Đề giao lưu học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thanh Hà (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thanh Hà (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN THANH HÀ ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). x2 6 1 6 1) Rút gọn biểu thức: A 3 : với x 2, x 0 x 4x 6 3x x 2 x 2 a b 2c 2) Cho abc = 2; tính giá trị của biểu thức B = ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2 Câu 2 (2,0 điểm). 1) Giải phương trình : 3x 2 3x 8 16 3 2 2) Xác định các số a, b để đa thức f (x) x 2x ax b chia hết cho đa thức g(x) x 2 x 1 Câu 3 (2,0 điểm). 1) Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x2 16 y y 6 2) Cho a,b,c ¢ . Chứng minh a5 b5 c5 (a b c)  30 Câu 4 (3,0 điểm). Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF. Gọi H là giao điểm của AE và BC. 1) Chứng minh AME CMB và AE  BH . 2) Gọi O và O’ lần lượt là giao điểm hai đường chéo của hình vuông AMCD, BMEF. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. 3) Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng cố định AB. Câu 5 (1,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2053 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT1: Họ, tên chữ ký GT2:
2. UBND HUYỆN THANH HÀ HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN (Hướng dẫn gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm 1) x2 6 1 6 0,25 A : x(x 2)(x 2) 3(x 2) x 2 x 2 x 2 1 6 x 2(x 2) x 2 6 : : 0,25 (x 2)(x 2) x 2 x 2 x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2x 4 x 2 x 2 6 x 2   (x 2)(x 2) 6 (x 2)(x 2) 6 0,25 1 1 x 2 2 x Câu 1 1 0,25 Vậy A với x 2, x 0 2,0đ 2 x 2) Ta có : a ab 2c a ab 2c B = ab + a + 2 abc + ab + a ac + 2c + 2 ab + a + 2 2 + ab + a ac + 2c + abc 0,25 a ab 2c a ab 2 ab + a + 2 2 + ab + a c(a + 2 + ab) ab + a + 2 2 + ab + a a + 2 + ab 0,25 ab + a + 2 ab + a + 2 0,25 = 1 0,25 1) 3x 2 3x 8 16 9x2 18x 16 16 0,25 9x2 18x 0 9x(x 2) 0 0,25 9x 0 x 0 0,25 x 2 0 x 2 Câu 2 Vậy x = 0; x = -2 0,25 2,0đ 2) f (x) x3 2x2 ax b x3 1 2(x2 x 1) (a 2)x b 1 0,25 Để f (x) x 3 2x 2 ax b chia hết cho đa thức g(x) x 2 x 1 thì 0,25 (a 2)x b 1  0 với mọi x a 2 0 a 2 0,25 => b 1 0 b 1 Vậy a = 2 và b = 1 thì đa thức f (x) x 3 2x 2 ax b chia hết cho đa 0,25 thức g(x) x 2 x 1 1) x2 16 y y 6 x2 y 3 2 7 0,25 x y 3 x y 3 1.7 7.1 ( 1).( 7) ( 7).( 1) 0,25
3. x y -2 4 -4 -10 x y 10 4 -4 2 0,25 Vậy các cặp số nguyên (x; y) phải tìm là: 0,25 4; 6 , 4;0 , 4;0 , 4; 6 Câu 3 5 2 2 2 2 2,0đ 2) Ta có: a a a a 1 a 1 a a 1 a 4 5 a 2 a 1 a. a 1 a 2 5 a 1 .a. a 1 0,25 Do a 2 a 1 a a 1 a 2 là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2;3;5, do đó chia hết cho 30 0,25 Lại có a 1 a a 1 chia hết cho 6nên 5 a 1 a a 1 chia hết cho 0,25 30 Từ đó suy ra a5 a chia hết cho 30 Tương tự b5 bchia hết cho 30và c5 c chia hết cho 30. Từ đó suy ra a5 b5 c5 a b c a5 a b5 b c5 c 0,25 chia hết cho 30 Vẽ hình đúng ý 1) được 0,25 0,25 E F I H D C O' O B A M K 1) Chứng minh AME CMB 0,5 Chứng minh được AE  BC 0,5 Câu 4 2) Tam giác vuông AHC có OH là đường trung tuyến ứng với cạnh 3,0đ 1 1 huyền AC OH AC DM 0,25 2 2 DMH (Hµ 900) DH MH (1) 0,25 Chứng minh tương tự, ta được HF MH (2) 0,25 Từ (1) và (2) D, H, F thẳng hàng. 0,25 3) Gọi I là giao điểm của AC và DF Chứng minh được OI là đường trung bình của tam giác DMF, hay I là trung điểm DF 0,25
4. Kẻ IK vuông góc AB ( K thuộc AB ) K là trung điểm của AB, vậy K cố định 0,25 1 1 Mặt khác IK (AD BF) AB ( Không đổi ) I cố định. 2 2 Vậy DF luôn đi qua I cố định. 0,25 B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2053 2 Do: x2 2x 1 x 1 0 x2 2x 3 2 với mọi x ¡ (1) 2 y2 6y 9 y 3 0 y2 6y 12 3 với mọi y ¡ (2) 0,25 B xy x 2 y 6 12x2 24x 3y2 18y 2053 2 2 2 2 Câu 5 x 2x y 6y 12 x 2x 3 y 6y 36 2017 0,25 1,0đ x2 2x y2 6y 12 3 y2 6y 12 2017 x2 2x 3 y2 6y 12 2017 (3) 0,25 Từ 1 , 2 , 3 B 2.3 2017 B 2023 x 1 Vậy GTNN của B 2023 0,25 y 3 Ghi chú: Học sinh làm cách khác, lập luận đúng vẫn cho điểm tối đa