Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Thị xã Chí Linh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Thị xã Chí Linh (Có đáp án)

1. UBND THỊ XÃ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có 05 câu , 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) 1 1 1 1 1) Thực hiện phép tính: A = + + + + . 2 2.3 3.4 2017.2018 2) Cho hai đa thức: P(x) = x5 - 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 3 và Q(x) = 3x4 + x5 – 2x3 - 11 – 10x2 + 9x. Biết rằng G(x) - 2x2 + Q(x) = P(x). Tìm đa thức G(x). Câu 2 (2,0 điểm) 213 3 5 1) Hãy chia số thành ba phần tỉ lệ thuận với ; 4; . 70 5 2 x 1 y 2) Tìm các số x, y, z biết ; 2x = 3z và z + y – 3x = -10. 3 4 Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : Px (2 1) 2 ( y 4 2) 4 3 . 2) Cho hàm số f(x) xác định với mọi x R . Biết rằng với mọi x 0 ta đều có 1 2 f (x) 2.f x . Tính f (2)? x Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC. a) Chứng minh: BD = CE. b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh: BAC ACN 1800 . AD2 +IE 2 c) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Tính tỉ số . DI2 +AE 2 Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c, d là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: a b c d S = có giá trị không phải là số tự nhiên. abcabdbcdacd - Hết -
2. UBND THỊ XÃ CHÍ LINH HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018- 2019 MÔN: TOÁN 7 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 1 1 1 1 1 1 A = - 0,50 1 2 2 3 3 4 2017 2018 1 1 1 A= 0,25 (1,0đ) 1 2018 1 2017 (2,0đ) A 0,25 2018 G(x) = P(x)-Q(x) +2x2 =(x5 - 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 3) – (3x4 + x5 – 2x3 - 11 2 0,25 – 10x2 + 9x) + 2x2 . (1,0đ) = 3x2 +2x+8 0,50 Vậy G(x) = 3x2 +2x+8. 0,25 Gọi 3 phần cần tìm lần lượt là x, y, z 213 3 5 0,25 Theo bài ra ta có x+y+z = và x:y:z = : 4: 70 5 2 213 hay x+y+z = và x:y:z = 6 : 40 : 25 70 1 213 0,25 x y z x + y + z 3 (1,0đ) suy ra === ==70 6 40 25 6 + 40 + 25 71 70 9 12 15 x ;y ;z 0,25 35 7 14 2 9 12 15 (2,0đ) Vậy 3 phần cần tìm là ; ; 0,25 35 7 14 x 1y z Theo bài ra ta có và z + y – 3x = -10 suy ra 3 4 2 0,25 x 1 y z z (1 y) 3x 2 3 4 2 2 4 9 (1,0đ) z y 3x 1 10 1 1 0,25 11 11 x 3;1 y 4;z 2 0,25 Vậy x 3;y 3;z 2 0,25 Ta có xxx2  0 2  1 1 xx ( 2 1) 2 1 2  1 x 3 1 0,25 Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (2,0đ) (1,0đ) yyy2  0 2  2 2 yy ( 2 2) 4 2 4  16 y 0,25
3. Dấu “=” xảy ra khi y = 0 => P 1 16 3 20 0,25 Vậy GTNN của P bằng 20 khi x = 0; y = 0. 0,25 1 2 Với mọi x 0 ta đều có f(x)+2.f =x nên: x 0,25 1 + Tại x = 2 ta có: f 2 +2f =4 (1) 2 2 1 1 1 1 1 (1,0đ) + Tại x ta có: f +2f 2= =>2f +4f(2)= (2) 0,25 2 2 4 2 2 -7 -7 Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có 3.f 2 = =>f(2)= 0,25 2 6 7 Vậy f(2) = 0,25 6 1 2 Nếu hs chỉ thiếu lập luận: Với mọi x 0 ta đều có f(x)+2.f =x thì x trừ 0,25 điểm Vẽ hình, ghi giả thiết - kết luận đúng (đến hết phần 2) A 2 1 E D I 0,50 0,25 B M C N 0,25 4 a Chứng minh được A1 =A 2 (cùng phụ với góc BAC) (3,0đ) (0,75đ) Chứng minh được ABD = AEC (c.g.c) 0,25 =>BD = CE (hai cạnh tương ứng) 0,25 Chứng minh được CMN = BMA (c.g.c) 0,25 b => CN = AB và ABC MCN 0,25 (1,0đ) => AB // CN ( vì có hai góc so le trong bằng nhau) 0,25 0 => BAC ACN 180 ( 2 góc trong cùng phía bù nhau) 0,25 DAE DAC BAE BAC = 900 + 900 - BAC = 1800 - BAC (1) 0 ACN 180 BAC (2) 0,25 Từ (1) và (2) => DAE ACN c Chứng minh được ADE = CAN (c.g.c) (0,75đ) Từ ADE = CAN => ADE CAN ( hai góc tương ứng) 0,25 0 0 Mà DAN CAN = 90 nên DAN ADE = 90 => DAI ADI = 900 => AID AIE = 900
4. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AID và AIE vuông tại I ta có: 0,25 AD2 – DI2 = AE2 – EI2 (cùng = AI2) AD2 +IE 2 => AD2 + EI2 = AE2 + DI2 => =1 0,25 DI2 +AE 2 Nếu hs không ghi GT, KL thì vẫn cho điểm tối đa 0,25 điểm phần vẽ hình a a a a b c d a b c a b b b b a b c d a b d a b 0,25 c c c 5 a b c d b c d c d (1,0đ) d d d a b c d a c d c d a b c d a b c d S 0,25 abcd abab cdcd suy ra 1 < S < 1 + 1 hay 1 < S < 2 0,25 Vậy S có giá trị không phải số tự nhiên. 0,25 Ghi chú: Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Hết -