Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Thành phố Chí Linh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Thành phố Chí Linh (Có đáp án)

1. UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN - LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) x26 1 10 x 2 A : x 2 x0, x 2 Cho biểu thức : 3 với . xx 4 6 3 xx 2 x 2 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A A . Câu 2: (2,0 điểm) 3 2 4 9 a) Giải phương trình : x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 b) Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P(5) = 0. Tính giá trị của biểu thức: Q = P(-2) + 7P(6). Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: (y 2) xy3 2 2 y 1 0 b) Cho 3 số nguyên tố x < y < z liên tiếp thỏa mãn x2 y 2 z 2 là một số nguyên tố. Chứng minh rằng x 1 2 y 2 2 z 3 2 cũng là một số nguyên tố. Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình thoi ABCD cạnh a có ABC 60o . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, E thuộc 4 tia BC sao cho BE BC , AE cắt CD tại F. Trên hai đoạn AB và AD lần lượt lấy hai điểm G và H 3 sao cho CG song song với FH. a) Tính diện tích hình thoi ABCD theo a. b) Chứng minh rằng : 4BG . DH 3 a2 c) Tính số đo góc GOH. Câu 5: (1,0 điểm) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. a b c3 abc Chứng minh rằng : 2 bcca ab abbcca HẾT
2. UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN - LỚP 8 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Phần Nội dung đáp án Điểm x26 1 10 x 2 a) A : x 2 3 xx 4 6 3 xx 2 x 2 2 2 0,25 x2 1 xx 4 10 A : xxxx2 2 2 2 x 2 a 6x 2 0,25 A . x 2 x 2 6 Câu 1 1 A 0,25 2 x 1 0,25 Vậy A với x 0, x 2 2 x A A A 0 0,25 1 b 0 2 x 0 x 2 0,5 2 x Kết hợp với ĐKXĐ x 0, x 2 ta có x < 2; x 0, x 2 0,25 ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3. 3 2 4 9 x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 3 2 4 9 0,25 xx 1 4 xx 4 6 3 xx 3 6 1 1 1 1 4 1 1 xx 1 4 xx 4 6 3 xx 3 6 0,25 a 1 4 1 x 1 3 x 3 Câu 2 3 x 3 4 xx 1 3 3 x 1 3 xx 1 3 3 xx 1 3 3 xx 1 3 0,25 4xx2 8 0 4 xx 2 0 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện). 0,25 Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {0; 2}. b) Ta có: P(x) (x - 1), (x - 3), (x - 5) mà P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 0,25 1 nên P(x) có dạng: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5) (x + a) 0,25 b Khi đó: P(-2) + 7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 + a) +7.5.3.1.(6 + a) = -105.(-2 + a) +105.(6 + a) 0,25 = 105.(2 – a +6 + a) = 840 0,25 3 Nếu y + 2 = 0 y 2 lúc đó bài toán có dạng 0x – 1 = 0 (KTM). 0,25 y2 2 y 1 1 Câu 3 a Nếu y 2 thì ta có x3 y y 2 y 2
3. 1 Vì x, y nguyên nên nguyên => y 2 Ư(1) 1;1 . 0,25 y 2 3 Với y 2 1 y 3 x 4 (loại). 0,25 3 Với y 2 1 y 1 x 0 x 0 0,25 Vậy số nguyên x, y thỏa mãn đề bài là : x = 0, y = -1. 2 2 2 Nếu x; y; z đều không chia hết 3 thì x ; y ; z chia cho 3 đều dư 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z chia hết cho 3 mà xyz3xyz là hợp số. 0,25 Trong 3 số x; y; z có ít nhất 1 số chia hết cho 3 mà x; y; z là số nguyên tố có ít nhất một số là 3 và do x < y < z là 3 số nguyên tố liên tiếp (x; y; z) = (2; 3; 5); (3; 5; 7) 0,25 b + Xét (x; y; z) = (2; 3; 5) 2 2 2 x y z 38 P (Loại) 0,25 + Xét (x ; y ; z) = (3; 5; 7) x2 y 2 z 2 83 là số nguyên tố (t/m) x1 2 y 2 2 z 3 2 22 3 2 4 2 29 là số nguyên tố. 0,25 A G H Hìn B D h O vẽ I F 0,25 C E a +) Kẻ AI BCI( BC ) . Tính được BI CI 0,25 2 0,25 a 3 +) Áp dụng định lí Pi-ta-go tính AI Câu 4 a 2 2 0,25 a3 a 3 +) Tính diện tích hình thoi bằng AI BC a 2 2 Chú ý : HS có thể tính theo công thức diện tích hình thoi. BC BG +) Chứng minh BCG đồng dạng DHF BCDF DHBG 0,25 DH DF BC AF DF3 DF +) Theo định lý Ta-lét tính được : 0,25 b BE AE DC4 CD 3 3 3 0,25 +) DF DC BC BGDH. a2 4 4 4 +) 4BG . DH 3 a2 0,25 3 3 c +) Theo định lý Py-ta-go tính được BO2 BC 2 CO 2 BC 2 a 2 4 4
4. 3 Mà BG. DH a2 nên BGDH BO2 BODO 4 0,25 BG BO +) kết hợp với GBO HDO 300 DO DH => BGO đồng dạng DOH (c.g.c) GOB DHO 0,25 +) Có GOB GOH HOD 180o , vì GOB DHO (cmt) Nên DHO GOH HOD 180o . Do DHO HOD 150o (vì DOH 30o ) 0,25 +) Suy ra GOH 300 0,25 Với a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác ta chứng minh được : (a b c )( b c a )( c a b ) 0 0,25 a b c3 abc Ta có : bccaab ( abbcca )( )( ) a( a c )( a b )( b b a )( b c )( c c a )( c b )3 abc (a b )( b c )( c a ) 3 3 3 a b c6 abc ab ()()() a b bc b c ca c a 0,25 Câu 5 ab( a b ) bc ( b c ) ca ( c a ) 2 abc a3 b 3 c 3 4 abc 1 (a b )( b c )( c a ) Theo kết quả trên : (a b c )( b c a )( c a b ) 0 3 3 3 ab( a b ) bc ( b c ) ca ( c a ) 2 abc a b c 0,25 3 3 3 (a b )( b c )( c a ) 4 abc a b c a3 b 3 c 3 4 abc 1 2 (a b )( b c )( c a ) 0,25 Chú ý : Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.