Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Nam Trực (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Nam Trực (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN HUYỆN NAM TRỰC NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn : Toán 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1. ( 5 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x22 54 xy y x y . b) x32 9 x 6 x 16 . 2) Cho các số nguyên abc,, thỏa mãn ab bc ca 2023 . Chứng minh rằng A a2 2023 b 2 2023 c 2 2023 là số chính phương. Câu 2. (5 điểm) 1) Tìm x biết: a) xx2 4 3 0 b) xx22 4 10 72 . 2) Tìm x , y nguyên thoả mãn: xy2 2 xy x 3 y 0 . Câu 3. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC) có , đường cao AH và BK cắt nhau tại D . Gọi M là trung điểm của AB , P là điểm đối xứng với H qua M . a) Chứng minh AHBP là hình vuông. b) Chứng minh HP 2 MK và BHD AHC . c) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với tại , qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại , hai đường thẳng này cắt nhau tại Q . Chứng minh PKQ,, thẳng hàng. Câu 4. (2,0 điểm) 1) Tìm đa thức dư khi chia đa thức Px() cho đa thức xx 11 2 biết đa thức chia cho x 1 được dư là 4 và khi chia cho x2 1 được dư là 35x . 2) Cho xy, là các số thực thỏa mãn xy 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C x22 4 y y 4 x 8 xy . Câu 5. (1,0 điểm) Lấy 2020 điểm thuộc miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 2024 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ giác ban đầu là 1 cm2 . Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 1 điểm đã cho có diện tích không vượt quá cm2 . 4042 Hết
2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn : Toán 8 Câu Nội dung Điểm Câu 1. ( 5 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x22 54 xy y x y . Câu 32 5.0 1 b) x 9 x 6 x 16. 2) Cho các số nguyên abc,, thỏa mãn ab bc ca 2023 . Chứng minh rằng nếu A a2 2023 b 2 2023 c 2 2023 là số chính phương. x22 54 xy y x y x22 xy 44 xy y x y 0.5 1a x x y 4 y ( x y ) x y 0.5 x y x 41 y 0.5 x32 9 x 6 x 16 x3 8 x 2 x 2 8 x 2 x 16 2 x x 8 x x 8 2 x 8 1b 2 x 82 x x 1.0 2 x 8 x 2 x x 2 x 8 x 2 x 1 1.0 Ta có: 0.5 a222023 a abbccaaabcba acab Chứng minh tương tự ta có: b22 2023 b a b c ; c 2023 c a c b 2 Khi đó: 0.5 A a2 2023 b 2 2023 c 2 2023 2 a b b c c a 0.5 Vì abc,, là các số nguyên nên a b;; b c c a là các số nguyên 2 Do vậy a b b c c a là số chính phương hay A là số chính
3. phương Vậy A a2 2023 b 2 2023 c 2 2023 là số chính phương với các số nguyên abc,, thỏa mãn ab bc ca 2023 . Câu 2. (5 điểm) Câu 1) Tìm x biết: a) xx2 4 3 0 5 2 b) xx22 4 10 72 . 2) Tìm x , y nguyên thoả mãn xy2 2 xy x 3 y 0 . a) 2 xx 4 3 0 x2 x 3 x 3 0 x x 1 3 x 1 0 0.75 xx 1 3 0 x 10 x 30 0.5 x 1 x 3 0.25 Vậy x 1;3 b) xx22 4 10 72 1 Đặt xy2 7 . Khi đó ta có: yy 3 3 72 0.5 y2 9 72 y2 81 y 9 0.5 y 9 22 Với y 9 x 7 9 x 16 x 4 0.5 Với y 9 x22 7 9 x 2 (Vô lí vì x2 0 với mọi x ) 0.5 Vậy x 4;4 . xy2 2 xy x 3 y 0 x y2 2 y 1 3 y 0 x y 1 2 3 y 0 2 x y 1 2 3 y 1 3 y 1 xy x 3 3 0.5 Vì x; y y 1 ; xy x 3 mà 3 1. 3 3. 1 Ta có bảng giá trị sau
4. y 1 1 -3 -1 3 y 0 -4 -2 2 xy x 3 -3 1 3 -1 4 2 x 0 -6 3 3 1 Thỏa Thỏa Loại Loại mãn mãn Vậy các cặp giá trị nguyên xy ; cần tìm là: 0;0 ; 6; 2 Câu 3. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC) có B 45 . Kẻ đường cao AH và BK cắt nhau tại D . Gọi M là trung điểm của AB , P là điểm đối xứng với H qua M . Câu a) Chứng minh AHBP là hình vuông. 7 3 b) Chứng minh HP 2 MK và BHD AHC c) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với tại , qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại , hai đường thẳng này cắt nhau tại Q . Chứng minh PKQ,, thẳng hàng. Chứng minh AHBP là hình vuông Ta có P đối xứng với H qua M nên là trung điểm của PH . 0.5 Xét tứ giác AHBP có là trung điểm của AB và là trung điểm của 3a Suy ra là hình bình hành 0.5 Lại có AHB 90 (do AH là đường cao của tam giác ABC ) Do đó là hình chữ nhât. 0.5
5. Suy ra PBH 90 mà ABH 45 nên BA là phân giác của PBH 0.5 Hình chữ nhật AHBP có là phân giác của nên là hình vuông. Chứng minh HP 2 MK . 1 0.5 Xét ABK vuông tại K có KM là đường trung tuyến nên KM AB 2 0.5 Lại có là hình vuông nên PH AB 0.5 1 Do đó KM PH PH 2 KM 2 3b Chứng minh BHD AHC Chứng minh HBD HAC (cùng phụ với ACB ) 0.5 Vì là hình vuông nên AH HB 0.5 Chứng minh BHD AHC (cạnh huyền – góc nhọn) 0.5 Chứng minh PKQ,, thẳng hàng. Gọi O là giao điểm của DC, QH 0.5 C/m HDQC là hình vuông nên DC QH và O là trung điểm của 1 0.5 Ta có DKC vuông tại K có KO là đường trung tuyến nên KO DC 3c 2 1 Do đó KO QH KQH vuông tại nên HKQ 90 0.5 2 Chứng minh tương tự HKP 90 0.5 Do đó PKQ 180 Vậy thẳng hàng. 1) Tìm đa thức dư khi chia đa thức Px() cho đa thức xx 11 2 biết đa thức chia cho x 1 được dư là 4 và khi chia cho x2 1 được dư Câu là 35x . 2 4 2) Cho xy, là các số thực thỏa mãn xy 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C x22 4 y y 4 x 8 xy . 4.1 1) 2 Vì đa thức xx 11 có bậc là 3
6. Px chia cho đa thức xx 11 2 có thương là Qx và đa thức dư có dạng là ax2 bx c 2 2 PQ xx x 11 x ax bx c 2 2 x 11 x Q x a x 1 bx c a x 11 Q x a x2 bx c a 0.25 2 Do đó Px() chia cho x 1 dư bx c a 0.25 b 3 Mà Px chia dư 3x 5 (1) ca 5 0.25 Lại có Px chia x 1 dư 4 P 1 4 a b c 4 2 . a 2 Từ (1) và (2) suy ra b 3 0.25 c 3 Ta có: C x22 4 y y 4 x 8 xy x2 y 2 4 x 3 4 y 3 16 xy 8 xy 0.25 x2 y 2 4 x 3 y 3 24 xy 3 0.25 Do xy 1 xy33 xy 3 xyxy 1 3 xy thay vào C ta được: C x22 y 4 1 3 xy 24 xy 4.2 x22 y 12 xy 4 x22 y 2 xy .6 36 32 0.25 xy 6 2 32 32 x y 13 x x 2 Dấu = xảy ra khi hoặc 0.25 xy 62 y y 3 Lấy 2020 điểm thuộc miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta Câu được 2024 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích 2 1,0 5 của tứ giác ban đầu là 1 cm . Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 1 đỉnh lấy từ điểm đã cho có diện tích không vượt quá cm2 . 4042
7. B A N M C D 2 Xét tứ giác ABCD có diện tích bằng 1 cm . Với điểm thứ nhất M, ta có 4 tam giác chung đỉnh M đôi một không có 0.25 điểm trong chung. Với điểm thứ hai N phải là điểm trong của một trong 4 tam giác trên. Nối N với 3 đỉnh của tam giác đó, tạo nên 3 tam giác chung đỉnh N. 0.25 Tuy nhiên số tam giác đôi một không có điểm trong chung chỉ tăng thêm 2 vì mất đi một tam giác chứa điểm N. Số tam giác không có điểm trong chung lúc này là : 4+2 Tương tự với 2020-2=2018 điểm còn lại, cuối cùng số tam giác đôi một không có điểm trong chung là: 4+2+2018.2 = 4042 0.25 Tổng diện tích của 4042 các tam giác đó bằng 1 , nên tồn tại ít nhất 0.25 1 một tam giác có diện tích không vượt quá cm2 4042 Lưu ý: + Các cách giải khác đáp án nếu đúng, phù hợp với chương trình THCS, ban giám khảo thống nhất cho điểm thành phần tương ứng. + Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu không làm tròn. ___HẾT___