Đề khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2023 -2024 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm). Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (dd12),( ) có phương trình 2 (d12) : y=+ x 3;( d) : y =−+ 2 xm +− m18 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng (dd12),( ) cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành Ox . abcbca Câu 2. (2,0 điểm). Cho ba số thực abc,,≠ 0thỏa mãn ++=++. Tính giá trị biểu thức bcaabc abc P =++. ab+++ bc ca 2 Câu 3. (2,0 điểm). Cho đa thức px( ) =−+2024 x2025 2025 x2024 1. Biết px( ) =( x −1.) qx( ) với qx( ) là đa thức. Tính giá trị q(1) . 3 Câu 4. (2,0 điểm). Giải phương trình: xxx32−9 ++ 6 23( x − 2) = 0.  2 ( y−35 x +) xy += 2 xy − Câu 5. (2,0 điểm). Giải hệ phương trình  22 ( x+ y)( xy ++) 2 xyxy =+ Câu 6. (4,0 điểm). Cho hình thang ABCD vuông ở đỉnh A và đỉnh B thỏa mãn AD=22 AB = BC . Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. a) Chứng minh ∆∆BHC BCD và tính độ dài CH khi độ dài AB = 4cm . b) Gọi M là trung điểm của HD. Đường thẳng AM và BC cắt nhau tại điểm E. Chứng minh EC EB= EM EA. Câu 7. (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N thỏa mãn AM= DN . Kẻ CH vuông góc MN (H thuộc MN), đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt CH tại P. Chứng minh ba điểm DBP,, thẳng hàng. Câu 8 (2,0 điểm). Khi kí hợp đồng làm việc thời hạn 5 năm với người lao động được tuyển dụng mới, một công ty đưa ra ba phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng, kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương tăng thêm 22 triệu so với năm trước. Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 30 triệu đồng, kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tăng 1,5 triệu đồng so với quí trước(mỗi quí được tính bừng 3 tháng). Phương án 3: Tháng thứ nhất, tiền lương là 6 triệu đồng, kể từ tháng thứ 2 trở đi, mỗi tháng tăng 300 nghìn đồng so với tháng trước. Nếu là người lao động được tuyển dụng, em sẽ chọn phương án nào để khi kết thúc hợp đồng, tổng số tiền lương thu được là nhiều nhất? Câu 9. (2,0 điểm). Cho 3 số thực không âm abc,, thỏa mãn abc++=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Labc=++333. HẾT - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 HUYỆN BÌNH XUYÊN NĂM HỌC 2023-2024 MÔN: TOÁN Câu 1. (2,0 điểm)Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (dd12),( ) có phương trình 2 (d12) : y=+ x 3;( d) : y =−+ 2 xm +− m18 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng (dd12),( ) cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành Ox . Nội dung Điểm yx= + 3 0,5 Tọa độ giao điểm A của (dd12),( ) là nghiệm của hệ  2 y=−+2 xm +− m 18  mm2 +−21 0,5 x = 22  3 mm+−21 mm +− 12 ⇔⇒ A; mm2 +−12 33 y =  3 mm2 +−12 m = 3 0,5 Để điểm A thuộc Ox thì tung độ điểm A bằng 0 ⇒=⇔0  3 m = −4 mm=3, = − 4 0,5 Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn là abcbca Câu 2 (2,0 điểm). Cho ba số thực abc,,≠ 0thỏa mãn ++=++. Tính giá trị biểu thức bcaabc abc P =++. ab+++ bc ca Nội dung Điể m bca 0,5 Đặt xyz=,, = = Ta có xyz =1 abc abcbca 111 và ++ = ++ ⇔ + +=++⇒++=xyz xyz xyyzzx + + bcaabc xyz abc111(11+xy)( +) ++( 11 yz)( +) ++( 11 zx)( +) 0,5 P = ++ =++= ab+ bc + ca +1 + x 1 + y 1 + z (111+++x)( y)( z) 32+( xyz ++) +( xyyzzx + +) 32 +( xyz ++) +( xyyzzx + + ) 0,5 = = 12+( xyz ++) +( xyyzzx + +) + xyz +( xyz ++) +( xyyzzx + + ) 32+( xyz ++) +( xyz ++) 3 0,5 = = 22+( xyz ++) +( xyz ++) 2 Câu 3. (2,0 điểm). Cho đa thức px( ) =−+2024 x2025 2025 x2024 1. Biết px( ) =( x −1.) qx( ) với qx( ) là đa thức. Tính giá trị q(1) . Nội dung Điểm Với số tự nhiên n ≥ 2 ta có 0,5 nxn+1−+( n12) xn = n( x n+−11 − x nn + x) +−( n 1) xn − nx n−1 2 =nxn−−11( x −11) +−( n) xnn − nx Áp dụng liên tiếp kết quả trên với các giá trị n từ 2024 đến 2 ta được 0,5
3. 2 px( ) =2024 x2025 − 2025 x2024 += 1 2024 x2023 ( x − 1) +( 2023 x2024 − 2024 x2023 ) + 1 22 =2024xx2023 ( −+ 1) 2023 xx2022 ( −+ 1) ( 2022 x2023 − 2023 x2022 ) + 1 2 22 =2024x2023 ( x −+ 1) 2023 x2022 ( x −++ 1) 2 xx( −+ 1) ( x2 − 2 x) + 1 2 2 22 =2024x2023 ( x −+ 1) 2023 x2022 ( x −++ 1) 2 xx( −+− 1) ( x 1) ⇒hx( ) =+1 2 x + 3 x2 ++ 2023 x2022 + 2024 x2023 0,5 2024.2025 0,5 ⇒h(1) =+++ 1 2 3 + 2023 + 2024 = =1012.2025 2 3 Câu 4. (2,0 điểm). Giải phương trình: xxx32−9 ++ 6 23( x − 2) = 0. Nội dung Điểm 2 0,5 Điều kiện x ≥ 3 33 x32−++9 x 6232 x( x −=⇔−) 0 x3 332232 xx( −+) ( x −=) 0 Đặt a= xb3 , = 32 x −⇒ 0,5 3 x3−332232 x( x −+) ( x −) =⇔− 0a3 3 ab 23 + 2 b = 0  2 2 xx−3 −= 2 01( ) ⇔−(ab) ( a +2 b) =⇔− 0( x 32 x −) ( x + 2320 x −=⇔)  xx+2 3 −= 2 02( ) 2 x =1 0,5 (1) ⇔ 3x −=⇔ 2 xx − 3 x +=⇔ 20  x = 2 2 0, 5 Do x ≥ nên (2) vô nghiệm 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x ∈{1; 2}  2 ( y−35 x +) xy += 2 xy − Câu 5. (2,0 điểm). Giải hệ phương trình  22 ( x+ y)( xy ++) 2 xyxy =+ Nội dung Điểm Điều kiện xy+≥0; xy −≥ 0 Ta có 0,5 2 ( x22+ y)( xy ++) 2 xyxy =+⇔+( xy) ( xy +−) 22 xyxy( ++) xyxy =+ ⇔ + +2 − − +− = ( xy) ( xy) 12 xyxy( 10) 22 22 x+ y ++= xy0 ⇔( xy +−10)( x + y ++ xy) =⇔ xy+ −=10 TH1: x22+ y ++= xy0 do x+≥⇒ y0( xy ;) =( 0;0) thử lại thỏa mãn hệ. 0,5 TH2: xy+ −=10 ⇒ y =− 1 xthế vào phương trình đầu ta được 0,5
4. 221 ⇒xx −5 + 6 = 22 x − 1 x ≥ ⇔( xx −6 + 5) +( x +− 122 x − 1) = 0 2 2 22( xx+−1) 42( − 1) 1 ⇔( xx −++65) =⇔−+0( xx 651) + =0 xx++122 − 1 xx++122 − 1 2 xy=10 = ⇔xx −6 +=⇔ 50  ⇒ xy=54 = − Vậy hệ có 3 nghiệm ( xy;) = ( 0;0) ,( 1;0)( 5;− 4) 0,5 Câu 6. (4,0 điểm). Cho hình thang ABCD vuông ở đỉnh A và đỉnh B thỏa mãn AD=22 AB = BC . Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. B C E H N M A K D a) Chứng minh ∆∆BHC BCD và tính độ dài CH khi độ dài AB = 4cm . Nội dung Điểm Tam giác vuông ABD có đường cao AH nên ta có AB2 = BH. BD 0,5 Lại do AB=⇒= BC BC2 AH. AD BH BC 0,5 ⇒= nên ta có ∆∆BHC BCD BC AD 11 0,5 Kẻ CK⊥⇒== AD CK AB4cm; AK == BC AD ⇒= KD AD == BC 4cm 22 Áp dụng công thức Pitago vào tam giác CKD ta có CD= KC2 + KD 2 =4 22 += 4 4 2cm Mặt khác tamm giác ABD vuông nên ta có BD= AB2 + AD 2 =4 22 += 8 4 5cm BC 4 4 10 0,5 Lại do ∆BHC ∆ BCD ⇒= HC. CD = .4 2 = cm BD 45 5 b) Gọi M là trung điểm của HD. Đường thẳng AM và BC cắt nhau tại điểm E. Chứng minh EC EB= EM EA. Nội dung Điểm Gọi N là trung điểm của AH thì MN đường trung bình của tam giác HAD 0,5 1 ⇒=⇒=MN// AD , MN AD MN// BC , MN BC nên tứ giác BCMN là hình bình hành 2 ⇒ CM// BN ( 1)
5. Mặt khác MN// AD⇒⊥ MN AB nên N là trực tâm của tam giác ABM 0,5 ⇒⊥BN AM (2) ⇒⊥BN AM (2) 0,5 Từ (1),(2) ⇒⊥CM AM nên hai tam giác vuông EMC và EBA đồng dạng EM EB 0,5 ⇒=⇔EC EB = EM EA EC EA Câu 7. (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N thỏa mãn AM= DN . Kẻ CH vuông góc MN (H thuộc MN), đường thẳng qua M vuông góc với AB cắt CH tại P. Chứng minh ba điểm DBP,, thẳng hàng. A M B H P N D Q C Nội dung Điểm Từ giả thiết dễ thấy hai tam giác vuông ∆∆CDM, DAM bằng nhau nên ta có 0,5 DM= CN(1) và DM⊥ CN Gọi Q là giao điểm MP với CD. Do 0,5 QC= MB = NA(2) và PCQ = NMQ = MNA (3) ; NAM = CQP = 900 ( 4) ⇒∆CQP =∆ NAM ⇒ CP = NM (5) Mặt khác PCN = NMD (6) (góc có cặp cạnh tương ứng vuông góc) 0,5 Từ (1,5,6) ( ) ( ) ⇒∆PCN =∆ NMD ⇒ NP = DN Mà DN= AM ⇒= NP AM ⇒ AMPN là hình chữ nhật ⇒∆DNP vuông cân đỉnh N 0,5 hay DBP,, thẳng hàng. Câu 8 (2,0 điểm). Khi kí hợp đồng làm việc thời hạn 5 năm với người lao động được tuyển dụng mới, một công ty đưa ra ba phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng, kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương tăng thêm 22 triệu so với năm trước. Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 30 triệu đồng, kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tăng 1,5 triệu đồng so với quí trước(mỗi quí được tính bừng 3 tháng). Phương án 3: Tháng thứ nhất, tiền lương là 6 triệu đồng, kể từ tháng thứ 2 trở đi, mỗi tháng tăng 300 nghìn đồng so với tháng trước. Nếu là người lao động được tuyển dụng, em sẽ chọn phương án nào để khi kết thúc hợp đồng, tổng số tiền lương thu được là nhiều nhất? Nội dung Điểm Phương án 1: 5 năm người lao động được nhận được tổng tiền lương là 0,5
6. L1 =++++++120( 120 22) ( 120 2.22) ( 120 3.22) ++( 120 4.22) 4.5 =6.120 + 22( 1 +++ 2 3 4) = 5.120 + 22. = 710 2 Phương án 2: 5 năm = 20 quí nên người lao động được nhận được tổng tiền lương là 0,5 L2 =++++30( 30 1,5) ( 30 2.1,5) ++( 30 3.1,5) +++ ( 30 19.1,5) 19.20 =20.30 + 1,5( 1 +++ 2 3 + 19) = 20.30 + 1,5. = 885 2 Phương án 3: 5 năm = 60 tháng nên người lao động được nhận được tổng tiền lương 0,5 là L3 =++6( 6 0,3) ++( 6 2.0,3) ++( 6 3.0,3) +++ ( 6 59.0,3) 59.60 =60.6 + 0,3( 1 +++ 2 3 + 59) = 60.6 + 0,3. = 891 2 Chọn phương án 3 người lao động nhận được tổng tiền lương nhiều nhất là 891 triệu 0,5 đồng. Câu 9 (2,0 điểm). Cho 3 số thực không âm abc,, thỏa mãn abc++=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Labc=++333. Nội dung Điểm 3 L=++=+ a333 b c( ab) +− c33 abab( +) 0,5 3 =(abc ++) −3( abcabc +) ( ++) − 33 ababc( ++) + abc 3 =(a ++ b c) −33( a ++ b c)( ab + bc + ca) + abc =−27 9(ab ++ bc ca) +3 abc Từ giả thiết ta có 0,5 (3−a)( 3 − b)( 3 − c) ≥⇔ 0 27 − 9(a ++ b c) + 3( ab + bc + ca) − abc ≥0 ⇔27 − 9.3 + 3(ab ++ bc ca) − abc ≥⇔0 abc ≤ 3( ab ++ bc ca) L=−27 9( ab ++ bc ca) +3 abc ≤− 27 9( ab ++ bc ca) +9( ab ++ bc ca) =27 0,5 Vậy giá trị lớn nhất của L = 27 khi (abc; ;) = ( 0;0;3) và các hoán vị. 0,5 HẾT