Chuyên đề bồi dưỡng Số học Lớp 6 - Chuyên đề 4: Dãy số tự nhiên theo quy luật

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng Số học Lớp 6 - Chuyên đề 4: Dãy số tự nhiên theo quy luật

1. CHUYÊN ĐỀ 4: DÃY SỐ TỰ NHIÊN THEO QUY LUẬT a. DẠNG 1: MỘT SỐ DÃY SỐ TỔNG QUÁT 푛.(푛+1) A = 1+2+3+ +(n-1)+n = 2 (푛−1).푛.(푛+1) A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +. + (n – 1) n = 3 (푛−1).푛.(2푛+1) A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) = 6 (푛−2).(푛−1).푛.(푛+1) A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n = 4 푛.(푛+1)(2푛+1) A = 12 +22 +32+ +(n-1)2 +n2 = 6 푛.(푛+1) 2 A = 13 +23 +33+ +(n-1)3 +n3 = [ ] 2 A = 15 + 25 + + n5 = 1 .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 12 P n 1 1 A = 1+ p + p 2 + p3 + + pn = ( p 1) p 1 (n 1)Pn 1 pn 1 1 A = 1+ 2p +3p 2 + + ( n+1 ) pn = ( p 1) p 1 (P 1)2 A =1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1) = n2.(n + 1) A = 13+ +33 +53 + + (2n +1 )3 = (n +1)2.(2n2 +4n +1) 1 1 1 푛 A = = , ( n > 1 ) 1.2 2.3 n(n 1) 푛+1 1 1 1 1 푛.(푛+3) A = = = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 4.(푛+1).(푛+2) 3 5 2n 1 푛.(푛+2) A = = (1.2)2 (2.3)2 n(n 1)2 (푛+1)2 b. DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
2. Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: I. A = 1 + 2 + 3 + + 2015 II. B = 1 + 3 + 5 + + 1017 III. C = 2 + 4 + 6 + + 2014 IV. D = 1 + 4 + 7 + + 2008 V. E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 1001.1002 VI. F = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 2013.2015 VII. G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 2013.2014.2015 VIII. H = 12 +22 +32+ + 992 + 1002 IX. I = 12 +22 +32+ +10012 +10022 X. J = 6+16+30+48+ +19600+19998 XI. K = 2+5+9+14+ +4949+5049 XII. L = 22 +42 +62 + +982 +1002 XIII. M = 13+23+33+ +993+1003 XIV. N = 1 + 52 + 53 + + 5100 XV. O = 1 + 31 + 32 + + 3100 Bài 2: Tìm giá trị của x để thỏa mãn điều kiện: A. Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n B. Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 Hỏi : a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n C. Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33+ + 3118+ 3119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? D. Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 + 99 – 100 a) Tính A. b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? E. Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +
3. a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? F. Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 + a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. b) Tìm số hạng thứ 2004 của A. G. Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: (x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655 H. Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010 I. Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn 2, 4, 6, 8, Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang cuốn sách? J. Tích A = 1.2.3 500 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0? K. Tính giá trị của biểu thức sau: A = 9 + 99 + 999 + + 99⏟ 9 50 ℎữ 푠ố L. Cho A = 1 + 4 + 42 + + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3 HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: I. A = 1 + 2 + 3 + + 2015
4. 2015.(2015+1) 2015.2016 A = = = 2015.1008 = 2031120 2 2 II. B = 1 + 3 + 5 + + 1017 1017−1 B = (1017 + 1).( + 1) : 2 = 1018.509:2 = 259081 2 III. C = 2 + 4 + 6 + + 2014 2014−2 C= (2014 + 2).( + 1) : 2 = 2016.1007:2= 1015056 2 IV. D = 1 + 4 + 7 + + 2008 2008−1 D = (2008 +1).( + 1) : 2 = 2009.670:2= 673015 3 V. E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 1001.1002 (1002−1).1002.(1002+1) 1001.1002.1003 E = = = 335337002 3 3 VI. F = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 2013.2015 (2014−1).2014.(2.2014+1) 2013.2014.4029 F = = = 2722383213 6 6 VII. G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 2013.2014.2015 (2015−2).(2015−1).2015.(2015+1) 2013.2014.2015.2016 G = = 4 4 G = 4117265071920 VIII. H = 12 +22 +32+ + 992 + 1002 100.(100+1)(2.100+1) 100.101.201 H = = = 338350 6 6 IX. I = 12 +22 +32+ +10012 +10022 1002.(1002+1)(2.1002+1) 1002.1003.2005 I = = = 335839505 6 6 X. J = 6+16+30+48+ +19600+19998 1 .J = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + . + 98.100 + 99.101 2 1 (100−1).100.(2.100+1) 99.100.201 .J = = = 331650 2 6 6 a. J = 331650 . 2 = 663300 XI. K = 2+5+9+14+ +4949+5049 2K = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + + 99.102 2K = 1.(2 + 2) + 2.(2 + 3) + 3.(2 + 4) + + 99.(2 + 100)
5. 2K = 1.2 + 1.2 + 2.2 + 2. 3 + 3.2 + 3.4 + + 2.99 + 99.100 2K = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + 2.(1 + 2 + 3 + 4 + + 99) (100−1).100.(100+1) 99.(99+1) 2K = + 2. 3 2 2K = 333300 + 9900 2K = 343200 K = 343200 : 2 = 171600 XII. L = 22 +42 +62 + +982 +1002 L = 22.(12 + 22 + 32 + + 502) 50.(50+1)(2.50+1) 50.51.101 L = 4. = 4. = 171700 6 6 XIII. M = 13+23+33+ +993+1003 100.(100+1) 2 100.101 2 M = [ ] = [ ] = 50502 = 25502500 2 2 XIV. N = 1 + 52 + 53 + + 5100 N = 1+5.(1+5+52 + + 599 ) N = 1+5.( 1 + 5 +52+ + 599 + 5 100 - 5100 ) => N= 1+5.( N - 5100 ) => N = 1+ 5.N - 5101 A. 4N = 5101-1 5101−1 B. N = 4 XV. O = 1 + 31 + 32 + + 3100 3101−1 O = 2 Bài 2: Tìm giá trị của x để thỏa mãn điều kiện:  Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 + + 3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n Ta có A = 3.(1+ 3 + 32 + 33 + 34 + + 399) A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 399 + 3100 – 3100)
6. A = 3.(1 + A – 3100) A = 3 + 3.A - 3101 2A = 3101 – 3 3101−3 A = 2 C. 2A + 3 = 3n 3101−3  2. + 3 = 3n 2  3101 – 3 + 3 = 3n  3101 = 3n  n = 101  Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 Hỏi : o M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? Ta có: M chia hết cho 4 vì M = 3.(1 + 3) + 32.(1 + 3) + + 399.(1 + 3) M = 3.4 + 32.4+ + 399.4 M = 4.(3 + 32 + + 399) ⋮ 4 Ta có: M ⋮ 12 vì M = 4.(3 + 32 + + 399) ⋮ 4; 3 mà (4;3)=1 b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n M = 3.(1+ 3 + 32 + 33 + 34 + + 399) M = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34 + + 399 + 3100 – 3100) M = 3.(1 + M – 3100) M = 3 + 3.M - 3101 2M = 3101 – 3 3101−3 M = 2 D. 2M + 3 = 3n 3101−3  2. + 3 = 3n 2  3101 – 3 + 3 = 3n
7.  3101 = 3n  n = 101  Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33+ + 3118+ 3119 . Thu gọn biểu thức M. 3120−1 M = 2 . Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? 3120−1 Xét M = 2 Một số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. Do đó, 3120 =34.30 có tận cùng là 1 => M có tận cùng là 0 => M chia hết cho 5 M = 1 +3 + 32+ 33+ + 3118+ 3119 M =(1 +3 + 32) + 33.(1 +3 + 32) + + 3117.(1 +3 + 32) M = 13 + 33 .13 + + 3117 .13 M = 13.(1 + 33 + + 3117) ⋮ 13 Vậy M chia hết cho 5, chia hết cho 13.  Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 + 99 – 100 . Tính A. A = ( 1 + 3 + + 99) – (2 + 4 + + 100) 99−1 100−2 A = (99 + 1).( + 1 ): 2 – (100+2).( + 1 ): 2 2 2 A = 100.50:2 – 102.51:2 A = 2500 – 2601 = -101 . A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? A không chia hết cho 2, 3 và 5 . A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? Ư(A) ={-101; -1; 1; 101} và 4 ước nguyên. vậy A có 2 ước tự nhiên  Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 + . Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? A = 1 + 6 + 6 + .
8. 푛−1 푛−1 Nếu n lẻ : A = 1 + 6. = 181 => 6. = 180 => 2 2 푛−1 = 30 => n = 61 ( TM ) 2 푛 Nếu n chẵn: A = - 6 – 6 - 6 - . = (-6). = -3n = 181 2 (loại) Vậy A có 61 số hạng. . Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? 푛 Nếu n chẵn: A = - 6 – 6 - 6 - . = (-6). = -3n 2 푛−1 Nếu n lẻ: A = 1 + 6 + 6 + . = 1 + 6. = 3n - 2 2  Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 + . Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. Theo câu 5 n chẵn => A = -3n = -3.40 = -120 . Tìm số hạng thứ 2004 của A. Ta có số hạng thứ nhất: A1 = 1 2-1 Số hạng thứ 2: A2 = (-1) .(1 + 6) 3-1 Số hạng thứ 3: A3 = (-1) .(1 + 6.2) 4-1 Số hạng thứ 4: A4 = (-1) .(1 + 6.3) . n-1 Số hạng thứ n: An = (-1) .[1+6.(n-1)] 2003-1 n = 2004 => A2004 = (-1) .[1+6(2004-1)] = - (1+6.2003) A2004 = -12019  Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: (x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655  4.x + 2 + 12 + 42 + 47 = 655  4.x + 103 = 655  4.x = 655 – 103 = 552  x = 552 : 4 = 138  Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010 2010x + (1 + 2 + 3 + + 2009) = 2009.2010
9. 2009.(2009+1) 2010x + = 2009.2010 2 2010x = 2009.2010 – 2009.2010:2  x = 2009 – 2009: 2 = 1004,5  Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn 2, 4, 6, 8, Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang cuốn sách? Từ trang 2 đến trang 8 gồm: (8 - 2) : 2 +1 = 4 trang ứng với 4 chữ số Từ trang 10 - 98 gồm ( 98 - 10) : 2 + 1 = 45 trang ứng với 90 chữ số Từ trang 100 - 284 gồm (284 - 100) : 2 + 1 = 93 trang ứng với 93.3 = 279 chữ số Vậy bạn Lâm phải viết tất cả : 4 + 90 + 279 = 373 chữ số tương ứng với 373 giây hay 6 phút 13 giây .  Tích A = 1.2.3 500 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0? Số mũ của 5 trong 500! là 500 500 500 [ ]+[ ]+[ ]=124 5 52 53 Vậy tích 500! có tận cùng 124 chữ số 0.  Tính giá trị của biểu thức sau: A = 9 + 99 + 999 + + 99⏟ 9 50 ℎữ 푠ố 9 A = 10 – 1 + 102 – 1 + 103 – 1 + + 1050 – 1 A = 10 + 102 + 103 + + 1050 – (1⏟ + 1 + 1 + ⋯ + 1) 50 ℎữ 푠ố 1 A = 111⏟ 110 – 50 = 111⏟ .1060 50 ℎữ 푠ố 1 48 ℎữ 푠ố 1  Cho A = 1 + 4 + 42 + + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3 4100−1 4100 Ta có A = < = B (đpcm) 3 3