Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT VĨNH LỘC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CỤM TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: Toán 6 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề chính thức Ngày giao lưu: 22/ 3 / 2023 (Đề thi gồm có 01 trang, có 05 câu) Câu 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính: 1. A= + 2 91 2 51 1 2. B =71+14(1+72)+14 (1+ 2 + 3)+ + (1+ 2 + 3 + + 20) ∙ 2 ∙ 3 20 5.46.94 − 39.(−8)4 = 11 1 1 3. C 13 8 4 3 4. D = + + ++ 4.2 .3 + 2.8 .(−27) 4.9 9.14 14.19 64.69 Câu 2: (4.0 điểm) Tìm x, biết: 1. x+++++++ (x 1) (x 2) (x 99) = 14950  1 1 1 1 1  1 2 3 8 9 2.  + + + + + x = + + + + +  2 3 4 9 10  9 8 7 2 1 2 2021 2021 x 3. (4−x) ⋅+ 3 51 :3 − 2 = 14 4. 14.7 = 35.7 − 3.49 Câu 3: (4.0 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n sao cho 2n+3n=5n 2. Tìm số nguyên x, y biết x2y – x + xy = 6 Câu 4: (6.0 điểm) 1. Trên tia Ox lấy hai điểm M và N, sao cho OM = 3cm và ON = 7cm. a. Tính độ dài đoạn thẳng MN. b. Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP = 2cm. Tính độ dài đoạn thẳng OP. 2. Cho 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng (ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng). Qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng. 3. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD, biết BE = CE = CF = CD, diện tích tam giác AEF bằng 50cm2. A B 1 3 E D F C Câu 5: (2.0 điểm) Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2 . Chứng minh rằng : nm2 + không là số chính phương. Hết Họ tên học sinh : ; Số báo danh Cán bộ coi giao lưu học sinh giỏi không giải thích gì thêm.
2. PHÒNG GD&ĐT VĨNH LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CỤM TRUNG HỌC CƠ SỞ LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: Toán 6 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày giao lưu: 22/ 3 / 2023 Câu Ý Nội dung Điểm A = + 2 9 2 5 = + 1 7 ∙ 14 7 ∙ 14 0,5 (1.0 đ) 2 9 5 = 7 �114 14� 0,25 2 = 0,25 7 ∙ 2 7 11 1 B =1 +( 1 + 2) +( 1 + 2 + 3) +⋅⋅⋅+( 1 + 2 + 3 + + 20) 2 3 20 1 2.3 1 3.4 1 20.21 0,25 B =1 + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ 2 2 2 3 2 20 2 234 21 0,25 (1.0đ) B = + + +⋅⋅⋅+ 222 2 Câu 1 1 1 20.21 0,5 B =(2 + 3 + 4 +⋅⋅⋅+ 21) =( 1 + 2 + 3 + 4 +⋅⋅⋅+ 20) = ⋅ +10 = 115 1 2 2 22 (4.0đ) 5. 4 . 9 3 . ( 8) = 4. 2 .63 4+ 2. 89 . ( 274 ) − − 5.134 . 98 3 .48 3 3 𝐶𝐶 = 0,25 6 4 9 4− (1.0đ) 4. 2 . 3 2. 8 . 27 5. 2 . 3 3 . 2 2 .−3 (5 3) 2 . 3 . 2 = 13= 8 4 3 = = 1 0,75 2 12. 3 8 2 9. 312 2 12−. 3 8(2 3) 212 . 38 − − 15 8 13 9 13 8 2 13 8 11− 1 1 − D = + + ++ 4.9 9.14 14.19 64.69 4 11111 1 1 1 1 = ( −+−+−++− ) 0,5 (1.0đ) 5 4 9 9 14 14 19 64 69 11 1 13 = ()− = 0,5 5 4 69 276 x+++++++ (x 1) (x 2) (x 99) = 14950 100x+ (1 +++ 2 3 + 99) = 14950 Câu 1 100x+= 4950 14950 0,25 2 (1.0đ) 100x= 10000 0,25 (4.0đ) 0,25 x= 100 0,25
3.  1 1 1 1 1  1 2 3 8 9  + + + + + x = + + + + +  2 3 4 9 10  9 8 7 2 1  1 1 1 1 1   1   2   3   8   + + + + + x =  +1 +  +1 +  +1 + +  +1 +1  2 3 4 9 10   9   8   7   2  0,25 2  1 1 1 1 1  10 10 10 10 10  + + + + + x = + + + + + (1.0đ)  2 3 4 9 10  9 8 7 2 10 0,25  1 1 1 1 1   1 1 1 1 1   + + + + + x = 10 + + + + +  ⇒ x = 10  2 3 4 9 10   2 3 4 9 10  0,5 Vậy x=10 − ⋅+ = (4x) 3 51 :3 18 (4−x) ⋅+ 3 51 = 54 3 0,25 (4 – x ).3 = 3 (1.0đ) 0,25 4 – x = 1 0,25 x = 3 0,25 14. 7 = 35. 7 3.49 2021 2021 𝑥𝑥 3.49 = 35. 7 14−. 7 3. 7 𝑥𝑥 = 5.7. 72021 2.7. 72021 0,25 2𝑥𝑥 2021− 2021 3. 7 = 5. 7 − 2. 7 4 3. 72𝑥𝑥 = 5. 72022 2. 72022 0,25 (1.0đ) 2𝑥𝑥 2022 − 2022 3. 7 = 7 (5 2−) = 3. 7 7 2=𝑥𝑥 7 2022 2022 0,25 2𝑥𝑥 2022 − 2 = 2022 = 2022 : 2 = 1011 0,25 Vậy x=1011𝑥𝑥 𝑥𝑥 n Chia hai vÕ cho 5 , ta ®­îc: 0,5 + = 1 (1) 𝑛𝑛 𝑛𝑛 2 3 Câu 1 +Víi n = 0 ⇒ vÕ tr¸i cña (1) b»ng�5 �2 (lo¹i)�5� 0,25 3 (2.0 đ) (4.0đ) + Víi n = 1 th× vÕ tr¸i cña (1) b»ng 1 ( ®óng) 0,25 + Víi n ≥ th×: 2 < ; < 0,5 2 𝑛𝑛 2 3 𝑛𝑛 3 �5� 5 �5� 5
4. Nªn: + < + = 1 ( lo¹i) 0,25 𝑛𝑛 𝑛𝑛 VËy n =2 1 3 2 1 �5� �5� 5 5 0,25 x2y – x + xy = 6 ( ) + 1 = 5 0,25 (2 ) 0,25 ⇒ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1 = 5 0,25 ( ) ⇒ 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 1 ( 𝑥𝑥+𝑥𝑥1−) = 5 0,25 Mà 5 = 1.5 = (-1)(-5) ⇒ 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 Ta có bảng sau: (2.0đ) x + 1 -5 -1 1 5 0,75 xy - 1 -1 -5 5 1 x -6 -2 0 4 y 0 2 Vô lý ( Loại) 1 0,25 Vậy có 2 cặp (x,y) thõa mãn là: (-6;0); (-2;2). 2 P O M P N x 1.a Do M, N cùng thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm giữa hai 0,5 (1.0 điểm O và N đ) ⇒+=OM MN ON ⇒+3MN =⇒ 7 MN =−= 7 3 4( cm ) 0,5 Vậy MN = 4(cm) TH1: Nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P 0.5 Câu 1.b ⇒ OP = OM + MP ⇒ OP = 3 + 2 = 5(cm). 4 (1.0đ) TH2: Nếu Nếu P nằm giữa O và M ⇒ OM = OP + PM 0,5 (6.0đ) ⇒ 3 = OP + 2 ⇒ OP = 1(cm). Giả sử có 30 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là: 30(30-1):2=435 (đường thẳng) 0.5 Với 5 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì vẽ 2 được: 0,5 (2.0đ) 5(5-1):2=10 (đường thẳng) Nếu 5 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 (đường thẳng) 0,5
5. Do đó số đường thẳng giảm đi là: 10-1=9 (đường thẳng) 0,25 Vậy vẽ được 435-9=426 (đường thẳng) 0,25 Đặt BE = CE = CF = x . 0.5 Ta có: BC = 2x ; DC = 3x. Khi đó: SABCD = SADF + SABE + SCEF + SAEF 0,5 3 Hay 2x.3x = .2x.2x + .x.3x + .x.x + 50 2 1 1 1 (2.0đ) Suy ra: 2x = 50 x2 = 225 2 2 0,5 x = 5 2 0,5 Vậy SABCD = 2.5.3.5 = 150cm Giả sử: nm2 + là số chính phương Đặt: n22+= mkkN( ∈) (1) 0.5 2n2 Theo bài ra ta có: 2n2 = mp( p ∈ N) =>= m p Thay vào (1) ta được : 2 0,5 2n 2 n2+==>+ k 22222222 n p22 pn = p k =>+= n( p p) ( pk) Câu p 2 5 Do n2 ,( pk) là các số chính phương 0,5 (2.0đ) 2 nên pp+ 2 là số chính phương. 2 Mặt khác: pppp22 + pp2 2 không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử) 0,5 2 Vậy nm+ không là số chính phương. Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Bài hình (Câu 4) không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm.