Đề giao lưu học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG HUYỆN CẨM THỦY NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi : Toán - Lớp 7 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : / /2023 (Đề thi có 01trang, gồm 05 bài) Bài 1: (4,0 điểm) 212.35 46.92 510.73 255.492 1. Tính giá trị biểu thức: 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 a c 2. Cho tỉ lệ thức với a 0,b 0,c 0,d 0,a b,c d . Chứng minh: b d 2013 a b a2013 b2013 2013 2013 c d c d 3. Tìm đa thức M biết rằng: M 5x2 2xy 6x2 9xy y2 . Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn: 2x 5 2018 3y 4 2020 0. Bài 2: (4,0 điểm) 1 2 3 100 1. Tìm x, biết: x x x x 101x 101 101 101 101 2 3 1 2. Số A được chia thành ba phần số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương 5 4 6 của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. 3. Biết f (x) chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; chia cho (x – 3).(x – 2) được thương là 3x và còn dư. Tìm f (x) . Bài 3: (4,0 điểm) 1. Tìm các số tự nhiên a; b sao cho: (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 2. Cho a,b,c,d Z thỏa mãn a3 b3 2 c3 8d3 .Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Chứng minh rằng: D· IB = 600. c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Bài 5: (2,0 điểm) Cho ba số dương 0 a b c 1. Chứng minh rằng: a b c 2 bc 1 ac 1 ab 1 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD & ĐT ĐÁP ÁN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG HUYỆN CẨM THỦY NĂM HỌC 2022- 2023 Môn thi : Toán - Lớp 7 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : / /2023 (Đáp án gồm 05 trang) Bài Đáp án Điểm 212.35 46.92 510.73 255.492 1. Tính giá trị biểu thức: A = 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 212.35 46.92 510.73 255.492 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 0,5 212.35 212.34 510.73 510.74 = 212.36 212.35 59.73 59.23.73 212.34 3 1 510.73 1 7 = 212.35 3 1 59.73 1 8 0,5 212.34.2 510.73. 6 = 212.35.4 59.73.9 1 10 7 6 3 2 0,5 7 Vậy A 2 a c 2. Cho tỉ lệ thức với a 0,b 0,c 0,d 0,a b,c d . Chứng Bài 1 b d 2013 (4 điểm) a b a2013 b2013 minh: 2013 2013 c d c d 2013 2013 2013 a c a c a c a c Ta có: (1) 0,5 b d b d b d b d 2013 2013 a c a2013 c2013 a2013 c2013 Mà: 2013 2013 2013 2013 (2) 0,5 b d b d b d 2013 a b a2013 b2013 Từ (1) và (2) 2013 2013 (đpcm) 0,5 c d c d 3. Tìm đa thức M biết rằng: M 5x2 2xy 6x2 9xy y2 . Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn: 2x 5 2018 3y 4 2020 0 Ta có: M 5x2 2xy 6x2 9xy y2 M 6x2 9xy y2 5x2 2xy M 6x2 9xy y2 5x2 2xy x2 11xy y2 0,5 2018 2x 5 0 2018 2020 Lại có: 2x 5 3y 4 0 2020 3y 4 0
3. Mà: 2x 5 2018 3y 4 2020 0 2x 5 2018 3y 4 2020 0 5 2018 x 2x 5 0 2 . Thay vào ta được 2020 4 3y 4 0 y 0,5 3 2 2 5 5 4 4 25 110 16 1159 M = + 11. . = = 2 2 3 3 4 3 9 36 1 2 3 100 1. Tìm x, biết: x x x x 101x 101 101 101 101 1 2 3 100 Vì x x x x > 0 nên 101x > 0 101 101 101 101 0,5 Suy ra: x > 0 Từ đó ta bỏ được dấu giá trị tuyệt đối thu được phương trình sau: 1 2 3 100 (x ) (x ) (x ) (x ) 101.x 101 101 101 101 0,5 1 2 3 100 (x+ x+ + x) + ( ) = 101.x 101 101 101 101 1 100x + (1 + 2 + 3+ + 100) = 101.x 101 0,5 1 1 100 . 100 1 :1 1 = x x = 50 (TM) 101 2 2 3 1 2. Số A được chia thành ba phần số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các Bài 2 5 4 6 (4 điểm) bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. Gọi ba phần được chia lần lượt là: a, b, c 2 3 1 Theo bài ra ta có: a :b : c : : và a2 b2 c2 24309 5 4 6 0,5 2 3 1 a b c Ta có: a :b : c : : 5 4 6 24 45 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 24309 9 24 45 10 576 2025 100 576 2025 100 2701 0,5 a2 576.9 5184 a 72 b2 2025.9 18225 b 135 c2 100.9 900 c 30 a b c Vì: a, b, c cùng dấu. 24 45 10 A 72 135 30 237 0,5 Hoặc: A 72 135 30 235 Vậy: A 135 hoặc A 135
4. 3. Biết f (x) chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; chia cho (x – 3).(x – 2) được thương là 3x và còn dư. Tìm f (x) . Theo bài ra, ta có: f (x) (x 3).A(x) 7 (1) f (x) (x 2).B(x) 5 (2) f (x) 3x(x 3)(x 2) ax b (3) 0,5 Các đẳng thức trên đúng với mọi x nên: +) Thay x = 2 vào (2); (3) được: 2a + b = 5 (4) +) Thay x = 3 vào (1); (3) được: 3a + b = 7 (5) Từ (4) và (5), suy ra: a = 2; b = 1 Do đó dư là 2x + 1 0,5 Vậy f (x) 3x(x 3)(x 2) 2x 1 3x3 15x2 20x 1 1. Tìm các số tự nhiên a; b sao cho: (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 Theo đề bài 2008a + 3b + 1 và 2008a + 2008a + b là 2 số lẻ. 0,5 Nếu a 0 2008a + 2008a là số chẵn Để 2008a + 2008a + b lẻ b lẻ 0,5 Nếu b lẻ 3b + 1 chẵn do đó 2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn) Với a = 0 (3b + 1)(b + 1) = 225 0,5 Vì b N (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25 Mặt khác: 3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1 3b 1 25 b 8 0,5 b 1 9 Vậy a = 0 ; b = 8. 3 3 3 3 Bài 3 2. Cho a,b,c,d Z thỏa mãn a b 2 c 8d . (4 điểm) Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 Ta có a3 b3 2 c3 8d3 a3 b3 c3 d3 3c3 15d3 0,5 Mà 3c3 15d33 nên a3 b3 c3 d33 (1) 0,5 Dư trong phép chia a cho 3 là 0; 1 suy ra dư trong phép chia a3 cho 3 cũng là 0; 1 hay a  a3 mod3 Tương tự ta có b  b3 mod3 ; c  c3 mod3 ; d  d 3 mod3 0,75 a b c d  a3 b3 c3 d 3 mod3 (2) Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + d chia hết cho 3 0,25
5. E A D 0,25 K I C B a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. Ta có: AD = AB; D· AC B· AE và AC = AE 1,5 Suy ra: ADC = ABE (c.g.c) b) Chứng minh rằng: D· IB = 600. Từ ADC = ABE (câu a) A· BE A· DC 0,75 Lại có: B· KI A· KD (đối đỉnh) Khi đó xét BIK và DAK, suy ra B· IK D· AK = 600 (đpcm) 0,75 c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng Bài 4 (6 điểm) AMN đều. E A D J N 0,25 K M I C B Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN và A· CM A· EN 0,5 ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và C· AM E· AN 0,5 M· AN C· AE = 600. Do đó AMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều BJ = BI và J¶BI D· BA = 600 0,5 Suy ra: I·BA J·BD , kết hợp BA = BD 0,5 IBA = JBD (c.g.c) A· IB D· JB = 1200 mà B· ID = 600 D· IA = 600. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE 0,5 Cho ba số dương 0 a b c 1. Chứng minh rằng: a b c 2 bc 1 ac 1 ab 1
6. a 1 0 Vì 0 a b c 1 (a 1)(b 1) 0 ab a b 1 0 0,5 b 1 0 1 1 c c ab 1 a b (c 0) 0,5 ab 1 a b ab 1 a b Bài 5 c 2c c 2c (2 điểm) Mà: a b a b c ab 1 a b c 0,5 b 2b a 2a Chứng minh tương tự, ta có: và ac 1 a b c bc 1 a b c a b c 2a 2b 2c Cộng theo vế, ta được: 2 (đpcm) bc 1 ac 1 ab 1 a b c 0,5 a b c Vậy với ba số dương 0 a b c 1 thì 2 bc 1 ac 1 ab 1 Chú ý: - Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án. - Bài hình nếu không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm.