Đề giao lưu học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Chí Linh (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Chí Linh (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 Môn: TOÁN - LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a4( b− c) + b 4( c − a) + c 4 ( a − b) a b c b a c 2) Cho ba số abc, , 0 thỏa mãn: + + = + + . Tính giá trị của b c a a c b biểu thức sau: P=( a − b)( b − c)( c − a)( a +2 b + 3 c)2022 + 2023 Câu 2: (2,0 điểm) 22 x−1 2 x + 4 x − 1 1) Giải phương trình: − +3. = 0 x+2 x − 3 x − 3 2) Đa thức fx( ) chia cho x +1 dư 4, chia cho x2 +1 dư 23x + . Tìm phần dư khi chia đa thức fx( ) cho ( xx++11)( 2 ). Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm các cặp số nguyên ( xy, ) thỏa mãn: x22+8 y + 4 xy − 2 x − 4 y = 4. 2) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn n2 + 4 và n2 +16 là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5. Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. AH BH CH 1) Chứng minh: + + = 2 AD BE CF 2) Gọi M là trung điểm của AC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, đường thẳng này cắt AB, BC lần lượt tại P, Q. Chứng minh AM.BQ = AH.BH. 3) Chứng minh MPQ là tam giác cân. Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2+ b 2 + c 2 abc . a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ++ a2+ bc b 2 + ca c 2 + ab Hết * Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
2. UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI Năm học 2022-2023 Môn: TOÁN - LỚP 8 (Hướng dẫn này gồm 05 câu, 05 trang) Câu Ý Đáp án Điểm =abc4( −) − babbc 4( − + −) + cab 4 ( − ) 0,25 =abcbabbbc4( −) − 4( −) − 4( −) + cab 4 ( − ) =(b − c)( a4 − b 4) −( a − b)( b 4 − c 4 ) 0,25 2 2 2 2 1 =(bcababa −)( −)( +)( + b) −( abbcbcb −)( −)( +)( + c ) =(a − b)( b − c)( a3 + ab 2 + a 2 b + b 3 − b 3 − bc 2 − b 2 c − c 3 ) 0,25 2 2 2 =−−(a b)( b c) ( a − c)( a +++−+−+ ac c) b( a c) b( a c)( a c) =(abbcaca −)( −)( −)( 2 + b 2 + c 2 + abbcca + + ) 0,25 Câu 1 Với abc, , 0 , ta có: a b c b a c (2 điểm) + + = + + b c a a c b 0,25 a b c b a c a−− c a22 c b( a− c) ++−−−= 00 − + = b c a a c b b ac ac 1 a+ c b 2 2 −(a c) − += −0 ( a c )( ac −−+= ab bc b ) 0 b ac ac 0,25 (a − c) a( c − b) − b( c − b) = 0 (a − c)( c − b)( a − b) = 0 0,25 P =( a − b)( b − c)( c − a)( a +2 b + 3 c)2022 + 2023 0,25 =0 + 2023 = 2023 ĐKXĐ: xx −2 , 3 x−1 x + 2 x − 1 Ta có : . = x+2 x − 3 x − 3 0,25 Câu2 x−1 x + 2 x − 1 1 Đặt a=; b = ab = (2điểm) x+2 x − 3 x − 3 Khi đó ta có phương trình : 2 0,25 a2−(2 b) + 3 ab = 0 a 2 + 3 ab − 4 b 2 = 0
3. ab= (a − b)( a +40 b) = ab=−4 Trường hợp 1: xx−+12 2 a= b = −+=+ x2 4 x 3( x 2) −+=+ 4 x 3 4 x 4 xx+−23 0,25 −1 8x + 1 = 0 x = ( t / m ) 8 Trường hợp 2: xx−1 − 4 − 8 a=− 4 b = −+=−−− x22 4 x 3 4 x 16 x 16 xx+−23 2 2 6 59 5x + 12 x + 19 = 0 5 x + + = 0 55 2 6 59 59 0,25 Do 5. x + + 0  x R phương trình 5 5 5 2 6 59 x + + = 0 vô nghiệm 55 −1 Vậy PT có nghiệm là x = 8 x2+8 y 2 + 4 xy − 2 x − 4 y = 4 ( x + 2 y − 1)2 + 4 y 2 = 5 Do 44;y2( x+ 2 y − 1)22 0;4 y 2 0  x ,; y( x + 2 y − 1,4) y 2 là số 0,25 2 44y = chính phương nên 2 ( xy+2 − 1) = 1 y =1 yy==11 x = 0 2 + TH1: 22 (t/m) 0,25 ( x+2 y − 1) = 1( x + 1) = 1 x =−2 +) TH2: y =−1 yy= −11 = − 0,25 x = 4 22 (t/m) ( x+2 y − 1) = 1( x − 3) = 1 x = 2 Vậy các cặp số nguyên(xy;) ( 0;1) ;( − 2;1) ;( 2; − 1) ;( 4; − 1) 0,25 Theo định lí Bê-du ta có: f(x) chia x+1 dư 4 f(-1)=4 Câu3 1 Do bậc đa thức chia ( xx++11)( 2 ) là 3 nên đa thức dư có dạng 0,25 (2điểm) ax2 + bx+c
4. Gọi thương của phép chia f(x) cho( xx++11)( 2 ) là Q(x), ta có: f(x) = (x+1)(x2 +1).Q(x) + ax2 + bx+c =(x+1)(x2 +1).Q(x) + ax2 +a - a + bx+c =(x+1)(x2 +1).Q(x) + a(x2 +1) - a + bx+c 0,25 = [(x+1).Q(x) + a](x2 +1) + bx+ c - a b = 2 Vì f(x) chia cho x2 +1 dư 2x+3 (1) ca−=3 Mặt khác f(-1)=4 a - b+ c = 4 (2) 39 Từ (1) và (2) a=; b = 2; c = 0,25 22 3 9 Vậy đa thức dư là: x2 +2x + . 0,25 2 2 Ta có với mọi số nguyên m thì m2 chia cho 5 dư 0 ; 1 hoặc 4. 0,25 + Nếu n2 chia cho 5 dư 1 thì n2= 5 k + 1 n 2 + 4 = 5 k + 5 5; k * . 0,25 nên n2 + 4 không là số nguyên tố ( loại) 2 + Nếu n2 chia cho 5 dư 4 thì n2= 54 k + n 2 + 165205; = k + k * . 0,25 nên n2 +16 không là số nguyên tố ( loại) Vậy n2 5 hay n chia hết cho 5 (đpcm) 0,25 -Vẽ hình phần a) A P E Câu4 M 0,25 (3điểm) F H C B D Q
5. 11 AH BC AH( BD+ DC) AH ==22 11 AD BC AD BC AD 22 0,25 11 BD AH+ CD AH SS+ ==22 ABH ACH 1 S BC. AD ABC 1 2 BH S++ S CH S S ==ABH BCH; ACH BCH 0,25 BE SABC CF S ABC AH BH CH S+ S S + S S + S + + =ABH ACH + ABH BCH + ACH BCH AD BE CF SABC S ABC S ABC 0,25 2(SSS++) = ABH ACH BCH = 2( DPCM) SABC Ta có AHM+ AHP = PHM =900 Vì PH ⊥ MH ( ) BQH+= DHQ 900 ( Vì DHQ vuông tại D) 0,25 Mà AHP= DHQ (2 đối đỉnh) =AHM BQH Ta có: HBQ+= BCA 900 (Vì tam giác BEC vuông tại E) HAM+= BCA 900 (Vì tam giác ADC vuông tại D) 0,25 2 =HBQ HAM Xét AMH và BQH có: HBQ= HAM và AHM= BQH (cmt) 0,25 AMH∽ BHQ(.) g g AM AH = AM BQ = AH BH (đpcm) 0,25 BH BQ BQH= AMH Vì AMH∽ BHQ() cmt AM MH mà AM =CM = BH QH 0,25 CM MH BH QH = = (1) BH QH CM MH 3 BH PH CMTT: BHP∽ CMH(.) g g =(2) 0,25 CM MH PH QH Từ (1) và (2) = MH MH 0,25 =PH QH H là trung điểm của PQ
6. Xét PMQ có MH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao 0,25 PMQ cân tại M Ta có với x, y > 0 thì: ( x+y)2 4xy 1 1 4 1 1 1 1 + + (*) 0,25 x y x++ y x y4 x y Dấu "=" xảy ra khi x = y. Áp dụng bất đẳng thức trên ta được: a a 1 1 1 1 a 1 1 a2 22 + = + = + a+ bc4 a bc 4 a bc 4 a abc 0,25 Kết hợp với giải thiết a2+ b 2 + c 2 abc ta được: a1 1 a22 1 1 a 2 + + 2 2 2 a+ bc44 a abc a a + b + c Tương tự ta có: Câu5 22 b1 1 b c 1 1 c (1điểm) 2 + 2 2 2 ; 2 + 2 2 2 b+ ca44 b a + b + c c + ab c a + b + c 0,25 a b c 1 1 1 1 2 + 2 + 2 + + +1 a+ bc b + ca c + ab4 a b c Mặt khác dễ chứng minh được: a2+ b 2 + c 2 ab + bc + ac ab+ bc + ac ab + bc + ac 1 1 1 1 = + + a2++ b 2 c 2 abc a b c a b c 1 1 1 1 1 1 0,25 P =2 + 2 + 2 + + +1 .2 = a+ bcb + cac + ab4 abc 4 2 Dấu “=” xảy ra a = b = c = 3. 1 Vậy GTLN của biểu thức P là khi a = b = c = 3. 2 Chú ý: Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.