Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thanh Hà (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thanh Hà (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN THANH HÀ ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). x2 616 1) Rút gọn biểu thức: A = ++: với xx≠±2, ≠0 3 −+− + x4 x 63 xx 2 x 2 a b 2c 2) Cho abc = 2; tính giá trị của biểu thức B = ++ ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2 Câu 2 (2,0 điểm). 1) Giải phương trình : 3xx− 2 3 +=− 8 16 ( )( ) 3 2 2) Xác định các số a, b để đa thức f (x) = x + 2x + ax + b chia hết cho đa thức g(x) = x 2 + x +1 Câu 3 (2,0 điểm). 1) Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x2 −=16 yy( + 6) 2) Cho abc,,∈ . Chứng minh a555+ b + c −( abc ++ )  30 Câu 4 (3,0 điểm). Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF. Gọi H là giao điểm của AE và BC. 1) Chứng minh ∆=∆AME CMB và AE⊥ BH . 2) Gọi O và O’ lần lượt là giao điểm hai đường chéo của hình vuông AMCD, BMEF. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. 3) Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng cố định AB. Câu 5 (1,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B= xy( x − 2)( y ++ 6) 12x22 − 24x + 3y + 18y + 2053 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT1: Họ, tên chữ ký GT2:
2. UBND HUYỆN THANH HÀ HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN (Hướng dẫn gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm 1) x2 6 16 0,25 A = −+: xx(−+ 2)( x 2) 3( x − 2) x + 2 x + 2 x 21 6xx−2( + 2) +− x 2 6 = −+ : = : (xx−+ 2)( 2) x − 2 x + 2 x + 2 (xx−+ 2)( 2) x + 2 0,25 xx−24 −+− x 2 x + 2 −+62x = ⋅ = ⋅ (xx−+ 2)( 2) 6 (xx−+ 2)( 2) 6 0,25 −11 = = xx−−22 Câu 1 1 0,25 Vậy A = với xx≠±2, ≠0 2,0đ 2 − x 2) Ta có : a ab 2c a ab 2c B = + + =++ ab + a + 2 abc + ab + a ac + 2c + 2 ab + a + 2 2 + ab + a ac + 2c + abc 0,25 a ab 2c a ab 2 =++ =++ ab + a + 2 2 + ab + a c(a + 2 + ab) ab + a + 2 2 + ab + a a + 2 + ab 0,25 ab + a + 2 = ab + a + 2 0,25 = 1 0,25 1) 3xx− 2 3 +=− 8 16 ( )( ) ⇔9xx2 + 18 −=− 16 16 0,25 ⇔+=2 9xx 18 0 ⇔9xx ( += 2) 0 0,25 90xx= = 0 ⇔⇔ xx+=20 =− 2 0,25 Câu 2 Vậy x = 0; x = -2 0,25 2,0đ 2) fx( )= x32 + 2 x + axbx +=( 3 −1) + 2( x 2 ++ x 1) + ( a − 2) xb +− 1 0,25 Để f (x) = x 3 + 2x 2 + ax + b chia hết cho đa thức g(x) = x 2 + x +1 thì 0,25 (a− 2) xb +−≡ 1 0 với mọi x aa−=20 = 2 0,25 => ⇒ bb−=10 = 1 Vậy a = 2 và b = 1 thì đa thức f (x) = x 3 + 2x 2 + ax + b chia hết cho đa 0,25 thức g(x) = x 2 + x +1 2 1)x22−= 16 yy( +⇔−+ 6 ) x( y 3) = 7 0,25 ⇔( xy ++3)( xy −− 3) = 1.7 = 7.1 =−−=− ( 1).( 7) ( 7).( − 1) 0,25
3. xy+ -2 4 -4 -10 xy− 10 4 -4 2 0,25 Vậy các cặp số nguyên (x; y) phải tìm là: 0,25 (4;− 6) ,( 4;0) ,( − 4;0) ,( −− 4; 6) Câu 3 5 22 22 2,0đ 2) Ta có: a−=−+=−−+ a aa( 1)( a 1) aa( 1)( a 45) =−(a2)( a − 1.1251 1) aa( +)( a ++) ( a −) aa( +) 0,25 Do (a−21)( a −) aa( ++ 12)( a ) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên 0,25 chia hết cho cả 2;3;5, do đó chia hết cho 30 Lại có (a−+11) aa( ) chia hết cho 6nên 51(a−+) aa( 1)chia hết cho 0,25 30 Từ đó suy ra aa5 − chia hết cho 30 Tương tự bb5 − chia hết cho 30và cc5 − chia hết cho 30. Từ đó suy ra (a555++−++=−+−+− b c) ( abc) ( a5 a) ( b 5 b) ( c 5 c) 0,25 chia hết cho 30 Vẽ hình đúng ý 1) được 0,25 0,25 E F I H D C O' O B A M K 1) Chứng minh ∆=∆AME CMB 0,5 Chứng minh được AE⊥ BC 0,5 Câu 4 2) Tam giác vuông AHC có OH là đường trung tuyến ứng với cạnh 3,0đ 11 huyền AC ⇒=OH AC = DM 0,25 22  0 0,25 ⇒∆DMH (H = 90 ) ⇒ DH ⊥ MH (1) Chứng minh tương tự, ta được HF⊥ MH (2) 0,25 Từ (1) và (2) ⇒ DHF,, thẳng hàng. 0,25 3) Gọi I là giao điểm của AC và DF Chứng minh được OI là đường trung bình của tam giác DMF, hay I là trung điểm DF 0,25
4. Kẻ IK vuông góc AB ( K thuộc AB ) ⇒ K là trung điểm của AB, vậy K cố định 0,25 11 Mặt khác IK=() AD += BF AB ( Không đổi )⇒ I cố định. 22 Vậy DF luôn đi qua I cố định. 0,25 B= xy( x −2)( y ++ 6) 12 x22 − 24 x + 3 y + 18 y + 2053 2 Do: xx22−+=−≥⇒−+≥2 1( x 1) 0 xx 2 32 với mọi x∈ (1) 2 yy22++=+≥⇒++≥6 9( y 3) 0 yy 6 12 3 với mọi y ∈ (2) 0,25 B= xy( x −2)( y ++ 6) 12 x22 − 24 x + 3 y + 18 y + 2053 22 2 2 Câu 5 =−( xxyy2)( ++ 6) 12( xx −+ 2) 3( yy +++ 6) 36 2017 0,25 1,0đ =( xxyy22 −2)( ++ 6 12) + 3( yy2 ++ 6 12) + 2017 =( xx22 −+2 3)( yy ++ 6 12) + 2017 (3) 0,25 Từ (1) ,( 2) ,( 3) ⇒≥BB 2.3 + 2017 ⇒≥ 2023 x =1 Vậy GTNN của B =2023 ⇔  0,25 y = −3 Ghi chú: Học sinh làm cách khác, lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa