Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CỤM THCS Năm học 2014 – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ GIAO LƯU MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề ) ( Đề giao lưu gồm có 01 trang ) Bài 1 (4,0 điểm): 1 x3 1 x2 x : Cho biểu thức A = 2 3 với x khác -1 và 1. 1 x 1 x x x 1) Rút gọn biểu thức A. 2 2) Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 . 3 3) Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 ( 4,0 điểm ): 1 2 6 a)Giải phương trình sau: xx2 2 2 xx 2 2 3 xx 2 2 4 b) Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức M= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1 là bình phương của một số nguyên Bài 3 ( 4,0 điểm ): a). Cho x,y,z là các số nguyên thỏa mãn: x + y + z chia hết cho 6 Chứng minh M = ( x + y)( x + z )( y + z ) – 2xyz chia hết cho 6 b). Cho a,b,c là các số khác 0 thỏa mãn: ab3 3 bc 3 3 ca 3 3 3 abc 2 2 2 a b c Tính giá trị biểu thức P 1 1 1 b c a Bài 4 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC), có đường cao AH sao cho AH = HC. Trên AH lấy một điểm I sao cho HI = BH. Gọi P và Q là trung điểm của BI và AC. Gọi N và M là hình chiếu của H trên AB và IC ; K là giao điểm của đường thẳng CI với AB ; D là giao điểm của đường thẳng BI với AC. a). Chứng minh I là trực tâm của tam giác ABC b). Tứ giác HNKM là hình vuông c). Chứng minh bốn điểm N, P, M, Q thẳng hàng. Bài 5 ( 2,0 điểm ): Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x2015 y 2015 z 2015 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x2 y 2 z 2 - Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: Chú ý: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
2. UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8 CẤP HUYỆN Năm học 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN LỚP 8 ( Gồm có 04 trang ) I. Một số chú ý. 1. Tổng số điểm của 5 bài trong đề thi là 20 điểm. 2. Không được làm tròn điểm của từng bài và tổng điểm đạt được của thí sinh. 3. Thí sinh có thể giải bằng các cách khác với lời giải trong hướng dẫn chấm, nếu lời giải đúng, đủ bước thì người chấm vẫn có thể cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định cho từng câu. II. Đáp án, biểu điểm và hướng dẫn chấm. Mức Bài Câu Yêu cầu cần đạt và lời giải tóm tắt điểm 1 1.1 Với x khác -1 và 1 thì : 1 x 3 x x 2 (1 x)(1 x) A= : 1 x (1 x)(1 x x 2 ) x(1 x) 0,5đ 2 (1 x)(1 x x x) (1 x)(1 x) = : 0,5đ (2,0 2 1 x (1 x)(1 2x x ) (4,0 điểm 2 1 0,5đ điểm = (1 x ) : (1 x) 2 = (1 x )(1 x) 0,5đ 1.2 2 5 5 2 5 Tại x = 1 = thì A = 1 ( ) 1 ( ) 3 3 3 3 0,25đ 25 5 (1,0 = (1 )(1 ) 0,25đ điểm) 9 3 34 8 272 2 . 10 0,5đ 9 3 27 27 1.3 Với x khác -1 và 1 thì A < 0 khi và chỉ khi (1 x 2 )(1 x) 0 (1) 0,25đ (1,0 Vì 1 x 2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 0,5đ điểm) x 1 KL 0,25đ 2 2.a 1 2 6 xx2 2 2 xx 2 2 3 xx 2 2 4 Đặt t = x2 -2x + 3 = ( x-1)2 +2. Với t 2
3. Phương trình đã cho trở thành: 0,25đ (4,0 1 2 6 điểm) (2,0 t 1 tt 1 0,25đ điểm) 2 3t 7 t 2 0 t 2 0,5đ 1 t 3 Kết hợp với ĐK ta được t = 2 2 0,5đ Do đó ta có: ( x-1) +2 =2 ( x-1)2 = 0. . x = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 0,25đ 0,25đ 2.b Ta có: M= (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) +1 2 2 = (x + 5x + 4)(x + 5x + 6) + 1 0,25đ 2 Đặt t = x + 5x + 5 0,25đ Khi đó M = (t – 1)(t + 1) +1 (2,0 0,5đ = t2 – 1 + 1 = t2 điểm) 0,5đ Vì x là số nguyên nên t là số nguyên. 0,25đ 0,25đ Vậy M là bình phương của một số nguyên 3 a). Ta có: M = ( x + y)( x + z )( y + z ) – 2xyz Học sinh biến đổi được M = ( x +y +z ) ( xy +yz + zx) – 3 xyz 0,75đ (4,0 (2,0 Vì x,y,z là các số nguyên thỏa mãn x + y + z chia hết cho 6 điểm) điểm) Nên ( x +y +z ) ( xy +yz + zx) chia hết cho 6 0,25đ Trong 3 số x,y,z tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2. Suy ra 3xyz chia hết cho 6 0,5đ Do đó: ( x +y +z ) ( xy +yz + zx) – 3 xyz chia hết cho 6 0,25đ Vậy: M chia hết cho 6 0,25đ Đặt ab =x; bc = y; ca = z Ta có: x3 + y3 +z3= 3xyz 0,25đ - Học sinh chứng minh : x+y+z = 0 hoặc x2+y2+z2-xy-yz-zx = 0 0,5đ 2,0 - TH1: x+y+z = 0 điểm HS sử dụng hằng đẳng thức : ( x+y+z)3 – x3- y3- z3 = 3 (x+y)(y+z)(z+x) 0,25đ => -xyz = (x+y)(y+z)(z+x) Ta có: -a2b2c2=(ab+bc)(bc+ca)(ca+ab) -abc = (a+b)(b+c)(c+a)
4. a b c => P 1 1 1 1 b c a 0,5đ -TH2: x2+y2+z2-xy-yz-zx = 0 => ( x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 => x=y=z => ab=bc=ca =>a=b=c P=8 0,5đ KL: 4 4.a. A D K I Q (6,0 j điểm) (2,0 M điểm) P N B C H Xét tam giác BHI có: BH = HI ; H 900 Tam giác BHI vuông cân tại H.=> IBH 450 0,5đ Tam giác AHC có AH = HC; H 900 Tam giác AHC vuông cân tại H => ACH 450 0,5đ Suy ra tam giác BCD vuông cân tại D 0,25đ Tam giác ABC có 2 đường cao AH, BD. 0,5đ Vậy I là trực tâm của tam giác ABC 0,25đ 4.b. - Xét tứ giác HMKN có: M  N 900 0,25đ K 900 . ( CK là đường cao). 0,25đ Tứ giác HMKN là hình chữ nhật. (1) 0,25đ (2,0 Xét tam giác MIH và tam giác NBH có: 0 điểm) HMI  HNB 90 HB HI( gt ) HIC  HBN 0,5đ Suy ra HMI HNB 0,25đ => HM = HN (2) 0,25đ Từ (1) và (2): Tứ giác HMKN là hình vuông 0,25đ 4.c - Theo câu b: Tứ giác HMKN là hình vuông nên M, N thuộc trung trực của đoạn thẳng KH 0,5đ (2,0 - Xét 2 tam giác vuông AHC và AKC; trung tuyếnHQ,KQ. điểm) 1,0 đ Ta có: HQ = ½ AC; KQ = ½ AC; Suy ra Q thuộc trung trực KH
5. - Hoàn toàn tương tự ta cũng có P thuộc trung trực KH 0,5 đ Vậy 4 điểm M,N,P,Q thẳng hàng 5 - Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2015 số dương x2015; x2015; 1;1;1; ;1;1 ta được x2015+x2015+1+1+1+ +1+1 20152015 xx2015 . 2015 .1.1.1 1 2015 x 2 2015 2 2x +2013 2015x 1,0đ Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2,0 2y2015+2013 2015y2 điểm) 2015 2 2z +2013 2015z 2 xyz2015 2015 2015 6039 2015( xyz 2 2 2 ) 0,5đ => x2 y 2 z 2 3 Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1 Vậy x2 + y2 + z2 đạt giá trị lớn nhất là 3 tại x = y = z =1 0,5đ