Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Nguyễn Chích (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Nguyễn Chích (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH NĂM HỌC 2017 – 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán - Lớp 7 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Gồm có 01 trang) Câu 1: (4,0 điểm). 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức A = 2 3,5 : 4 2 +7,5 3 6 7 2.84 .27 2 4.6 9 b) Rút gọn biểu thức B = 27 .6 7 2 7 .40.9 4 c) T×m ®a thøc M biÕt r»ng : M 5 x2 2 xy 6 x 2 9 xyy 2 . Tính giá trị của M khi 2018 2020 x, y thỏa mãn 2x 5 3 y 4 0. Câu 2(4,0 điểm): Tìm x biết 15 3 6 1 a) x x 12 7 5 2 1 1 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2 x 1) 99 c) Tìm x, y nguyên biết 2xy – x – y = 2 Câu 3(6,0 điểm): a) Tìm hai số nguyên dương x và y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210;12. x y z t b) Cho y z t z t x t x y x y z x y y z z t t x chøng minh r»ng biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn. z t t x x y y z c) Cho a,b,c,d Z thỏa mãn ab3 32 c 3 8d 3 .Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 Câu 4(5,0 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC . Biết HBE = 50o ; MEB = 25o . Tính HEM và BME Câu 5 (1,0 điểm): 3 8 15 24 2499 Cho B = . Chứng tỏ B không phải là số nguyên. 4 9 16 25 2500 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGUYỄN CHÍCH NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán - Lớp 7 Câu Nội dung Điểm 1 1 1 7 7 25 15 15 0.5 a) A = 2 3,5 : 4 2 +7,5 = : + 3 6 7 3 2 6 7 2 35 85 15 35 42 15 49 15 157 = : = . = + = 6 42 2 6 85 2 17 2 34 0.5 34 3 2 2 9 9 13 6 11 9 1.0 2.84 .27 2 4.6 9 2. 2 . 3 2 .2 .3 2 .3 2 .3 b) B = 7 7 7 4 = 4 = 14 7 10 8 2 .6 2 .40.9 27 .2 7 .3 7 2 7 .2 3 .5. 3 2 2 .3 2 .3 .5 11 6 2 3 2 .3 . 2 3 2 = = 210 .3 7 . 2 4 3.5 3 0.5 2 2 2 2 2 2 1 c) M 5 x 2 xy 6 x 9 xyy M 6 x 9 xyy 5 x 2 xy (4.0đ) 2 2 2 2 2 M 6 x 9 xyy 5 x 2 xyx 11 xyy 0.5 2018 2x 5 0 2018 2020 Ta cã : 2x 5 3 y 4 0 0.25 2020 3y 4 0 2018 2020 2018 2020 0.25 Mµ 2x 5 3 y 4 0 2x 5 3 y 4 0 5 2018 x 2x 5 0 2 0.25 . Thay vào ta được 2020 3y 4 0 4 y 3 2 2 5 5 4 4 25 110 16 1159 0.25 M = + 11. . - = - - = 2 2 3 3 4 3 9 36 15 3 6 1 6 5 3 1 0.5đ a) x x x x 12 7 5 2 5 4 7 2 6 5 13 49 13 130 130 ( )x x x , Vậy x 0.5đ 5 4 14 20 14 343 343 1 1 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2 x 1) 99 1 1 1 1 1 1 1 49 2 1 0.25 (4.0đ) 2 3355 2x12x1 99 1 1 49 1 98 1 1 1 1 0.75 2 2x 1 99 2x 1 99 2x 1 99 2x + 1 = 99 2x = 98 x = 49. Vậy x = 49 0.5 c) 2xy – x – y = 2 4xy - 2x - 2y = 4 2x(2y - 1) - 2y +1 = 5 (2y -1) ( 2x -1) = 5 0.75 HS xét 4 trường hợp tìm ra ( x,y) = 1;3; 3;1; 2;0 ; 0; 2  Vậy ( x,y) = 1;3; 3;1; 2;0 ; 0; 2  0.75
3. a) Do tổng, hiệu và tích của x và y lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210; 12. Ta có ( x + y).35 = ( x - y) .210 = 12. xy 0,5 xyxy xyxy 2x 2 y Từ ( x + y).35 = ( x - y) .210 0,5 210 35 210 35 245 175 x y 7 y x thay vào đẳng thức ( x + y).35 = 12. xy ta được 7 5 5 0,5 y2- 5y = 0 y(y – 5) = 0 y 0;5 mà y > 0 nên y = 5  0,5 Với y = 5 thì x = 7. b) x y z t yzt ztxtxy xyz y z t z t x t x y x y z x y z t yzt ztx txy xyz 1 1 1 1 0,75 3 x y z t (6.0đ) xyzt ztxytxyz xyzt 0,5 x y z t Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4 Nếu x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P = 4 0,75 Vậy P nguyên c) Ta có abc3 32 3 8d 3 abc 3 3 3 d 3 3 c 3 15d 3 3 3 3 3 3 3 Mà 3c 15d 3 nên a b c d 3 (1) 0.75 Dư trong phép chia a cho 3 là 0; 1 suy ra dư trong phép chia a3 cho 3 cũng là 3 0; 1 hay a a mod3 0.5 3 3 3 Tương tự ta có b b mod3 ; c c mod3 ; d d mod3 a b c d  a3 b 3 c 3 d 3 mod3 (2) Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + d chia hết cho 3 0.75 Vẽ hình ; ghi GT-KL A 0,5 I M C 4 B H (5,0đ) K E a) X a) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB ( Hai cạnh tương ứng) 1,0 Vì AMC = EMB MAC = MEB nà 2 góc này ở vị trí so le trong Suy ra AC // BE . 0,5 b) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt )
4. MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) 1,0 Nên AMI EMK ( c.g.c ) AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 o o c) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90 ) có HBE = 50 HBE = 90o - HBE = 90o - 50o = 40o HEM = HEB - MEB = 40o - 25o =15o 1,0 BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM o o o BME = HEM + MHE =15 + 90 = 105 0,5 3 8 15 24 2499 b) Ta có: B = 4 9 16 25 2500 3 8 15 24 2499 B= 49 1 1 1 1 1 4 9 16 25 2500 1 1 1 1 1 B= 49 - 2 2 2 2 2 = 49 - M 2 3 4 5 50 1 1 1 1 1 Trong đó M = 2 2 2 2 2 5 2 3 4 5 50 (1,0đ) 0.5 Áp dụng tính chất Ta có: M M > > 0 0.5 Từ đó suy ra 0< M <1 B = 49- M không phải là một số nguyên. Chú ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình. 3. Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.