Bộ đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phòng GD và ĐT Hải Lăng (Có đáp án)

Câu 4 (4 điểm).
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm G sao cho CG = CA. Kẽ BH vuông góc với AD, CK vuông góc với AG. Chứng minh rằng:
a. AH = HD
b. HK //BC

docx 26 trang Hải Đông 08/01/2024 220
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phòng GD và ĐT Hải Lăng (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docxbo_de_thi_khao_sat_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8_phong_gd_va.docx

Nội dung text: Bộ đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Phòng GD và ĐT Hải Lăng (Có đáp án)

  1. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2018-2019 Môn TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề) ___ Bài 1 (3 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 Bài 2 (3 điểm). a) Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n+1) b) Chứng minh (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24 với a là số tự nhiên. 1 1 1 Bài 3 (3 điểm). Cho 0 a b c b c c a a b Tính giá trị biểu thức M = a b c Bài 4 (4 điểm). Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên. 2x 3 6x 2 x 8 A = x 3 Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Từ M kẻ MD song song AB (D AC), kẻ ME song song AC (E AB) a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất. b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); ABC = 600 Bài 6 (3 điểm). Tìm x biết: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = 0; 1 (với x ≠ 0; x ≠ ; m N*) 3 HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
  2. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT TOÁN LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018-2019 Bài 1 (3 điểm): a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 = a4 + 8a3 + 15a2 - a2 - 8a -15 = (a4 + 8a3 + 15a2) - (a2 + 8a +15) = a2( a2 + 8a + 15) - (a2 + 8a +15) = (a2 + 8a +15)( a2 - 1) = (a+3)(a+5)(a+1)(a-1) b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 = (2ab)2- (a2 + b2 - c2)2 = (2ab + a2 + b2 - c2) (2ab - a2 - b2 + c2) = [(a+b)2 - c2][c2 - (a-b)2] = (a + b - c)(a + b+c)(c-a+b)(c+a-b) Bài 2 (3 điểm): a) Ta có 3x(x+1) = x(x+1)(x+2) – (x-1)x(x+1). Do đó: 3A = 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) = n(n+1)(n+2) n(n 1)(n 2) A = 3 b) (a2+3a+1)2-1 = (a2 +3a+1+1)(a2+3a+1-1) = (a2+3a+2)(a2+3a) = a(a+1)(a+2)(a+3) chia hết cho 24. (tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24) Bài 3 (3 điểm): b c c a a b M = a b c b c c a a b M = 1 1 1 3 a b c a b c a b c a b c M = 3 a b c 1 1 1 M = a b c 3 a b c M = –3 Bài 4 (4 điểm). 3 2 2x 6x x 8 2 5 A = = 2x 1 (x 3) x 3 x 3 x 3 là ước của 5 ư (5) = { -5; -1; 1; 5} Nếu x 3 5 x 2 Nếu x 3 1 x 2 Nếu x 3 1 x 4 Nếu x 3 5 x 8 Vậy x 2 ; x 2 ; x 4 ; x 8 Bài 5 (4 điểm).
  3. A D E M B C M a) Tứ giác ADME có: AE//DM (AB//DM) ; AD//EM (AC//EM) và A = 900 (gt) tứ giác ADME là hình chữ nhật DE = AM (t/c hình chữ nhật) Mà AM ngắn nhất khi AM  BC tức là AM là đường cao ∆ABC Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC b) Xét ∆ ABM vuông tại M có ABM = 600 ∆ ABM là nữa tam giác đều có cạnh AB AB 4 BM = = 2(cm) 2 2 AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (pi-ta-go) AM = 12 cm Vậy AM ngắn nhất bằng 12 cm DE ngắn nhất bằng 12 cm Câu 6 (3 điểm): Ta có: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = 0 ( với x ≠ 0 ; x ≠ 1 ) 3 (3x – 1)m+3 – (m-1) – 56 – 2 = 0 (3x – 1)4 = 54 3x – 1 = 5 hoặc 3x – 1 = –5 x = 2 x = 4 3 Vậy x = 2 ; x = 4 3 HẾT Lưu ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
  4. Năm học: 2017-2018 Môn: TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề) ___ Câu 1 (4 điểm). Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến x 4(6 - x) + x2 (2 + 3x) - x(5x - 4) + 3x2 (1 - x) Câu 2 (4 điểm). Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử a. x2y + xy2 - x - y b. x2 + 5x - 50 Câu 3 (3 điểm). Cho phân thức A = a. Tìm điều kiện của x để A xác định b. Rút gọn A c. Tìm x đề giá trị của A bằng 1 Câu 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm G sao cho CG = CA. Kẽ BH vuông góc với AD, CK vuông góc với AG. Chứng minh rằng: a. AH = HD b. HK //BC Câu 5 (3 điểm): Cho tam giác đều ABC. M là điểm thuộc cạnh BC. I và D lần lượt là trung điểm của AM và BC; E, F là chân đường vuông góc kẽ từ M đến AB và AC. a. Tính số đo các góc DIˆE và DIˆF . b. Chứng minh tứ giác DEIF là hình thoi. Câu 6 (2 điểm). Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi . HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
  5. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2017-2018 Môn: Toán Câu Nội dung Điểm 4(6 - x) + x2(2 + 3x) - x(5x - 4) + 3x2 (1 - x) Câu 1 = 24 - 4x + 2x2 + 3x3 – 5x2 + 4x + 3x2 – 3x3 2đ (4đ) = 24 2đ a. x2y + xy2 - x - y = (x2y + xy2) – (x + y) = xy(x + y ) – ( x + y ) 1đ Câu 2 = (xy – 1)( x + y) 1đ (4đ) b. x2 + 5x - 50 = x2 + 10x – 5x – 50 1đ = (x2 + 10x) - (5x +50) = x(x + 10) – 5(x + 10) 0.5đ = (x – 5)(x + 10) 0.5đ A = a. Để A xác định khi x2 – 3x + 2 0 x 1 và x 2 x 1 1 1đ Câu 3 b. A = = (3đ) (x 1)(x 2) x 2 1 1đ c. để A = 1 1 x 2 1 x 3 x 2 1đ a. ABD cân B, BH là đường cao nên AH = HD 2đ b. tương tự câu a ta có AK = KG 1đ HK là đường trung bình của ADG nên HK //DG. Vậy HK // BC 1đ A Câu 4 (4đ) H K D B C G a. Tam giác AEM vuông tại E , EI là đường trung tuyến nên ta có IE = IA = IM khi đó EIˆM 2EAˆI.(1) 0.5đ Ta lại có tam giác ADM vuông tại D, DI là đường trung tuyến Nên ID = IA = IM , DIˆM 2DAˆI (2) 0.5đ 0 Từ (1) và (2) ta có: EIˆD 2EAˆD 60 0.5đ 0 0 Câu 5 Vậy góc DIE bằng 60 , tương tự góc DIF bằng 60 A 0.5đ (3đ) b. DIE cân tại I, mà DIˆE 600 nên DIE đều 0.5đ tương tự DIF đều từ đó DEIF là hình thoi I 0.5đ E F C D M B
  6. b. Rút gọn biểu thức K. c. Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên. Câu 3 (3 điểm): Các cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài là a, b và diện tích bằng S. Tìm các góc của tam giác vuông biết (a + b)2 = 8S. Câu 4 (4 điểm): Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 90 0 ) có AB = 4(cm), CD = 9(cm), BC = 13(cm). Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = AB. Đường thẳng vuông góc BC tại M cắt AD tại N. Tính diện tích tam giác BNC. Câu 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC với trung tuyến CM. Điểm D thuộc đoạn BM sao cho BD = 2MD. Biết rằng MCD = BCD. Chứng minh rằng ACD = 900. x 2 4 x 1 Câu 6 (3 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = với x 0 x 2 HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Câu 1 (2 điểm): Ta có xP = x + x2 + x3 + + x2015 + x2016 xP - P = x + x2 + x3 + + x2015 + x2016 - (1 + x + x2 + + x2014 + x2015) = x2016 - 1 điều cần CM Câu 2 (4 điểm): a) K có nghĩa khi x 1 và x 0 b) K = A.B (x 1)2 (x 1)2 x2 4x 1 A (x 1)(x 1) x2 1 A 1 x2 1 x 2017 2017 Vậy K = A.B = 1. 1 x x c) Muốn K nguyên thì x ước của 2017. Mà 2017 là số nguyên tố nên chỉ có ước dương là 1 và 2017. Nên x = 1 và x = 2017 Với x = 1 K = 2018 Với x = - 1 K = - 2016 Với x = 2017 K = 2
  7. Với x = -2017 K = 0 Câu 3 (3 điểm): Ta có: S = 1 ab 2 Theo bài ra (a + b)2 = 8S 1 a2 + 2ab + b2 = 8. ab = 4ab 2 a2 - 2ab + b2 = 0 (a - b)2 = 0 a = b tam giác vuông cân các góc nhọn = 450. Câu 4 (4 điểm): BA  NA, BM  NM, AB = BM (gt) NB là phân giác của ANM A B MC = BC - BM = 13 - 4 = 9 = CD Do đó NC là tia phân giác của MND Hai góc ANM và MND kề bù M 0 Nên BNC = 90 BNC vuông tại N và NM  BC (gt) 2 NM = BM.MC = 4.9 = 36 N MN = 6(cm) Do đó: 1 1 2 SNBC = NM.BC = .6.13 = 39(cm ) 2 2 D C H Câu 5 (4 điểm): BCM có MCD = BCD (gt) CB DB do đó: 2 (vì DB = 2DM gt) CM DM C BC = 2CM. Gọi P là điểm đối xứng của C qua M Ta có: PC = 2CM = BC (chứng minh trên) BCP cân tại C có CD là phân giác Nên CD  BP A M D B Mặt khác vì M trung điểm AB (gt) Và M trung điểm của CP BP // AC và BP  CD P
  8. AC  CD hay ACD = 900 Câu 6 (3 điểm): (4 x 2 4 x 1) 3 x 2 (2 x 1) 2 A = 3 3 x 2 x 2 1 Dấu “=” xảy ra 2x - 1 = 0 x = 2 Giá trị nhỏ nhất A = -3 khi x = 1 2 HẾT Lưu ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ___ a b c Câu 1 (4 điểm): Cho 1. b c c a a b a2 b2 c2 Chứng minh rằng: 0 b c c a a b Câu 2 (3 điểm): Cho x, y là các số lớn hơn hoặc bằng 1. 1 1 2 Chứng minh rằng: 1 x2 1 y2 1 xy 2x m x 1 Câu 3 (3 điểm): Tìm m để phương trình 3 có nghiệm dương. x 2 x 2 Câu 4 (4 điểm): Giải phương phương trình sau: 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Câu 5 (3 điểm): Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra 1 số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả. Cuối cùng trong 3 giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả? Câu 6 (3 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Qua C vẽ đường thẳng cắt cạnh AB tại D. Từ B vẽ đường vuông góc với CD tại I cắt AC tại E. Chứng minh rằng AD = AE.
  9. HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 8 ___ a b c Câu 1 (4 điểm): Nhân cả 2 vế của: 1 với a + b + c rồi rút gọn đpcm b c c a a b 1 1 2 Câu 2 (3 điểm): 1 x 2 1 y 2 1 x y 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x 2 1 xy 1 y 2 1 xy y x 2 xy 1 0 2 1 x 2 1 y 2 1 xy Vì x 1; y 1 => xy 1 => xy 1 0 => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 2x m x 1 Câu 3 (3 điểm): Tìm m để phương trình 3 có nghiệm dương. x 2 x 2 Điều kiện: x 2; x 2 2x m x 1 Ta có 3 x 1 m 2m 14 x 2 x 2 a) Nếu m = 1 phương trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm. 2m 14 b) Nếu m 1 phương trình trở thành x 1 m 2m 14 2 1 m 2m 14 m 4 Phương trình có nghiệm dương 2 1 m 1 m 7 2m 14 0 1 m m 4 Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi . 1 m 7 Câu 4 (4 điểm): Giải các phương phương trình (mỗi PT đúng 2 điểm): a)x2 3x 2 x 1 0 (1)
  10. + Nếu x 1 : (1) x 1 2 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1 ). + Nếu x 1 : (1) x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0 x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x 1 . 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 b) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm: x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 (2) 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 x x x 0 hay x 8 và với điều kiện.x 0 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8 Câu 5 (3 điểm): Chọn ẩn, lập đúng phương trình qua các bước (2 điểm) Giải phương trình và chọn kết quả là 38 và trả lời đúng (1 điểm) Câu 6 (3 điểm): ∆EBC có AB và CI là 2 đường cao cắt nhau tại B D => là trực tâm ∆ABC => ED ∟BC. DEA = ABC (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc) Mà góc ABC = 450 (GT) do đó góc DEA = 450 I D => ∆ADE vuông cân tại A. => AD = AE E C A HẾT Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
  11. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2012-2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ___ Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau. ab bc ca Tính giá trị của biểu thức: M = (a c)(b c) (b a)(c a) (c b)(a b) 2 Câu 2 (3 điểm): Cho x thỏa mãn x – 3x = 0. 5 4 3 2 Tính giá trị của biểu thức: N = 3x – 11x + 11x – 16x + 3x + 7 Câu 3 (3 điểm): Với giá trị nào của a và b thì đa thức: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho đa thức: x2 + x + 1 1 Câu 4 (3 điểm): Chứng minh rằng: a2 + b2 với a + b ≥ 1 2 Câu 5 (4 điểm): Một số tự nhiên có 5 chữ số. Nếu viết thêm số 1 vào bên trái hay bên phải số đó ta đều được một số có 6 chữ số. Biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó thì được số lớn gấp 3 lần ta viết thêm vào bên trái. Hãy tìm số đó? Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. Chứng minh BD = DE HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán ___ ab bc ca Câu 1 (3 điểm): M = (a c)(b c) (b a)(c a) (c b)(a b) = ab(a b) bc(b c) ca(c a) (a b)(b c)(a c) = ab(a b) bc(b a) (c a) ca(c a) (a b)(b c)(a c) = ab(a b) bc(b a) bc(c a) ca(c a) (a b)(b c)(a c)
  12. = b(a b)(a c) c(a c)(b a) (a b)(b c)(a c) = (a b)(a c)(b c) = 1 (a b)(b c)(a c) Câu 2 (3 điểm): 2 x 0 x – 3x = 0 x(x-3) = 0 x 3 Với x = 0 thì N = 7 Với x = 3 thì N = 729 - 891 + 297 - 144 + 9 +7 = 7 Vậy N = 7 Câu 3 (3 điểm): Đa thức bị chia bậc 3, đa thức chia bậc 2 nên đa thức thương bậc 1. Hệ số cao nhất của đa thức bị chia và đa thức chia bằng 1 nên ta gọi đa thức thương là x + m. Ta có: x3 + ax2 + 2x + b = (x2 + x + 1)(x + m) x3 + ax2 + 2x + b = x3 + (m + 1)x2 + (m + 1)x + m Đồng nhất ta có: a = m + 1 ; 2 = m + 1 ; b = m Vậy a = 2 ; b = 1 = m Câu 4 (3 điểm): Do a + b 1 (a + b)2 1 Mà (a - b)2 0 , do đó (a + b)2 + (a - b)2 1 2(a2 + b2) 1 Suy ra điều cần chứng minh. Câu 5 (4 điểm): Goïi soá phải tìm laø x (nguyên dương) x = abcde Viết vào bên trái ta được số có dạng 1abcde = 100000 + x Viết vào bên phải ta được số có dạng: abcde1 = abcde0 + 1 = 10x + 1 Theo đề ra ta có: 10x + 1 = 3(100000 + x) => 7x = 299999 => x =42857 Câu 6 (4 điểm): Trên AB lấy điểm F sao cho AF = AE B ADF = ADE (c.g.c) D F A C E suy ra: DF = DE, D· FA D· EA D· FA D· EA => D· FB D· EC
  13. Mà ·ABC D· EC (cùng phụ với góc C) Do đó D· FB ·ABC Suy ra BDF cân tại D Nên BD = DF = DE (theo chứng minh trên) HẾT Lưu ý: 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. 2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2013-2014 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ___ Câu 1 (3 điểm): Cho x, y là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x 2 1 y 2 1 x y x 2 x 4 x 6 x 8 Câu 2 (3 điểm): Giải Phương trình: 98 96 94 92 Câu 3 (3 điểm): Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và 8cm. Một trong các đường cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đường cao thứ hai. Câu 4 (4 điểm): Một vòi nước chảy vào một bể không có nước. Cùng lúc đó một vòi nước khác chảy từ bể ra. Mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng 4 lượng nước chảy vào. Sau 5 giờ 5 nước trong bể đạt tới 1 dung tích bể. Hỏi nếu bể không có nước mà chỉ mở vòi chảy vào thì 8 bao lâu bể đầy? Câu 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. Chứng minh BD = DE Câu 6 (3 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 x 1 M x 2 2 HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
  14. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán ___ 1 1 2 Câu 1 (3 điểm): (1) 1 x 2 1 y 2 1 x y 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 x y 1 y 1 x y x y x y x y 0 1 x 2 1 x y 1 y 2 1 x y y x 2 x y 1 0 2 1 x 2 1 y 2 1 x y Vì x 1; y 1 => xy 1 => xy 1 0 => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ Câu 2 (3 điểm): x 2 x 4 x 6 x 8 98 96 94 92 x 2 x 4 x 6 x 8 ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5đ) 98 96 94 92 1 1 1 1 ( x + 100 )( + - - ) = 0 (0,25đ) 98 96 94 92 1 1 1 1 Vì: + - - 0 98 96 94 92 Do đó : x + 100 = 0 x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 (0,25đ) Câu 3 (3 điểm): Hình vẽ: A 8cm B 6cm K D H C Giả sử ABCD là hình bình hành có AB = 8cm, AD = 6cm và có một đường cao dài 5cm . Vì 5 AK = 20 (cm) 3 AK = 5cm. Khi đó S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 15 (cm) 4
  15. Vậy đường cao thứ hai có độ dài là 20 cm hoặc 15 cm 3 4 Câu 4 (4 điểm): Gọi thời gian vòi nước chảy đầy bể là x (giờ). ĐK: x > 0 Khi đó 1 giờ vòi đó chảy được 1 bể x 1 giờ vòi khác chảy ra lượng nước bằng 4 bể. 5x 1 4 1 Theo đề bài ta có phương trình .5 x 5x 8 Giải phương trình tìm được x = 8 (TMĐK x>0) Vậy thời gian để vòi chảy đầy bể là 8 giờ Câu 5 (4 điểm): Trên AB lấy điểm F sao cho AF = AE B ADF = ADE (c.g.c) D F A C E suy ra: DF = DE, D· FA D· EA D· FA D· EA => D· FB D· EC Mà ·ABC D· EC (cùng phụ với góc C) Do đó D· FB ·ABC Suy ra BDF cân tại D Nên BD = DF = DE (theo chứng minh trên) Câu 6 (3 điểm): 2 2 2x 1 x2 2 x2 2 x 2 x 2x 1 M 2 2 x 2 x 2 2 2 x2 2 x 1 x 1 M 1 x2 2 x2 2 2 x 1 M lớn nhất khi nhỏ nhất. x2 2 2 2 2 x 1 2 Vì x 1 0x và x 2 0x nên 2 nhỏ nhất khi x 1 = 0. x 2 Dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 x 1 . Vậy Mmax = 1 khi x = 1. HẾT Lưu ý: 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
  16. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2014-2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ___ Câu 1 (2 điểm): Cho x, y thỏa x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức A = x3 + y3 + 3xy. x 2 1 10 x2 Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3 (3 điểm): Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài là 4 ; a ; 12. Biết rằng a là một số tự nhiên. Tìm a ? Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương ? Câu 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 90 0. Vẽ ra phía ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE (trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 900), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng: a. BI = CK; b. BC = DI + EK. 1 1 1 1 Câu 6 (3 điểm): Cho a, b, c thỏa mản a b c a b c Tính giá trị của biểu thức: M = (a19 + b19)(b5 +c5)(c2015 + a2015) HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
  17. PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Câu 1 (2 điểm): A = (x + y)(x2 - xy + y2) + 3xy (0.5 điểm) = x2 - xy + y2 +3xy (0.5 điểm) = x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = 1 (1 điểm) Câu 2 (4 điểm): x 2 1 10 x2 Biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rút gọn được kq: A (1 điểm) x 2 1 1 1 b. x x hoặc x 2 2 2 4 4 A hoặc A (1 điểm) 3 5 c. A 0 x 2 (1 điểm) 1 d. A Z Z x 1;3 (1 điểm) x 2 Câu 3 (3 điểm): Gọi x, y, z là độ dài 3 cạnh tương ứng với các đường cao bằng 4, a, 12. Ta có: 4x = 12y = az = 2S x = S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (1 điểm) Do x - y < z < x + y nên S S 2S S S 2 2 2 (1 điểm) 2 6 a 2 6 6 a 3 3, a , 6 Do a N nên a = 4 hoặc a = 5. (1 điểm) Câu 4 (4 điểm): Gọi abcd là số phải tìm. Với a, b, c, d N, 0 a,b,c,d 9,a 0 (0,5điểm) Ta có: abcd k2 với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m2 (0,5điểm) abcd k2 (0,5điểm) abcd 1353 m2 Do đó: m2 – k2 = 1353 (0,5điểm) (m + k)(m – k) = 123.11 = 41. 33 (k+m < 200) (0,5điểm) m + k = 123 m + k = 41 hoặc (0,5điểm) m – k = 11 m – k = 33 m = 67 m = 37 hoặc k = 56 k = 4 (0,5điểm)
  18. Kết luận abcd = 3136 (0,5điểm) Câu 5 (4 điểm): (Mỗi Câu 2 điểm) a) Vẽ AH  BC; ( H BC) của ABC Xét hai tam giác vuông AHB và BID có: BD = AB (gt) Góc A1 = góc B1 (cùng phụ với góc B2) AHB = BID (cạnh huyền, góc nhọn) (0,5điểm) AH  BI và DI = BH (1) (0,5điểm) Tương tự xét hai tam giác vuông AHC và CKE có: Góc A2 = góc C1 (cùng phụ với góc C2) và AC = CE (gt) AHC = CKE ( cạnh huyền, góc nhọn) AH = CK và EK = HC (2) (0,5điểm) từ (1) và (2) BI = CK. (0,5điểm) b) Cũng từ (1) và (2) Ta có: DI = BH (0,5điểm) và: EK = HC (0,5điểm) Từ đó BC = BH +HC = DI + EK. (1 điểm) 1 1 1 1 Câu 6 (3 điểm): M = a b c a b c 1 1 1 1 a b a b c c a b (a b) (1 điểm) ab c(a b c) (a + b)c(a + b +c) = -ab(a + b) (a + b)[c(a + b +c) + ab] = 0 (a + b)[c(a +c) + bc + ab] = 0 (a + b)[c(a +c) + b(c + a)] = 0 (a + b)(b +c)(c + a) = 0 (1 điểm) (a + b) = 0 hoặc (b + c) = 0 hoặc (c + a) = 0 a = -b ; b = -c ; c = -a M = 0 (1 điểm)
  19. HẾT Lưu ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.