo danh:
12. PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN TIỀN HẢI NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4,5 điểm) 1) Thực hiện phép tính: 724 3.59.2512 7 6 3 a) A1 1 b) B 6 925 2753 .25 3 2 .5 2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n là số chính phương. Bài 2 (4,0 điểm) a) 2024x 1011x 2 1012x 3 40 3x b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = với x là số nguyên khác 13. 13 x Bài 3 (4,5 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m +1)x với m 1 a) Với m = 2. Hãy tính f (2022) . b) Tìm giá trị của m để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) với x1, x2 là các số thực khác 0. 9 2) Tìm 3 phân số có tổng bằng 9 , biết các tử số tỉ lệ theo 3:4:5 và các mẫu số tương 70 ứng tỉ lệ theo 5:1:2. Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có ba góc đều nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân tại B. Kẻ đường cao AH (H thuộc BC), trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. 1) Chứng minh: Hai tam giác ABI và BEC bằng nhau. 2) Chứng minh: BI vuông góc với CE. 3) Phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D, phân giác của góc BDC cắt cạnh BC tại M. 1 Phân giác góc BDA cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh: BD = MN . 2 Bài 5 (1,0 điểm) Cho 2022 số a1, a2, a3, ., a2021, a2022 là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn: 111 1 1 1. Chứng minh rằng: Tồn tại ít nhất một số trong 2022 aaa123 a 20212022 a số đã cho là số chẵn. Hết Họ và tên thí sinh : .Số báo danh :
13. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 7 BIỂU BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1) Thực hiện phép tính : 724 3.59.2512 7 6 3 a) A1 1 b) B 6 925 2753 .25 3 2 .5 72416 1 A1 1 0,5 925925 41 A 0,25 35 1a(1,5đ) 20 3 23 A 0,5 5515 23 Vậy A 0,25 15 12 7 6 3 12 7 12 6 1(4,5đ) 3.59.25 3.53.5 = B 6 15 6 12 6 0,5 2753 .25 3 2 .5 3.5 3.5 3.5512 6 1 1b(1,5đ) B 0,5 3.5312 6 3 1 63 3 B . Vậy B 0,5 28 14 14 2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số . Tìm n biết n + 4 và 2n là số chính phương. Vì n là số tự nhiên có hai chữ số => 9 n = 32. Vậy n = 32 0,5 a) 2024x 1011x 2 1012x 3 1011x 2 1012x 3 2024x 0,25 2a(2,0đ) Do 1011  x 0 x, 1012  x 0 x x 0 0,25 2(4,0đ) = > 1011x+ 2 + 1012x + 3 = 2024x 0,5 = > 2023x +5 = 2024x 0,5 = > x = 5 . Vậy x = 5 0,5 40 3x 2b(2,0đ) b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = với x là số 13 x
14. BIỂU BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM nguyên khác 13. 40 3x 1 Ta có P = = 3 với x 0 0,5 13 x 13 x 1 Suy ra P lớn nhất khi lớn nhất 0,25 13 x 1 * Nếu x > 13 thì 13 x 0 0. 13 x 0,5 1 * Nếu x 0 0,25 13 x 1 Vì phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử 13 x không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên 0,5 dương nhỏ nhất. Hay 13 x 1x 12 Suy ra P có giá trị lớn nhất là 4 khi x =12 0,25 1) Cho hàm số y = f(x) = (m +1)x với m 1 a) Với m = 2 . Hãy tính f (2022) . b) Tìm giá trị của m để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) với x1,x2 là các số thực khác 0. Với m = 2 thỏa mãn m 1=> f(x) = 3x 0,75 1a(1,5đ) Ta có f(2022) = 3.2022 = 6066 0, 5 Vậy với m = 2 thì f(2022) = 6066 0,25 Ta có f(x1) = (m + 1)x1 , f(x2) = (m + 1)x2 2 0,5 = > f(x1).f(x2) = (m + 1) x1.x2 3(4,5đ) Mà f(x1x2) = (m + 1) x1x2 0,25 2 1b(1,5đ) Để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) => (m + 1) x1x2 = (m + 1) x1x2 0,25 Do x1,x2 là các số thực khác 0 , m 1 = > m + 1 = 1 => m = 0 ( tm m 1) 0,5 Vậy để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) thì m = 0 9 2) Tìm 3 phân số có tổng bằng 9 , biết các tử số tỉ lệ theo 70 2(1,5đ) 3:4:5 và các mẫu số tương ứng tỉ lệ theo 5:1:2. abc Gọi 3 phân số cần tìm là x = ;y ;z với a, a’, b,b’, c, 0,25 abc,,,
15. BIỂU BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM c’ là các số nguyên , a’,b’,c’ khác 0 Ta có a:b:c = 3:4:5 => a = 3k, b = 4k, c = 5k ( k 0) 0,25 a’:b’:c’ = 5:1:2 => a’ = 5q, b’ = q, c’ = 2q (q 0) 3k 4k 5k 3 4 5 = > x:y:z = :: ::6:40:25 0,5 5q q 2q 5 1 2 9 9 xy z xyz 9 0,25 = > 70 6 40 25 6 40 25 71 70 27 36 45 Vậy x = ,y ,z 0,25 35 7 14 I Vẽ hình đúng A câu a và ghi D GT- E KL K 0,5đ B HM C F N Do ABE vuông cân tại B => ABE 900 và AB = BE 0, 5 Vì AH là đường cao của ABC => 0,5 4(6,0đ) AH BC H AHB 900 Ta có IABABHAHBABH90 0 ( t/c góc ngoài) 4a(2,0đ) EBC ABC ABE ABH 900 0,5 = >IAB EBC Xét ABI và BEC có AI = BC(gt), IAB EBC , AB = BE 0,5 = > ABI = BEC(c.g.c) (đpcm) Vì ABI = BEC(c.g.c) = > AIB BCE 0,5 Mà AIB IBH 900 0,5 4b(2,0đ) = > IBH BCE 900 0,5 Gọi CE  BI K => BKC 900 => BI CE (đpcm) 0,5 Do DM là phân giác BDC , DN là đường phân giác BDA 4c(1,5đ) 0,25 Mà BDC và BDA là 2 góc kề bù => DM  DN
16. BIỂU BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM => MDN 900 => MDN vuông tại D Trên MN lấy điểm F sao cho FDN FND FDN cân tại F 0,25 => FD = FN Ta có FDN FDM 900 và FMD FND 900 Mà FDN FND => FDM FMD(1) FDM cân tại F = > FD = FM 0,25 1 = > FD = FM = FN = MN 2 Ta có FMD MBD MDB (T/c góc ngoài) Vì DM là phân giác BDC => BDM CDM = > FMD MBD MDC (2) 0,25 Lại có FDM FDC CDM (3) Từ (1), (2), (3) => MBD FDC (4) Mà ABC cân tại A => DCM ABC 2DBM (5) 0,25 Ta lại có DCM CDF CFD ( t/c góc ngoài) (6) Từ (4),(5),(6) => MBD CFD => DBFcân tại D 1 0,25 = > DB = DF = MN (đpcm) 2 Bài 5(1,0 điểm). Cho 2022 số a1, a2, a3, .,a2021, a2022 là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn : 111 1 1 1. Chứng minh rằng : Tồn aaa123 a 20212022 a tại ít nhất một số trong 2022 số đã cho là số chẵn. 5(1,0đ) 5(1,0đ) 111 1 1 Từ 1 aaa a a 123 20212022 0,5 = > a2a3 a2022 +a1a3 a2022 + .+ a1a2 a2021= a1a2 a2022 (1) Giả sử các số a1,a2, .,a2022 đều là số lẻ , khi đó vết trái của (1) là tổng của 2022 số lẻ nên vế trái là số chẵn , mà vế phải là số 0,5 lẻ => mâu thuẫn => điều giả sử sai . Vậy do đó tồn tại ít nhất một số trong 2022 số đã cho là số chẵn => đpcm Lưu ý : 1.Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải. Nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
17. 2. Bài làm của thí sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. 3. Bài hình học, thí sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì cho 0 điểm. Hình vẽ đúng ở ý nào thì chấm điểm ý đó. 4. Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh mà công nhận ý trên (hoặc làm sai ý trên) để làm ý dưới thì không chấm điểm ý đó. 5. Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và tuyệt đối không làm tròn.
18. ___ HẾT ___
19. PHÒNG GD&ĐT HÀ TRUNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 Số báo danh Môn : TOÁN 7 Ngày thi : 09 tháng 4 năm 2021 Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 06 câu, 01 trang Câu 1(4,0 điểm): Thực hiện phép tính: 7 10 7 9 2 a) A 35 9 19 35 35 5.415 .9 9 4.3 20 .8 9 b) B 5.210 .6 19 7.2 29 .27 6 1 1 1 1 1 c) C 1 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 4.6 98.100 10 5 5 3 3 155 0,9 d) D 7 11 23 5 13 26 13 13 7 3 403 0,2 7 11 23 91 10 Câu 2 ( 3,5 điểm) a. Tìm x : 3x 2 4.3 x 1 3 x 1 6 6 3xy 2 2 zx 5 5 yz 3 b. Tìm x,y,z biết : và x y z 50 5 3 2 Câu 3 (3,0 điểm) a) Cho đa thức : fxx( ) 8 99 x 7 99 x 6 99 x 5 99 x 25 . Tính f(100) 2 3 1 b) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương 5 4 6 của 3 số đó bằng 24309. Tìm số A. Câu 4 (3,0 điểm): a) Tìm xy, Z biết : xy+2x-y = 5 1 1 1 1 b) Cho A . Chứng minh A< 1. 22 3 2 4 2 2000 2 Câu 5 (5,5 điểm): 1) Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia Ac tại F. Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF AB AC c) AE 2 2) Cho A nằm trong góc xOy nhọn. Tìm điểm B,C lần lượt thuộc Ox, Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất Câu 6 (1,0 điểm): Tìm các số x,y,z nguyên dương thỏa mãn : x + y + z = xyz HẾT