Đề chọn học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ba Đình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề chọn học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ba Đình (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9- VÒNG 2 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Đề số 20 Câu 1. (3 điểm) a) Cho các số thực dương abc, , thỏa mãn abcabc++=++= 2 abc 2 Chứng minh rằng: ++= . 111+++abc (1)(1)(1)+++abc b) Cho số tự nhiên n thỏa mãn: 21n + và 31n + đều là số chính phương. Chứng minh rằng: chia hết cho 40. Câu 2. (6 điểm) a) Giải phương trình: 2313225316xxxxx+++=+++− 2 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( ;xy ) thỏa mãn phương trình: (xyxyxyxy22+++−−=+112141)( ) ( )( ) ( ) c) Trên mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng (dyxdyx12) :1;:1= −+=− ( ) . Tìm giá trị của a sao cho các đường thẳng (dd12),( )và (d3 ) cắt nhau tại một điểm. Biết rằng: 1 (dyaxaa) : = −+−− 32 3 3 Câu 3. (4 điểm) Cho abc,, là các số thực dương a) Biết abc 19;12;20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P= a + b + c + + + . a b c b) Biết abc = 1. Chứng minh rằng: a b c 1 + + . (ab+ a +1)2( bc + b + 1) 2( ca + c + 1) 2 a++ b c Câu 4. (4 điểm) Cho tam giác đều ABC có độ dài bằng 1. Gọi D là điểm bất kì trên cạnh BC ( D không trùng với B và C ). Gọi rr12; lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và ACD. a) Đặt BD x= (điều kiện 01 x ). Tính theo x . b) Xác định vị trí điểm trên cạnh để tích rr12. lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Câu 5. (3 điểm) 62+ a) Không dùng bảng số hoặc máy tính, chứng minh rằng: sin75= . 4 b) Cho hai điểm AB; không thuộc đường thẳng xy và nằm cùng phía với đường thẳng . Xác định điểm M thuộc đường thẳng sao cho AMxBMy= 2 . c) Cho n điểm phân biệt trên một mặt phẳng, sao cho cứ ba điểm bất kì trong các điểm đó là các đỉnh của một tam giác vuông. Tìm giá trị lớn nhất có thể của . HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN BA ĐÌNH Năm học: 2020-2021 Câu 1. (3 điểm) a) Cho các số thực dương abc, , thỏa mãn abcabc++=++= 2 a b c 2 Chứng minh rằng: + + = . 111+++a b c (1+++a )(1 b )(1 c ) b) Cho số tự nhiên n thỏa mãn: 21n + và 31n + đều là số chính phương. Chứng minh rằng: chia hết cho 40. Lời giải a) Từ giả thiết 222 Đặt xaybzcxaybzc=== ===;;;; Thay vào giả thiết, ta có: 2222222 2 xyzxyzxyyzzxxyzxyz++=++= ++=++−++=−=22()222 ( ) ( ) 2 Do đó x y y+ z + z x = 1. Nên 1+=+++=++axyyzzxxxyxz ( )( ) Tương tự 1;1+=+++=++bxyyzczyzx( )( ) ( )( ) a b c x y z + + = + + 111+a + b + cxyxz( +)( +) ( xyyz +)( +) ( zxzy +)( + ) x( y+ z) + y( z + x) + z( x + y) 2( xy + yz + zx) == ( x+ y)( y + z)( z + x) ( x+ y)2( y + x) 2( z + x) 2 2 = . (111+++a)( b)( c) Suy ra đpcm. b) Đặt 2n+ 1 = x22 ;3 n + 1 = y (xNyN ; ) Thì x là STN lẻ, nên có: 2 xkk=+ +2121212131 Nnknk( =+ knk) 61ky =+ 1 +( =+) + = ( ) ( ) 2 2 Nên y là STN lẻ, đặt yttNntnt=+ +213121341( t =+ =+) 8 ( ) ( ) Mà (3;818) = n (1) Có số chính phương chia cho 5 dư 0,1 hoặc 4 Mà x22+ y =52 n + chia cho 5 dư 2 Từ đó 21n + chia cho 5 dư 1 nên 2n chia hết cho 5 n 5 (2) Từ (1) và (2) kết hợp với (5;8) = 1 n 40 . Câu 2. (6 điểm) a) Giải phương trình: 2x+ 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x2 + 5 x + 3 − 16 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (;)xythỏa mãn phương trình: (x22+1)( y + 1) + 2( x − y)( 1 − xy) = 4( 1 + xy) c) Trên mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng (d12) : y= − x + 1;( d) : y = x − 1. Tìm giá trị của
3. a sao cho các đường thẳng (dd12),( )và (d3 ) cắt nhau tại một điểm. Biết rằng: 1 (dyaxaa) : =−+−− 32 3 3 Lời giải a) Điều kiện: x −1 Đặt 2x+ 3 + x + 1 = u ,( u 0), ta có: u2=++3 x 422 x 2 ++=+ 5 x 3( 3 x 22 x 2 ++−+ 5 x 31620) Suy ra ta có phương trình u22= u +20 u − u − 20 = 0 u = 5(do u 0 ) Với u = 5 ta được 2xx+ 3 + + 1 = 5. Giải phương trình được x = 3 . Vậy phương trình có nghiệm . 2 b) Viết lại phương trình đã cho về dạng (xy+−=114)( ) Với (xy+−===−−=−−1121.22.11)( ) .22.1 ( ) ( ) ( ) ( ) Phân chia các trường hợp, giải được (xy;1;2,2;1,3;0,0;3) =−−−( ) ( ) ( ) ( ) Với (xy+−=1122.11.22.11.2)( −= −=) −=−=− ( ) ( ) Phân chia các trường hợp, giải được (xy;1;0,0;1,3;2,2;3) =−−−( ) ( ) ( ) ( ) Kết luận nghiệm: PT có 8 nghiệm nguyên như trên. c) Giao điểm của (d1 ) và (d2 ) có tọa độ là (xy; 1;0) = ( ) Từ đó thay x = 1 và y = 0 vào PT (d3 ) ta được 11 aaaaaaaaa323232−−= =++ =++ 3331 33 3 =+ =+4141aaaa3 3 ( ) 1 −= =aa3 411 ( ) 3 41− Câu 3. (4 điểm) Cho abc,, là các số thực dương 111 a) Biết abc 19;12;20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Pabc=+++++ . abc abc 1 b) Biết abc = 1. Chứng minh rằng: ++ . (ab+ abc ++111)222 bca ++( + c ) ( ) a++ b c Lời giải aba 111 360 143 399 a) Ta có: Pabc=+ ++ ++ +++ 361144400361 abc 144 400 Theo BĐT Cô si cho 2 số dương: aa1 1 2 + 2. = 361aa 361 19 bb1 1 2 + 2. = 144bb 144 12
4. cc112 + = 2. 40040020cc Mặt khác từ giả thiết abc 19;12;20 360143399360143399360143399 19.12.20abc++ ++=++ Ta có: 361144400361144400191220 Cộng ba BĐT cùng chiều, ta được: aba 111360143399 Pabc=++++++++ 361144400361144400abc 222360143399362145401 +++++=++ 191220191220191220 Dấu “=” xảy ra khi abc===19;12;20 . 362145401 Vậy MinP =++ khi . 191220 b) Do abc = 1 abc Nên ++= 1 ababcbcac++++++111 Theo BĐT Bunhiacopxki, ta có: abc 222++++ .(abc ) (ababcbcac+++++111) + ( ) ( ) 2 abc ++= 1 ababcbcac+++++111 + abc 1 Từ đó ++ (ababcbcac++++++111)222 ( ) ( ) abc++ Câu 4. (4 điểm) Cho tam giác đều A B C có độ dài bằng 1. Gọi D là điểm bất kì trên cạnh BC ( D không trùng với B và C ). Gọi rr12; lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và ACD. a) Đặt BD x= (điều kiện 01 x ). Tính theo x . b) Xác định vị trí điểm trên cạnh để tích rr12. lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Lời giải
5. 1 a) Gọi H là trung điểm của BC =H − D x 2 3 A B C đều =AH 2 Ta có: ADAHHDADxx2222=+ =−+ 1 13x Xét ABD có: SAH== BD ABD 24 ABADBDxxx++++−+ 112 Lại có: Sprrr=== ABDABD 111 22 x 3 =r1 2( 1+x + x2 − x + 1) (13− x) 1+ 1 −x + x2 − x + 1 Tương tự: Sr== . ACD 422 (13− x) =r2 2 221( −+−+xxx ) b) Xét ABD có: 2MD= AD + BD − AB = x + x2 − x + 1 − 1 Tương tự: 211NDxxxxxx= 11 − +−22 + − =− + − 4MDNDxxx . =+( 2 −+− 1 1)( xx 2 −+−=−+− 1 x) 1 xxxx 2 −+ 1 2 2 1 3 3 4MD . ND =− 1 x −+=− x 1 1 x − + − 1 2 4 2 23− MD. ND 8
6. 23− Dễ thấy = = OMDDNIOM∽ INMD NDr rMD ND 12 8 1 Dấu “=” xảy ra =x 2 Câu 5. (3 điểm) 62+ a) Không dùng bảng số hoặc máy tính, chứng minh rằng: sin75= . 4 b) Cho hai điểm AB; không thuộc đường thẳng xy và nằm cùng phía với đường thẳng . Xác định điểm M thuộc đường thẳng sao cho AMx= 2 BMy . c) Cho n điểm phân biệt trên một mặt phẳng, sao cho cứ ba điểm bất kì trong các điểm đó là các đỉnh của một tam giác vuông. Tìm giá trị lớn nhất có thể của . Lời giải a) Xét A B C có ABBC===90 ;75 ;4 Vẽ trung tuyến AM và đường cao AH , ta có AMBM==2 và C =15 . Suy ra AMB =30 Vì AHM vuông tại H có AMH =30 , nên AH = 1 = =+HMHC 323 Trong tam giác vuông A H C có ACHCAH222=+. 2 =++=+AC 2314. 23 2 ( ) ( ) =+AC 223 AC 2 2++ 3 4 2 3 sinB = sin75  = = = BC 4 22 1++ 32( 1+ 3) 6 2 = = = 22 44 đpcm . b)
7. - Dựng điểm C đối xứng với B qua xy . - Dựng đường tròn tâm tiếp xúc với tại D ; - Dựng tiếp tuyến At với đường tròn (C; C D ), cắt tại sao cho C nằm trong góc y M t . Khi đó AMxtMyCMyBMy=== 22. c) Xét các đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ trong n điểm đã cho; chọn đoạn thẳng có độ dài lớn nhất trong các đoạn thẳng đó là AB thì các điểm còn lại đều tạo với AB tam giác vuông có cạnh huyền là . Suy ra các điểm đó thuộc đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi C là điểm thứ ba trong các điểm đó. Theo đề bài ta có tam giác ABC vuông tại C , tức là điểm C thuộc đường tròn (O). Gọi D là điểm thứ tư trong các điểm đó. Tam giác ABD vuông tại D , tức là điểm D thuộc đường tròn . Xét tam giác ACDlà tam giác vuông nội tiếp đường tròn (O)đường kính .
8. Suy ra CD là đường kính của đường tròn(O). Giả sử tồn tại điểm thứ năm E trong các điểm đó. Tam giác ABE vuông tại E , tức là điểm thuộc đường tròn . Khi đó tam giác A C E nội tiếp đường tròn và không có góc nào là góc vuông (vì các cạnh của tam giác không là đường kính của đường tròn ): mâu thuẫn với điều giả sử. Do đó điều giả sử sai. Vậy giá trị lớn nhất có thể của n là 4. HẾT