Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Lang Chánh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Lang Chánh (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN LANG CHÁNH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 - 2023 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 01 tháng 4 năm 2023 (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1.(4,0 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau: a) (−+2013) .2014 1007.26 33 3 8 6 0 b) 2 .5− 3.{ 400 −− 673 2 .(7 : 7 + 7 ) } 11 1 1 1 c) 2023 −−− −− − 2.6 4.9 6.12 36.57 38.60 Câu 2. (4.0 điểm). Tìm số nguyên x biết: 3 1) Tìm x biết: (3x −= 7) 232 .3 + 53 11 1 2021 2020 2 1 2) ( +++ ). x = ++++ 2 3 2022 1 2 2020 2021 Câu 3. (6,0 điểm). 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên xy, sao cho: xy−21 x −= y 2) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6 , chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11. 2 2 3) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x + 117 = y Câu 4.(4,0 điểm). 1) Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước bằng nhau. Biết rằng PQ = 4cm . Tính diện tích hình chữ nhật ABCD . 2) Cho đoạn thẳng AB= 8 cm . Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC= 4 cm . Tính độ dài đoạn thẳng AC . 3) Cho điểm Q không thuộc đường thẳng xy và lấy thêm 2019 điểm phân biệt khác thuộc đường thẳng xy và không trùng với 4 điểm ABMO,, , . Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 điểm trong số các điểm đã cho? 11   1   1  Câu 5. (2,0 điểm). Chứng tỏ rằng: P =+++1  1  1   1 +<  3 22 2  23   2200  HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: SBD
2. ĐÁP ÁN CHẤM GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 6 Câu Nội dung Điểm a) (1 điểm): (−+2013) .2014 1007.26 =−+( 2013) .2014 2014.13 0.5đ =2014.( −+ 2013 13) 0.25đ =2014.( −=− 2000) 4028000 0.25đ 3 3 3 8 6 0 b) (1 điểm) 2 . 5 – 3.{400 – [673 – 2 .(7 : 7 + 7 )]} 0.5đ = 8.125 – 3.{400 – [673 – 8.50]} 0.5đ = 1000 – 3.{400 – 273}= 619 1 (4đ) c) (2 điểm) 11 1 1 1 2023−−− −− − 2.6 4.9 6.12 36.57 38.60 11 1 1 1 1 =2023 − ++++ + 0.75đ 2.3 1.2 2.3 3.4 18.19 19.20 1 11111 1 1 1 1 0.75đ =2023 − 1 −+−+−++ − + − 2.3 2 2 3 3 4 18 19 19 20 11 =2023 −− 1 0,25 đ 6 20 1 19 101 =−=2023 . 2022 6 20 120 0,25 đ 3 1) (2 điểm): Ta có (3x −= 7) 232 .3 + 53 3 (3x −= 7) 125 0.5đ 3 (37x −=) 53 0.5đ 3x −= 75 3x =+= 5 7 12 0,5đ x =12 :3 = 4 2 0,25đ (4đ) Vậy x = 4 0,25
3. 11 1 2021 2020 2 1 2) ( 2 điểm) ( +++ ). x = ++++ 2 3 2022 1 2 2020 2021 11 1 2020 2019 2 1 ( +++ ).x = ++1 +++ 1 ++ 1 ++ 1 1 0, 5đ 2 3 2022 2 3 2020 2021 11 1 2022 2022 2022 2022 2022 2022 ( +++ ).x = ++++++ 2 3 2022 2 3 4 2020 2021 2022 0,5đ 11 1 11 1 ( +++ ).x = 2022.+++ 0,5đ 2 3 2022 2 3 2022 0,25đ ⇒=x 2022 0,25đ Vậy x = 2022 1.( 2 điểm) Ta có: xy−21 x −= y ⇒( xy −2 x) −( y − 2) −= 21 0,25đ ⇒xy( −−−=2) ( y 23) 0,25đ ⇒−( xy1)( −= 23) . Vì xy; ∈ Z nên ( xy−−1;) ( 2) là ước của 3. Ta 0,25đ có bảng sau: x −1 −1 −3 1 3 0,5đ y − 2 −3 −1 3 1 Suy ra 3 (6đ) x 0 −2 2 4 0,5đ y −1 1 5 3 Đối chiếu điều kiện xy;∈⇒ Z( xy ;) ∈{( 0; − 1) ;( − 2;1) ;( 2;5) ;( 4;3)} . 0,25đ 2) (2 điểm) Gọi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn đề bài là: a Vì a chia cho 11 dư 6 nên ta có: a=+∈11. x 6 ( xN ) 0,25đ ⇒+=ax27 11. ++= 6 27 (11. x + 33) 11 ⇒+(a 27 )11 (1) 0,5đ Vì a chia cho 4 dư 1 nên ta có: a=+∈4. y 1 ( yN ) 0,25đ ⇒+=ay27 (4. ++= 1) 27 (4. y + 28) 4 ⇒+(a 27) 4 (2) Vì a chia cho 19 dư 11 nên ta có:
4. a=+∈19. z 11 ( zN ) ⇒+=az27 (19. ++= 11) 27 (19. z + 38) 19 0,25đ ⇒+(a 27) 19 (3) Từ (1), (2), (3) ⇒+(a 27) ∈ BC (11,4,19) 0,25đ Mà a nhỏ nhất nên a+=27 BCNN (11,4,19) 0,5đ a +=27 836 a = 809 Vậy a = 809 . 3) (2 điểm). * Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 ⇔ y2 = 121 ⇒ y = 11 (là số nguyên tố) 0,5 đ ⇒ 2 2 * Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ y = x + 117 là số chẵn 0,5 đ => y là số chẵn 0,5 đ kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại) 0,5 đ Vậy x = 2; y = 11. 4 a) ( 1,5 điểm) Vì các hình thang vuông PQMA , QMBC , QPNC , PNDA bằng nhau nên: MQ= NP = QP = 4cm và CN= AD . 0.5đ Mặt khác AD= NP + QM =+=4 4 8( cm). Do đó CN= AD = 8cm . 0.5đ Diện tích hình thang vuông PQCN là: 2 0.25đ (CN+ PQ) NP : 2 =+=( 8 4) .4 : 2 24( cm ) Suy ra diện tích hình chữ nhật ABCD là: 24.4= 96 (cm2 ) . 0.25đ 2. (1,5 điểm).Xét hai trường hợp :
5. *TH 1: C thuộc tia đối của tia BA. 0,25đ Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau ⇒ B nằm giữa A và C 0,5đ AC =+= AB BC 8 + 4 = 12 (cm ). *TH 2 : 0,25đ C thuộc tia BA. C nằm giữa A và B (Vì BA > BC ) 0,5đ ⇒+ AC BC =⇒= AB AC AB − BC 8 - 4= 4 (cm ). 3) ( 1 điểm). Tổng số điểm trên đường thẳng xy là 2023 điểm 0.25đ Gọi tên các điểm đó là A, B, M, O, P1, P2, P3, , P2019 Từ Q vẽ được 2023 đoạn thẳng khi nối với các điểm còn lại 0.25đ Từ A vẽ được 2022 đoạn thẳng khi nối với các điểm còn lại (trừ điểm Q) 0.25đ Từ B vẽ được 2021 đoạn thẳng khi nối với các điểm còn lại (trừ điểm A, Q) Vậy tổng số đoạn thẳng vẽ được là: 2023+ 2022 + 2021 + +++ 3 2 1 0.25đ = 2023.(2023 + 1) : 2 = 2 073 276 Ta có: 2nn>− 2 2 (nN ∈ ) 11 1 1 0.5đ ⇒ < ⇒+11 <+ 2nn 22−− 2n 22 n 5 n 1 21− 0.5đ (2đ) ⇒+1 < 2n 22( n−1 − 1) Áp dụng vào P ta có: 11   1   1  0.5đ P =++1  1  1 +   1 +  22 2  23   2200  321212 −−3 214 − 2100 − 1 < . . 22( 2− 1) 22( 2 −− 1) 22( 3 1) 22( 99 − 1) 0.5đ 32121100 −−100 3 =.3.33 = =−<(dpcm) 2299 2100 2100 Lưu ý: -Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa -Bài hình vẽ hình sai hoặc không vẽ hình không chấm điểm. các trường hợp khác do tổ chấm thống nhất.