Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thanh Hà (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thanh Hà (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN THANH HÀ ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). 219 .27 3− 15.4 9 .9 4 1) Rút gọn biểu thức A = 69 .2 10+ 12 10 55 5 5 2) Thực hiện phép tính B = + + ++ 4.9 9.14 14.19 44.49 Câu 2 (2,0 điểm). ac ac a22+ c 1) Cho các số abcd,,,≠ 0 thoả mãn = . Chứng tỏ rằng = bd bd b22+ d 2) Tìm x, biết xx+++++=1 2 x 34 x Câu 3 (2,0 điểm). 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn xy − 3x + 2y = 11. 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24. Câu 4 (3,0 điểm). Cho ∆ABC có góc A nhọn, AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC. 1) Chứng minh AM ⊥ xy. 2) So sánh các cạnh của ∆AMB . 3) Gọi O là điểm nằm trong ∆AMC . Chứng minh OA + OC < MA + MC Câu 5 (1,0 điểm). Cho xyz;; không âm thoả mãn xz+=3 2022 và xy+=2 2023. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pxyz=++. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT1: Họ, tên chữ ký GT2:
2. UBND HUYỆN THANH HÀ HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN (Hướng dẫn gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm 219 .27 3−− 15.4 9 .9 4 2 19 .3 9 3.5.218 .3 8 1) A = = 0,25 69 .2 10++ 12 10 3 9 .2 9 .2 10 2 20 .3 10 219 .3 9− 5.2 18 .3 9 = 0,25 39 .2 19+ 2 20 .3 10 25− = 0,25 2+ 4.3 −3 = 0,25 14 55 5 5 Câu 1 2) B = + + ++ 2,0đ 4.9 9.14 14.19 44.49 111 1 1 1 =−+− ++ − 0,25 4 9 9 14 44 49 11 = − 0,25 4 49 49− 4 = 0,25 4.49 45 = 0,25 196 ac aacaa2 ac 1) =⇒ = ⇒=, bd bbdbb2 bd c2 ac tương tự ta có = d2 bd 0,25 a22 c ac ⇒== 0,25 b22 d bd ac a2 c 2 a 22+ c ⇒=== 0,25 bd b2 d 2 b 22+ d ac a22+ c Vậy = 0,25 Câu 2 bd b22+ d 2,0đ 2) xx+++++=1 2 x 34 x (1) Vì xx+++++≥⇒1 2 x 30 4 x ≥⇒≥ 0 x 0 0,25 nên xx+=+11 xx+=+22 0,25 xx+=+33 Do đó từ (1) ta có: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x 0,25 Tìm được x = 6 (T/M) 0,25 Câu 3 1) xy − 3x + 2y = 11
3. 2,0đ ⇒x.(y−3)+2.(y−3)+6=11 0,25 ⇒ (x+2).(y−3)=5 0,25 x+2 - 5 - 1 1 5 x - 7 - 3 -1 3 y−3 - 1 - 5 5 1 0,25 y 2 - 2 8 4 Vậy cặp (x,y) là (-7;2); (-3;-2); (-1;8); (3;4) 0,25 2) Ta chứng minh ( p −+1) (p 1)  24 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p / 3 và p / 2 / Có p  2 nên p −1 và p +1 là hai số chẵn liên tiếp → (pp−+ 1).( 1) 8 (1) 0,25 Mặt khác: p / 3 → p có thể có 1 trong 2 dạng là pk=31 + hoặc pk=32 + ( k ∈ * ) Nếu pk=31 + → p −13 → ( p −+1) (p 1) 3 Nếu pk=32 + → p +13 → ( p −+1) (p 1) 3 ⇒ ( p −+1) (p 1) 3 (2) 0,25 Mà 24= 3.8 và ƯCLN (8,3)= 1 (3) 0,25 Từ (1), (2) và (3) ⇒ ( p −+1) (p 1) 24 (đpcm) 0,25 Vẽ hình đúng đến phần 1) được 0,25 x A y 0,25 O B M I C Câu 4 3,0đ 1) C/m ∆=∆AMB AMC( ) c c c (1) 0,5 C/m AM⊥ BC 0,25 C/m AM ⊥ xy 0,25 BAC 0,25 2) Từ (1) ⇒==BAM CAM 2 0 0 0 mà BAC 45 0,25 ⇒> AMB ABM > BAM 0,25 ⇒>AB AM > BM (qh giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác) 0,25
4. 3) Gọi I là giao điểm của AO và MC Xét ∆AIC có : AI < AM + MI (BĐT trong tam giác) Xét ∆OIC có : OC < OI + IC (BĐT trong tam giác) 0,25 Suy ra: AI + OC < AM + MI + OI + IC 0,25 ⇒ AO + OI + OC < AM + MC + OI ⇒ AO + OC < AM + MC (đpcm) 0,25 Ta có: x+3 zx ++ 2 y = 2022 + 2023 ⇔2( xyz ++) += z4045 0,25 Câu 5 Vì z≥⇒0 2( xyz ++) ≤4045 0,25 1,0đ 4045 Suy ra P ≤ 2 0,25 1 Dấu “=” xảy ra ⇔=zx0; = 2022; y =. 2 0,25 Ghi chú: Học sinh làm cách khác, lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa