Chuyên đề bồi dưỡng Số học Lớp 6 - Chuyên đề 9: Dãy phân số theo quy luật

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng Số học Lớp 6 - Chuyên đề 9: Dãy phân số theo quy luật

1. CHUYÊN ĐỀ 9: DÃY PHÂN SỐ THEO QUY LUẬT a. DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ a. Bài tập minh họa: 푛+10 Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị là một số nguyên. 2푛−8 21푛+3 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A = 6푛+4 63 Bài 3: Cho phân số: A = với n thuộc số tự nhiên. 3푛+1 a. Với giá trị nào của n thì A rút gọn được. b. Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên? b. Bài tập tự luyện: 푛+3 Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị là số nguyên. 2푛−2 8푛+193 Bài 5: Tìm số tự nhiên n để phân số A = sao cho: 4푛+3 a. Có giá trị là số tự nhiên. b. Là phân số tối giản c. Với giá trị nào của n trong khoảng 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được? Bài 6: Tìm các giá trị nguyên của n để các phân số sau có giá trị là số nguyên: 3푛+4 a. A = 푛−1 6푛−3 b. B = 3푛+1 a. DẠNG 2: TÍNH NHANH
2. c. Bài tập minh họa: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 a. S = 1 + + + + ⋯ + 3 32 33 3푛 1 1 1 1 b. A 2 22 23 2100 1 1 1 1 c. C 1 1 1 1 2 3 4 99 3 8 15 899 d. D . . . 22 32 42 30 2 Bài 2: Tính các tổng sau: 1 1 1 1 a. A = + + + ⋯ + 1.2 2.3 3.4 999.1000 1 1 1 b. B = + + ⋯ + 1.6 6.11 496.501 1 1 1 1 c. C = + + + ⋯ + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 998.999.1000 1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+⋯+98) d. D = 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 1.98 2.97 3.96 98.1 e. B 1.2 2.3 3.4 98.99 1 1 1 1 f. E 2 3 4 200 1 2 3 198 199 199 198 197 2 1 d. Bài tập tự luyện: 1 1 1 1  A = 10.11 11.12 12.13 99.100  B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n .n!
3. 2 2 2  C = 1.2.3 2.3.4 98.99.100  D = 9 + 99 + 999 + + 99 9 (50 chữ số 9) 2 2 2  S 1.2.3 2.3.4 37.38.39 1 1 1 1 1 1  B 2 22 23 24 299 2100 1 1 1 100 1 2 3 100  D 1 2 3 99 2 3 4 100 b. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC e. Bài tập minh họa: Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản: 푛+1 2푛−3 2푛+3 4푛+8 3푛+2 5푛+3 1 1 1 1 Bài 2: Chứng minh rằng: 2 2 3 4 63 1 1 1 1 Bài 3: Cho A =1 + + + + ⋯ + 2 3 4 100 Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên. Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
4. 1 1 1 1 n a) 2.5 5.8 8.11 (3n 1)(3n 2) 6n 4 5 5 5 5 5n b) 3.7 7.11 11.15 (4n 1)(4n 3) 4n 3 Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n N;n 2 ta có: 3 3 3 3 1 9.14 14.19 19.24 (5n 1)(5n 4) 15 1 1 1 1 2 8 Bài 6: Cho A . Chứng minh A 22 32 42 92 5 9 1 1 1 Bài 7: Tổng + + ⋯ + bằng phân số . Chứng minh rằng a chia hết cho 50 51 99 149. f. Bài tập tự luyện: 2 2 2 2 1003 Bài 8: Cho A . Chứng minh: A 32 52 72 2007 2 2008 1 1 1 1 334 Bài 9: Cho B . Chứng minh: B 42 62 82 2006 2 2007 3 8 15 2499 Bài 10: Cho C . Chứng minh C > 48 4 9 16 2500 1 1 1 2 Bài 11: Cho M . Chứng minh M 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 59 3 1 1 1 1 Bài 12: Cho A . Chứng minh A 1.2.3 2.3.4 18.19.20 4 Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có: 1 1 1 1 1 A 23 33 43 n3 4 5 5 5 5 5 Bài 14: Cho C . Chứng minh: C 4 42 43 499 3
5. 1 2 3 100 3 Bài 15: Cho E . Chứng minh: E 3 32 33 3100 4 1 3 5 199 1 Bài 16: Cho C . . . Chứng minh: C 2 2 4 6 200 201 1 4 7 10 208 1 Bài 17: Cho A . . . . Chứng minh: A 3 6 9 12 210 25 DẠNG 4: TÌM X g. Bài tập minh họa: 1 1 1 1 101 Bài 1: Tìm x, biết rằng: + + + ⋯ + = 5.8 8.11 11.14 .( +3) 1540 50xx 25 1 Bài 2: Tìm x, biết rằng: x 11 100 200 4 30 200x Bài 3: Tìm x, biết rằng: x 5 . 5 100 100 Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820  Bài tập tự luyện: 1 1 1 2 1989 Bài 5: 1 + 1 3 6 10 x(x 1) 1991 1 1 1 1 15 Bài 6: 3.5 5.7 7.9 (2x 1)(2x 3) 93 7 4 4 4 4 29 Bài 7: x 5.9 9.13 13.17 41.45 45 DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ
6. Bài tập minh họa: 102004 1 102005 1 Bài 1: Cho A và B 102005 1 102006 1 So sánh A và B? Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 + + 1000 và B = 1.2.3 11 So sánh A và B? 1 1 1 1 1 Bài 3: So sánh L 1 1 1 1 với 2 3 4 20 21 1 1 1 1 11 Bài 4: So sánh M 1 1 1 1 với 4 9 16 100 19 Bài tập tự luyện: 1015+1 1016+1 Bài 1: Cho = và = 1016+1 1017+1 So sánh A và B? 101992+1 101993+1 Bài 2: Cho = và = 101991+1 101992+1 So sánh A và B? 1.3.5.7 39 1 Bài 3: So sánh U và V 21.22.23 40 220 1 Bài 4: So sánh:  637 và 1612 1 7 1 9  ( ) và ( ) 32 16 1 9 1 13  ( ) và ( ) 243 83  5299 và 3501
7.  323 và 515  12723 và 51318  199010 + 19909 và 199110  3500 và 7300  9920 và 999910  202303 và 303202 DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho: 4 1 − = 3 5 4 5 − = 3 6 Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho: 5 1 − = 3 6 2 1 − = 6 30 HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ b. DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ h. Bài tập minh họa:
8. 푛+10 Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số A = có giá trị là một số nguyên. 2푛−8 푛+10 2푛−8+28 28 A = => 2A = = 1 + Để 2A nguyên thì 2n – 8 phải là ước của 28 2푛−8 2푛−8 2푛−8 Ta có bảng đáp số: 2n - 8 n 2A A Kết luận -28 -10 -1 -1/2 L -14 -3 -2 -1 TM -7 ½ -4 -2 L -4 2 -7 -7/2 L -2 3 -14 -7 TM -1 7/2 -28 -14 L 1 9/2 28 14 L 2 5 14 7 TM 4 6 7 7/2 L 7 15/2 4 2 L 14 11 2 1 TM 28 18 1 1/2 L 63 Bài 3: Cho phân số: A = với n thuộc số tự nhiên. 3푛+1 1 Với giá trị nào của n thì A rút gọn được. 2 Với giá trị nào của n thì A là số tự nhiên? Hướng dẫn: 63 3.3.7 1 Ta có: A = = 3푛+1 3푛+1 Để A rút gọn được 3n + 1 3 hoặc 3n + 1 7. TH1: 3n + 1 3 (Vô lý) TH2: 3n + 1 7. Với n = 7k + 2 (k N) thì 3n + 1 7. 63 Kết luận: n = 7k + 2 (k N) thì phân số A = rút gọn được. 3푛+1 2 Để A là số tự nhiên 63 (3n + 1) 3n + 1 là ước của 63. Ư(63) = {1; 3; 7; 9; 21; 63}
9. 3푛 + 1 = 1 3푛 + 1 = 3 3푛 + 1 = 7 ⟺ {푛 = 2 3푛 + 1 = 9 3푛 + 1 = 21 {3푛 + 1 = 63 c. DẠNG 2: TÍNH NHANH i. Bài tập minh họa: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1  S = 1 + + + + ⋯ + 3 32 33 3푛 1 1 1 1 1 3S = 3 + (1 + + + + ⋯ + − ) 3 32 33 3푛 3푛 1 3S = 3 + S - 3푛 1 2S = 3 - 3푛 1 3 − 푛 S = 3 2 1 1 1 1  A 2 22 23 2100 1 1 1 1 1 2A = 1 + + + + ⋯ + − 2 22 23 2100 2100 1 2A = 1 +A - 2100 1 A = 1 - 2100 1 1 1 1  C 1 1 1 1 2 3 4 99
10. 3 4 5 100 100 C = . . = = 50 2 3 4 99 2 3 8 15 899  D . . . 22 32 42 30 2 Bài 2: Tính các tổng sau: 1 1 1 1 A = + + + ⋯ + 1.2 2.3 3.4 999.1000 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 - + - + - + + - 2 2 3 3 4 999 1000 1 999 A = 1 - = 1000 1000 1 1 1 B = + + ⋯ + 1.6 6.11 496.501 1 1 1 1 1 1 B = (1 − + − + ⋯ + − )= 5 6 6 11 496 501 1 1 100 B = (1 − ) = 5 501 501 1 1 1 1 C = + + + ⋯ + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 998.999.1000 Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 - = ; - = ; ; 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 1 1 2 - = 998.999 999.100 998.999.100 1 1 2 Tổng quát: - = 푛.(푛+1) (푛+1).(푛+2) 푛.(푛+1).(푛+2) 1 1 1 1 1 1 1 1 2C = - + - + + - = - 1.2 2.3 2.3 3.4 998.999 999.1000 1.2 999.1000 500.999−1 4951 2C = = 999.1000 999.1000 4999 C = 999.2000
11. 1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+3+⋯+98) D = 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 D = = 1 1.98+2.97+3.96+⋯+98.1 1.98 2.97 3.96 98.1 B 1.2 2.3 3.4 98.99 1 1 1 1 E 2 3 4 200 1 2 3 198 199 199 198 197 2 1 j. Bài tập tự luyện: 1 1 1 1  A = 10.11 11.12 12.13 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 A = − + − + − + ⋯ + − 10 11 11 12 12 13 99 100 1 1 9 A = − = 10 100 100  B = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n .n! Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = 3 ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! Vậy B = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1 2 2 2  C = 1.2.3 2.3.4 98.99.100
12. Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 - = ; - = ; ; - = 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 98.99 99.100 98.99.100 1 1 2 Tổng quát: - = 푛.(푛+1) (푛+1).(푛+2) 푛.(푛+1).(푛+2) 1 1 1 1 1 1 1 1 C = - + - + + - = - 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 1.2 99.100 50.99−1 4951 C= = 99.100 99.100  D = 9 + 99 + 999 + + 99 9 (50 chữ số 9) D = 10 – 1 + 100 -1 + 1000 – 1 + .+ 100⏟ .0 - 1 (50 푠 0) D = 111⏟ .10 – 50.1 = 111⏟ .1060 (50 푠 1) (48 푠 1) 2 2 2  S 1.2.3 2.3.4 37.38.39 S = Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 - = ; - = ; ; - = 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 37.38 38.39 37.38.39 1 1 2 Tổng quát: - = 푛.(푛+1) (푛+1).(푛+2) 푛.(푛+1).(푛+2) 1 1 1 1 1 1 1 1 C = - + - + + - = - 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 1.2 38.39 19.39−1 370 C = = 38.39 19.39 1 1 1 1 1 1  B 2 22 23 24 299 2100
13. 1 1 1 100 1 2 3 100  D 1 2 3 99 2 3 4 100 d. DẠNG 3: CHỨNG MINH BIỂU THỨC k. Bài tập minh họa: Bài 1: Chứng minh rằng các phân số sau tối giản: 푛+1 2푛−3 2푛+3 4푛+8 3푛+2 5푛+3 1 1 1 1 Bài 2: Chứng minh rằng: 2 2 3 4 63 1 1 1 1 Bài 3: Cho A =1 + + + + ⋯ + 2 3 4 100 Chứng minh rằng tổng A không phải là số tự nhiên. Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: 1 1 1 1 n a) 2.5 5.8 8.11 (3n 1)(3n 2) 6n 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 VT = ( − + − + − + ⋯ + − ) 3 2 5 5 8 8 11 3푛−1 3푛+2 1 1 1 1 3푛 푛 = ( − ) = ( ) = = VP (đpcm) 3 2 3푛+2 3 2(3푛+2) 6푛+4
14. 5 5 5 5 5n b) 3.7 7.11 11.15 (4n 1)(4n 3) 4n 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1 VT = ( − + − + − + ⋯ + − ) 4 3 7 7 11 11 15 4푛−1 4푛+3 5 1 1 5 4푛 5푛 = ( − ) = . = 4 3 4푛+3 4 3(4푛+3) 3(4푛+3) Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n N;n 2 ta có: 3 3 3 3 1 9.14 14.19 19.24 (5n 1)(5n 4) 15 3 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có VT = ( − + − + − + ⋯ + − ) 5 9 14 14 19 19 24 5푛−1 5푛+4 3 1 1 3 1 1 = ( − ) đpcm 5 9 5푛+4 5 9 15 1 1 1 1 2 8 Bài 6: Cho A . Chứng minh A 22 32 42 92 5 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A > + + + + = - + - + + - 2.3 3.4 4.5 9.10 2 3 3 4 9 10 1 1 4 2 = - = = (1) 2 10 10 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 A đpcm 1 1 1 Bài 7: Tổng + + ⋯ + bằng phân số . Chứng minh rằng a chia hết 50 51 99 cho 149. l. Bài tập tự luyện:
15. 2 2 2 2 1003 Bài 8: Cho A . Chứng minh: A 32 52 72 2007 2 2008 2 2 1 1 Ta có: 48 4 9 16 2500 C có 49 số hạng 3 8 15 2499 Ta có: C – 49 = -(1 - + 1 - + 1 - + + 1 - ) 4 9 16 2500 1 1 1 1 b) C – 49 = - ( + + + ⋯ + ) 4 9 16 2500 1 1 1 1 c) C = 49 - ( + + + ⋯ + ) = 49 – D 4 9 16 2500 1 1 1 1 1 1 1 Xét D = + + + ⋯ + = + + + 4 9 16 2500 22 32 502 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D 49 – D > 49 – 1 = 48 d) C > 48 (đpcm)
16. 1 1 1 2 Bài 11: Cho M . Chứng minh M 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 59 3 푛(푛+1) Áp dụng công thức: 1 +2+ 3 + + n = 2 2 2 2 1 1 1 M = + + + = 2( + + + ) 3.4 4.5 59.60 3.4 4.5 59.60 1 1 1 1 1 1 1 1 19 19 20 2 = 2( − + − + − ) = 2 ( − ) = 2. = < = 3 4 4 5 59 60 3 60 60 30 30 3 2 e) M < (đpcm). 3 1 1 1 1 Bài 12: Cho A . Chứng minh A 1.2.3 2.3.4 18.19.20 4 Áp dụng phương pháp khử liên tiếp ta viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số sao cho số trừ ở nhóm trước bằng số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 - = ; - = ; ; - = 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 18.19 19.20 18.19.20 1 1 2 Tổng quát: - = 푛.(푛+1) (푛+1).(푛+2) 푛.(푛+1).(푛+2) 2 2 2 Do đó: 2A = + + + 1.2.3 2.3.4 18.19.20 1 1 1 1 1 1 = ( − ) + ( − ) + + ( − ) 1.2 2.3 2.3 3.4 18.19 19.20 1 1 189 = - = 1.2 19.20 380 189 190 1 f) A = < = (đpcm) 760 760 4
17. Bài 13: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có: 1 1 1 1 1 A 23 33 43 n3 4 1 1 1 1 A < + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (푛−1)푛(푛+1) Nhận xét: mỗi số hạng tổng có dạng: 1 1 1 1 = . ( − ) (푛−1)푛(푛+1) 2 푛(푛−1) 푛(푛+1) Từ đó suy ra: 1 1 1 1 1 1 1 A < .( − + − + ⋯ + − ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (푛−1).푛 푛.(푛+1) 1 1 1 1 1 1 = .( − ) < . = (đpcm) 2 2 푛.(푛+1) 2 2 4 5 5 5 5 5 Bài 14: Cho C . Chứng minh: C 4 42 43 499 3 Hướng dẫn giải: ⟺ 5 5 5 5 ⟺4C 1 41 42 498 5 ⟺ 3C = 5 - 499 5 ⟺ C < 3 1 2 3 100 3 Bài 15: Cho E . Chứng minh: E 3 32 33 3100 4 Hướng dẫn giải:
18. 1 2 3 100 E 3 32 33 3100 1 2 3 100 ⟺ 3E 1 31 32 399 1 2 1 3 2 100 99 100 ⟺ 2E 1 3 3 32 32 399 399 3100 1 1 1 100 ⟺ 2E 1 (1) 31 32 399 3100 1 1 100 ⟺ 6E 3 1 (2) 31 398 399 Từ (1), (2) suy ra: 101 100 4E 3 399 3100 3 101.3 100 3 ⟺ E ( ) 4 3100 4 1 3 5 199 1 Bài 16: Cho C . . . (1) Chứng minh: C 2 2 4 6 200 201 Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn, các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số tăng thêm, do đó: 2 4 6 200 C < . . (2) 3 5 7 201 Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được: 1 3 5 199 2 4 6 200 C2 < ( . . ).( . . ) 2 4 6 200 3 5 7 201
19. 1 Vế phải của bất đẳng thức trên bằng 201 1 Vậy C2 x - = 8 4  5x = 90  x = 18
20. 30 200x Bài 3: Tìm x, biết rằng: x 5 . 5 100 100  (x – 5).30 = 200x + 500 (x – 5).3 = 20x + 50  3x – 15 = 20x + 50  17x = -65 65  x = - 17 Bài 4: 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820 ( +1)  = 820 2  x(x+1) = 1640 = 40.41 Vậy x = 40 DẠNG 5: SO SÁNH PHÂN SỐ Bài tập minh họa: 102004 1 102005 1 Bài 1: Cho A và B 102005 1 102006 1 So sánh A và B? Ta có: 102005+10 9 10A = = 1 + 102005+1 102005+1 102006+10 9 10B = = 1 + 102006+1 102006+1
21. 9 9 Vì > nên 10A > 10B, do đó A > B. 102005+1 102006+1 Bài 2: Cho A = 1 + 2 + 3 + + 1000 và B = 1.2.3 11 So sánh A và B? (1+1000).1000 Ta có: A = 106 Vậy A 2 3 4 20 20 21 1 Vậy L > 21 1 1 1 1 11 Bài 4: So sánh M 1 1 1 1 với 4 9 16 100 19 Ta có: 3 8 15 99 1.3.2.4.3.5 8.10.9.11 (1.2.3 9).(3.4 11) 1 11 11 11 M = . . = = = . = < 4 9 16 100 22.32.42 92.102 (1.2.3 10)(1.2.3 10) 10 2 20 19 Bài tập tự luyện: 1015+1 1016+1 Bài 1: Cho = và = 1016+1 1017+1 So sánh A và B? Ta có:
22. 1016+10 9 10A = = 1 + 1016+1 1016+1 1017+10 9 10B = = 1 + 1017+1 1017+1 9 9 Vì > nên 10A > 10B, do đó A > B. 1016+1 1017+1 101992+1 101993+1 Bài 2: Cho = và = 101991+1 101992+1 So sánh A và B? + Áp dụng tính chất: nếu > 1 thì 0) + Vì B > 1 nên 101993+1 101993+1+9 101993+10 10.(101992+1) B = > = = = 101992+1 101992+1+9 101992+10 10.(101991+1) 101992+1 = A 101991+1 Vậy A U < V 220 220−1 Bài 4: So sánh: a. 637 và 1612 637 < 647 = (82)7 = 814
23. 1612 = (24)12 = 248 = 23.16 = (23)16 = 816 814 => ( ) > ( ) 235 236 32 16 1 9 1 13 c. ( ) và ( ) 243 83 1 9 1 45 1 13 1 13 1 13 1 52 ( ) = ( ) và ( ) ( ) => ( ) > ( ) 3 3 243 83 d. 5299 và 3501 5299 5.(52)7 = 515 f. 12723 và 51318 12723 51218 = (29)18 = 2162 Vì 2162 > 2161 nên 51318 > 12723 g. 199010 + 19909 và 199110 19909.(1990+1) = 1991.19909 199110 = 1991.19919 Vì 19919 > 19909 nên 1991.19919 > 1991.19909 => 199110 > 199010 + 19909 h. 3500 và 7300
24. 3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100 Vì 243100 3500 99 nên 10110 > 9910 => 10110 . 9910 > 9910. 9910 Vậy 999910 > 9920 j. 202303 và 303202 Vì 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.1012)101 Và 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Mà (808.1012)101 > (9.1012)101 nên 202303 > 303202 DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ THỎA MÃN BIỂU THỨC Bài 1: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho: 4 1 − = 3 5 Đkxđ : y ≠ 0 4 1 − = 3 5 −12 1  = 3 5  5xy – 60 = 3y  y(5x – 3) = 60 60  y = 5 −3 Vì y là số tự nhiên nên 5x – 3 phải là ước của 60
25. Vì x cũng là số tự nhiên nên giá trị của x thỏa mãn là x = 1; x = 3 Vậy x = 3, y = 5; x = 1, y = 30 4 5 − = 3 6 Đkxđ: x ≠ 0 4 5 − = 3 6 12− 5  = 3 6  24 – 2xy= 5x  x(5 + 2y) = 24 24  x = 5+2 Vì x là số tự nhiên nên 5 +2y là ước của 24 , vì y cũng là số tự nhiên nên không có giá trị nào của x, y thỏa mãn. Bài 2: Tìm các số nguyên x và y sao cho: 5 1 − = 3 6 Đkxđ: x≠0 5 1 − = 3 6 30−2 = 6 6 x+2xy=3 30 x = 1+2 x nguyên nên 2y + 1 là ước lẻ của 30. Ta có:
26. 2y+ 1 1 -1 3 -3 5 -5 15 -15 2y 0 -2 2 -4 4 -6 14 -16 y 0 -1 1 -2 2 -3 7 -8 x 30 -30 10 -10 6 -6 2 -2 2 1 − = 6 30 Đkxđ : y ≠ 0 2 1 − = 6 30 −12 1  = 6 30 5 −60  = 30 30 5xy – 60 = y 5xy – y = 60 y (5x – 1) = 60 60  y = 5 −1 Vì y là số nguyên nên 5x – 1 phải là ước của 60 và chia cho 5 thiếu 1. Ta có: 5x – 1 -1 4 -6 5x 0 5 -5 x 0 1 -1 y -60 15 -10