Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Lang Chánh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Lang Chánh (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN LANG CHÁNH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 - 2023 Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 01 tháng 4 năm 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm)  − 3 4  7  − 4 7  7 a) Tính bằng cách hợp lí: A =  +  : +  +  :  7 11 11  7 11 11 b) Tính: B =22022 − 2 2021 − 2 2020 − −− 2 1 2530⋅+ 7 25 13 ⋅ 27 c) Tính giá trị của biểu thức C = 210 .5 7 .( 2 17+ 5 20 ) Bài 2: (4,0 điểm) xyz−−−132 a) Tìm xyz,, biết = = và xyz−+=344. 243 bc−−− ca ab b) Cho abc,, thỏa mãn ++=2022 (a−− ba )( c ) ( b −− ab )( c ) ( c −− ac )( b ) 111 Tính giá trị biểu thức Q =++ ab−−− bc ca Bài 3:(4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên (;xy ) thoả mãn: x2 +−−+= xy3 y 5 x 30 b) Cho các số nguyên tố p và q thoả mãn: pq22−=2 17 . Tính (pq++ )4 15 Bài 4:(6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A =60 ° ( góc B và góc C nhọn). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D , tia phân giác của góc C cắt AB tại E . BD cắt CE tại I .Trên cạnh BC lấy F sao cho BF= BE . Trên tia IF lấy M sao cho IM= IB + IC . a) Tính góc BIC và chứng minh ID= IF . b) Chứng minh tam giác BCM là tam giác đều. c) Tìm điều kiện của tam giác ∆ABC để D và E cách đều đường thẳng BC . Bài 5: (2,0 điểm) Cho các số không âm x, y, z thoả mãn: xz+=3 2022 và xy+=2 2023 1 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: Axyz=+++ . 2 HẾT! Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: SBD
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 NĂM HỌC 2022-2023 Câu Ý Nội dung36 Điểm Bài  − 3 4  7  − 4 7  7 4đ a). Tính bằng cách hợp lí: A =  +  : +  +  : 1: 4đ  7 11 11  7 11 11 b) Tính: S =22022 − 2 2021 − 2 2020 − −− 2 1 2530⋅+ 7 25 13 ⋅ 27 c) Tính giá trị của biểu thức C = 210 .5 7 .( 2 17+ 5 20 ) a  − 3 4  7  − 4 7  7  − 3 4  11  − 4 7  11 a) A =  +  : +  +  : =  + . +  + . 1đ  7 11 11  7 11 11  7 11 7  7 11 7 0,25  − 3 4 − 4 7  11 11 = + + + . = 0. = 0  7 11 7 11 7 7 Vậy A = 0 0,5 0,25 b b) S =22022 − 2 2021 − 2 2020 − −− 2 1 1,5đ S =22022 −( 2 2021 + 2 2020 + ++ 2 1) Đặt P =22021 + 2 2020 + ++ 2 1 2022 2021 2020 2P = 2 + 2 + 2 ++ 2 0,5 −=2022 + 2021 + 2020 ++ −2021 + 2020 +++ 2PP( 2 2 2 2) ( 2 2 2 1) 2022 2PP−= 21 − P =212022 − 0,5 Do đó: S =22022 −( 2 2022 −= 11) Vậy S =1 0,25 0,25 c c) Tính giá trị của biểu thức 1,5đ 2530⋅+ 7 25 13 ⋅ 27 C = 210 .57 .( 2 17+ 5 20 ) 2513 ⋅ 7.2( 17 + 520 ) = 210 .5 7 .( 2 17+ 5 20 ) 36 0,5 2513 ⋅ 7 = 210 .5 7 = 23 = 8 0,5 0,25
3. 0,25 xyz−−−132 Bài a) Tìm xyz,, biết = = và xyz−+=344. 4đ 2: 4đ 243 bc−−− ca ab b) Cho abc,, thỏa mãn ++=2022 (a−− ba )( c ) ( b −− ab )( c ) ( c −− ac )( b ) 111 Tính giá trị biểu thức Q =++ ab−−− bc ca xyz−1 − 3 − 2 x − 13948 y − zx − −−++− 13948 y z a = = = = = = = 2 0,75 2đ 2 4 3 2 12 12 2−+ 12 12 xy−−13 z − 2 =⇒=2xy 5; =⇒= 2 11; =⇒= 2 z 8 0,75 24 3 Vậy xy=5; = 11; z = 8 0,5 bc−−− ca ab b ++=2022 2đ (a−− ba )( c ) ( b −− ab )( c ) ( c −− ac )( b ) (ba−−− )(ca)( cb −−− )( ab ) ( ac −−− )( bc ) ⇒+ + =2022 0,75 (a−− ba )( c ) ( b −− ab )( c ) ( c −− ac )( b ) 111111 ⇒+++++=2022 ca− ab −−−−− ab bc bc ca 0,5 111 0,5 ⇒2 ++ =2022 ab−−− bc ca 111 Vậy ++=1011 0,25 ab−−− bc ca Bài 3: a) Tìm các cặp số nguyên (;xy ) thoả mãn: x2 +−−+= xy3 y 5 x 30 4đ (4đ) b) Cho các số nguyên tố p và q thoả mãn: pq22−=2 17 . Tính (pq++ )4 15 a Ta có: x2 +−−+= xy3 y 5 x 30 2đ Suy ra: x2 +−−−+= xy23363 x y x ⇒xxy( +− 2) − 3( xy +− 2) = 3 0,5 ⇒(x − 3)( xy +− 2) = 3 Do xy, là số nguyên nên ta có: 0,5 (x− 3)( xy +− 2) == 3 1.3 = 3.1 =−−=−− ( 1)( 3) ( 3)( 1) 0,5 x −=31 x −=33 ⇒  hoặc  xy+−=23 xy+−=21 0,25
4. x −=−31 x −=−33 0,25 hoặc  hoặc  xy+−=−23 xy+−=−21 Từ đó tìm được các cặp (x;y) là: (4;1), (6;-3), (2; -3), (0; 1) b Ta có: 2đ pq22−=2 17 ⇒pq22 −=1 2 + 16 ⇒(pp − 1)( += 1) 2 q2 + 16 2 0,5 Mà p−+1 p += 1 2 ⇒ ( pp − 1)( + 1) 2 suy ra pp−+1; 1 là hai số chẵn liên tiếp⇒−(pp 1)( + 1) 8 0,5 2 22 0,5 ⇒+2q 16 8 ⇒ 2 qqq  8 ⇒  4 ⇒ 2 22 Mà q là số nguyên tố ⇒=q 2 ⇒p =2.2 += 17 25 0,25 Mà p là số nguyên tố ⇒=p 5. Ta có: (pq+ )44 +=+ 15 (5 2) += 15 2416 . 0,25 Vậy: (pq+ )4 += 15 2416 Bài Cho tam giác ABC có góc A =60 ° ( góc B và góc C nhọn). Tia phân giác 6đ 4: của góc B cắt AC tại D , tia phân giác của góc C cắt AB tại E . BD cắt (6đ) CE tại I .Trên cạnh BC lấy F sao cho BF= BE . Trên tia IF lấy M sao cho IM= IB + IC . a) Tính góc BIC và chứng minh ID= IF . b) Chứng minh tam giác BCM là tam giác đều. c) Tìm điều kiện của tam giác ∆ABC để D và E cách đều đường thẳng BC .
5. a 2đ ∆ABC có A=60 °⇒ BC + = 120 ° 1 1 0,5 ⇒+IBC CCB = B + C =.120 °= 60 ° 2 ( ) 2 0,5 ⇒=°BIC 120 . ∆=∆ ⇒ = =° Chứng minh BIF BIE(c-g-c) BIF BIE 60 0,5 ⇒==°FIC DIC 60 Chứng minh ∆FIC =∆ DIC(g-c-g) ⇒= ID IF . 0,5 b Trên đoạn thẳng IM lấy K sao cho IK= IB ⇒∆IBK đều 0,5 2đ ⇒=IB BK . Chứng minh ∆=∆IBC KBM(c-g-c) ⇒= BC BM (1) 0,5 0,5 ∆IBK đều ⇒=°IBK 60 mà IBC =⇒=° KBM CBM 60 (2) Từ (1) và (2) ⇒∆BCM là tam giác đều 0,5 c ∆BIF =∆⇒= BIE IF IE , mà ID=⇒= IF ID IE . 0,5 2đ ⇒∆IDE cân tại I , mà DIE =120 °⇒ IDE = 30 ° 0,5
6. Kẻ EN⊥ BC và DQ⊥⇒ BC EN// DQ 0,5 EN=⇔ DQ ED// BC ⇔=° DBC 30 ( vì IDE =30 ° ) ⇔ABC =60 °⇔∆ ABC là tam giác đều. 0,5 Bài Cho các số không âm x, y, z thoả mãn: xz+=3 2022 và xy+=2 2023. Tính 2đ 1 5: 2đ trị lớn nhất của biểu thức: Axyz=+++ . 2 Ta có: x + 3z = 2022 (1) và x + 2y = 2023 (2) Từ (1) ⇒=xz2022 − 3 −= Trừ vế theo vế (2) cho (1), ta được: 231yz 13+ z ⇒=y 2 Khi đó: 0,5 1 13+ z 1 Axyz=+++ =(2022 − 3z ) + ++ z 2 22 11 3 =2022 ++− 3z + zz + 22 2 1 0,5 =2023 − z 2 11 Vì zz≥⇒−≤⇒0 0 2023 − z ≤ 2023 22 0,5 ⇒≤A 2023 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:  z = 0  x = 2022 0,25  1 y =  2  z = 0 0,25  Vậy: GTLN của Abằng 2023 ⇔ x = 2022  1 y =  2 Lưu ý:-Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -Bài hình vẽ hình sai hoặc không vẽ hình không chấm điểm. các trường hợp khác do tổ chấm thống nhất.