Đề giao lưu học sinh giỏi lần 3 môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Nga Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi lần 3 môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Nga Sơn (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LẦN 3 CỤM: LIÊN- TIẾN – TÂN – THANH MÔN: TOÁN 7 ( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Ngày thi: 23 tháng 02 năm 2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I. (4,0 điểm). 1) Thực hiện phép tính: 1− 215 −− 1 4 1 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 a) A =− ++− + + b) B = 63− 2 5 3 7 6 35 41 (22 .3) + 8 45 .3 (125.7) + 593 .14 111 1 c) C=−−− ( 1).( 1).( 1) ( − 1) 2222 3 4 2023 2 abc a+b b+c c+a 2. Cho ==. Tính giá trị biểu thức : P= + + . b+c c+a a+b cab Câu II. (4,0 điểm). 1. Tìm x,y,z thỏa mãn: 4x= 3y;4y = 3z và 2x+−=− y z 14 2. Tìm số nguyên tố p sao cho p+2, p+6, p+8, p+14 cũng là số nguyên tố 3. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn (x + y)4 = 40x + 41. Câu III. (4,0 điểm). a c a.c 2022a 2 + 2023c 2 1. Cho = . Chứng minh rằng = b d b.d 2022b 2 + 2023d 2 2. Cho A= x100 − 100x99 + 100x98 − 100x97 +− 100x + 2122 . Tính A khi x=99 Câu IV. (6,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. a) Chứng minh: MD = ME. b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD, DK cắt BC tại I, đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Chứng minh: I là trung điểm của DK và SC vuông góc với AK. c) Chứng minh: MD + ME ≥ AD + AE. Câu V. (2,0 điểm). 111 1 2023 Cho A 1 , chứng minh rằng: A . 234 22023 1 2 HẾT
2. PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM: LIÊN- TIẾN – TÂN – THANH NĂM HỌC 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN THI: Toán 7 Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Câu Phần Nội dung Điểm I a 1− 215 −− 1 4 1 A =− ++− + + 4đ 2 5 3 7 6 35 41 1đ 12151 4 1 =++++− + 2 5 3 7 6 35 41 111 25 4 1 =( ++ )( + +− ) + 2 3 6 5 7 35 41 0.25 3 2 1 14 25 4 1 =( ++ )( + + − ) + 6 6 6 35 35 35 41 0.25 1 11 =++=+=11 2 2 41 41 41 0.25 1 Vậy A = 2 41 0.25 b 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 b. B = − 1đ 263 45 93 (2 .3) + 8 .3 (125.7) + 5 .14 212 .3 5−− (2 2 ) 6 .(3 2 ) 2 5 10 .7 3 (5 2 ) 5 .(7 2 ) 2 212 .3 5−− 2 12 .3 4 5 10 .7 3 5 10 .7 4 = − = − 0.25 263 34 5 3 93212 .3 6++ 2 12 .3 5 5 9 .7 3 5 9 .2 3 .7 3 (2 .3) + (2 ) .3 (5 ).7+ 5 .(2.7) 212 .3 4 (3−− 1) 510 .7 3 (1 7) = − 0.25 212 .3 5 (3++ 1) 59 .7 3 (1 2 3 ) 212 .3 4 .2 5 10 .7 3 (−− 6) 1 10 1 20 7 0.25 = − =−=+= 212 .3 5 .4 59 .7 3 .9 6 3 6 6 2 7 0.25 Vậy B= = 2 c 111 1 C=−−− ( 1).( 1).( 1) ( − 1) 1đ 2222 3 4 2023 2 1−−− 2222 1 3 1 4 1 − 2023 2−−−3 9 15 − 4092528 = . . = . . 2222 3 4 2023 2222 3 4 2 20232 0.25 3 9 15 4092528 1.3 2.4 3.5 2022.2024 = . . = . . 2222 3 4 2023 2 2 2 3 2 4 2 20232 0.25 1.3 2.4 3.5 2022.2024 1.3.2.4.3.5 2022.2024 = . . = 222 3 4 2 2023 2 2222 .3 .4 2023 2 0.25 (1.2.3.4.5 2022)(3.4.5 99.2024) 1.2024 1012 = = = (2.3.4.5 99.2023)(2.3.4.5 2023) 2023.2 2023 0.25 1012 Vậy C = 2023 d + Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b 1đ Khi đó P=− ( 1) +− ( 1) +− ( 1) =− 3 0.25 a b c a+b+c 1 + Nếu abc++≠0 thì : === = b+c c+a a+b 2(a+b+c) 2 0.25 Suy ra b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c
3. a + b b + c c + a 2c 2a 2b 0.25 Khi đó P= + + = + + =6 c a b cab 0.25 Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. II a Ta có: 4đ xy x y yz y z = ⇒=⇒= = ⇒=⇒ = 1,5đ 4x 3y ;4y 3z 3 4 9 12 3 4 12 16 xy z ⇒= = 0.5 9 12 16 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được: 0.5 x y z 2x 2x+− y z − 14 = = = = = = −1 9 12 16 18 18+− 12 16 14 0.25 Suy ra: x=−=−=− 9;y 12;z 16 Vậy x=−=−=− 9;y 12;z 16 0.25 b a, Giả sử với p = 2 là số nguyên tố => p +=2 42 là hợp số=> pl= 2( ) 0.25 +Với p = 3 là số nguyên tố =>+=p 6 93là hợp số=> = 1,5đ  pl3( ) 0.25 +Với p = 5 là số nguyên tố => pppp+=2 7, += 6 11, += 8 13, + 14 = 19 đều là số nguyên tố 0.25 +Với p>=>=+5 pk 51,52,53,54, pk =+ pk =+ pk =+( kN ∈) -Nếu pk=51 + =>+=++=+pk14 5 1 14 5 k 15 5 và lớn hơn 5 =>+p 14 là hợp số =>=pk51 +( l) -Nếu pk=52 + =>+=pk8 5 + 10 5 và lớn hơn 5 =>+p 8 là hợp số 0.25 =>=pk51 +( l) -Nếu pk=53 + =>+=pk2 5 + 55 và lớn hơn 5 =>+p 2là hợp số =>=pk53 + l ( ) -Nếu pk=54 + =>+=pk65 ++= 465 k + 105 và lớn hơn 5 =>+p 6 là hợp số =>=pk54 +( l) 0.25 0.25 Vậy p=5 là số nguyên tố cần tìm c Do x, y nguyên dương nên 40x < 41x, 41 ≤ 41y. Khi đó, ta có: 1đ (x + y)4 = 40x + 41 < 41x + 41y < 41x + 41y = 41(x + y) ⇔ (x + y)3 < 41 < 64 = 43 ⇒ x + y < 4 (1) 0.25 Do x nguyên dương nên 40x + 41 ≥ 40.1 + 41 = 81 ⇒ (x + y)4 ≥ 81 ⇒ x + y ≥ 3 (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra x + y = 3 mà x, y ∈ N* nên (x; y) = (1; 2), (2; 1) 0.25 Qua thử lại được x = 1, y = 2. 0.25 2 2 III a a c a c  a   c  a.c a 2 c 2 Ta có = ⇒ . =   =   ⇒ = = 4đ 2đ b d b d  b   d  b.d b 2 d 2 1 a.c 2022a 2 2023c 2 2022a 2 + 2023c 2 ⇒ = = = 2 2 2 2 0,75 b.d 2022b 2023d 2022b + 2023d a.c 2022a 2 + 2023c 2 Vậy = 0,25 b.d 2022b 2 + 2023d 2 b Thay x=99 vào biểu thức A ta được:
4. 2đ A= 99100 − 100.9999 + 100.9998 − 100.9997 +− 100.99 + 2122 0,25 =99100 −+ (99 1).9999 ++ (99 1).9998 −+ (99 1).9997 +−+ (99 1).99 + 2122 0,5 =99100 − 99 100 − 99 99 + 99 99 + 99 98 − 99 98 − 99 97 +− 992 − 99 + 99 + 2023 0,5 = 2023 0,5 Vậy Khi x=99 thì A= 2023 0,25 IV 6đ Vẽ hình ghi GT,KL 0.5 đ A D E H Q C I M P B K F S a -Ta có: AMD += AME 900 (MD ⊥ ME) và AME += CME 900 (AM ⊥ 1,5đ BC)⇒=AMD CME 0,5 -c/m: BAM = ACM = 450 ; AM = MC 0,25 -Xét ∆ AMD và ∆ CME có: 0,5 AM = CM ; AMD = CME ; MAD = ACM = 450 ⇒ ∆ AMD = ∆ CME (g.c.g) ⇒ MD = ME 0.25 b Hạ DP, KQ vuông góc với BC tại P và Q 2đ Chứng minh: I là trung điểm của DK 0,25 Chứng minh: ∆ BDP = ∆ CKQ suy ra DP = KQ 0,25 Chứng minh: ∆ PID = ∆ QIK suy ra DI = IK, hay I là trung điểm của DK 0,5 ⊥ Chứng minh: SC AK Chứng minh: ∆ ABS = ∆ ACS suy ra ABS = ACS (1) 0,25 Chứng minh: ∆ SBD = ∆ SCK suy ra SBD= SCK (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra: ACS = SCK 0,25 Mà ACS += SCK 1800 ⇒ ACS = 900 ⇒ SC ⊥ AK 0,25 c Gọi giao điểm của DM với SC là F. chứng minh ∆ MDB= ∆ MFC⇒ MD=MS⇒ M là trung điểm của DF 2đ 0,5 Từ F kẻ FH ⊥ AB tại H. Chứng minh ∆ FAH= ∆ AFC⇒ FH = AC 0,5
5. Do ∆ AMD = ∆ CME ⇒ AD = CE ⇒ AD + AE = AC. 0,5 Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF 0,5 Mặt khác DF ≥ HF ⇒ DF ≥ AC hay MD + ME ≥ AD + AE - Dấu “=” khi MD ⊥ AB. V Ta có : 2đ 1 11 1111 1 1 1 A 1 0.25 2022 2023 2023 2 34 5678 2 1 2 2 1 11 1111 1 1 1 A 1 0.5 2 2 3 3 3 3 2022 2023 22023 222 2222 2 2 11 1 11 A 1 2. 22 . 22022 . 222 23 22023 2 2023 0.5 11 11 11 A 1 1 2016. 0.25 22 222006 222016 2023 1 2023 1 0.25 2023 222 1 1 1 1 2023 Vậy A 1 234 22023 1 2 0.25 Hết