Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Nam Trực (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Nam Trực (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN HUYỆN NAM TRỰC NĂM HỌC 2023-2024 Môn: Toán 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1. (5,0 điểm) 3535−+( ) 1) Rút gọn biểu thức: A = . 102+ 15113223xxx−−+ 2) Cho biểu thức: P =+− (với xx 0; 1). xxxx+−−+2313 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P. Bài 2. (4,0 điểm) 1) Cho x ; y là hai số thực thỏa mãn đẳng thức: (xxyy−+−+=22555.)( ) Tính giá trị của biểu thức: T x=− y 20242024 . 2) Giải phương trình: xxx2 −++−=884230. Bài 3. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính BC ( ABAC ). Gọi E là trung điểm của AC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OE tại F . Đoạn thẳng BF cắt đường tròn (O) tại H. 1) Chứng minh: FHFBFE = FO 2) Chứng minh: FEHOHB= . 3) Chứng minh: AH vuông góc với HE. Bài 4. (3,0 điểm) 1) Tìm các cặp số nguyên ( xy; ) thỏa mãn phương trình: xxyxy32−+−−= 3250. 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: p2 −1 chia hết cho 24. Bài 5. (2,0 điểm) 1) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: xyz 2024 ++ . 1112023+++yzx222 2) Cho một đa giác đều có 2023 đỉnh. Người ta ghi lên mỗi đỉnh của đa giác số 1 hoặc số 2. Biết rằng có tất cả 1013 số và 1010 số 2, các số trên ba đỉnh liên tiếp bất kì không đồng thời bằng nhau. Hãy tính tổng của tất cả các tích ba số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên. Hết (Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay không có thẻ nhớ) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: . Giám thị 1: Giám thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM I. Những điều cần lưu ý: - Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương. - Điểm của từng ý không chia nhỏ hơn 0,25 điểm. - Điểm toàn bài giữ nguyên không làm tròn. II. Nội dung Bài 1. (5,0 điểm) 3535−+( ) 1) Rút gọn biểu thức: A = . 102+ 15113223xxx−−+ 2) Cho biểu thức: P =+− (với xx 0; 1). xxxx+−−+2313 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P. ý Nội dung Điểm 3535−+( ) A = 102+ 3535.2.51−+− ( ) ( ) = 8 0,25 62535535−+−− ( ) = 8 0,25 2 ( 51252−+) ( ) 1 = 8 0,25 51.2.51−+( ) = 8 0,25 ( 51.51−+) ( ) = 4 0,25 51− = 4 0,25 =1. 0,25 Vậy A =1 0,25 Với xx 0;1 ta có 15x− 11 3 x − 2 2 x + 3 P = + − x+2 x − 3 1 − x x + 3 151132xxx−−+ 23 0,5 =−− ( xx−+13)( ) xx−+13 2a 15x− 11 −( 3 x − 2)( x + 3) −( 2 x + 3)( x − 1) = 0,5 ( xx−+13)( )
3. 151139262233xxxxxxx−−−++−+−+ = 0,25 xx−+13 ( )( ) −+−572xx = 0,5 ( xx−+13)( ) ( xx−1)( − 5 + 2) = 0,5 ( xx−+13)( ) 25− x = 0,25 x + 3 2517− x 1753−+( x ) Ta có: P ===− 5 2b xxx+++333 17171722 Với xxP + − 0335 . xx++33333 0,25 Dấu “=” xảy ra =x 0 (tm) 2 Vậy P có giá trị lớn nhất bằng khi x = 0. 3 0,25 Bài 2. (4,0 điểm) 1) Cho x ; y là hai số thực thỏa mãn đẳng thức: (xxyy−+−+=22555.)( ) Tính giá trị của biểu thức: Txy=−20242024 . 2) Giải phương trình: xxx2 −++−=884230. ý Nội dung Điểm xxyy−+−+=22555 (*) ( )( ) Nhân cả 2 vế của (*) với xx++2 5 ta được xxxxyyxx++−+−+=++2222 55555 ( )( )( ) ( ) 2222 (xxyyxx−−−+=++5555)( ) ( ) −5y − y22 + 5 = 5 x + x + 5 ( ) ( ) 0,5 1 −+=yyxx −22 −+55 (1) Tương tự: Nhân cả 2 vế của (*) với yy++2 5 ta thu được x− x22 +55 = − y − y + (2) 0,5 Cộng từng vế của (1) và (2) ta được x− x2 ++−5 y y 2 +=−− 5 y y 2 +−− 5 x y 2 + 5 x + y = − x − y
4. +xy = 0 =xy − 0,5 Với xyxyTxy= − = =−=2024202420242024 0 0,5 xxx2 −++−=884230. 3 Điều kiện: x . 0,25 2 3 Với x , ta có phương trình tương đương: 2 2 xxx−+=−−88423 2 −+=−−−+xxxx69234234 2 −=−−(xx3232)2 ( ) 0,5 xxxx−=−−−=−3232231(1) 2 xxxx−=−−−=−3223235(2) 0,5 Giải (1): 2 3xx 1− = − 22 0,25 −=− −+= −= =231440202xxxxxx( ) 2 ( ) (tm) Giải (2): 2 3xx 5− = − x 5 x 5 x 5 (tm) =− 2 2 x 622 235xx−=− ( ) xx−+=12280 x = 622 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm là S =− 2; 622.  0,25 Bài 3. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính BC ( ABAC ). Gọi E là trung điểm của AC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt tia OE tại F . Đoạn thẳng BF cắt đường tròn (O) tại H. 1) Chứng minh: FHFBFE = FO 2) Chứng minh: FEH= OHB. 3) Chứng minh: AH vuông góc với HE. ý Nội dung Điểm F A H M E C B O 1 Xét (O) : là trung điểm của dây AC (không đi qua tâm) ⊥OE AC hay 0,25
5. CE O⊥ F FC là tiếp tuyến của (O) tại CFCOCOCF ⊥ vuông tại C 0,25 O C F vuông tại C, đường cao CE có: CF FE2 = FO . (Hệ thức lượng) (1) 0,5 H thuộc đường tròn đường kính B C B H C vuông tại H C ⊥ H B H hay 0,25 CH B⊥ F FBC vuông tại C, đường cao CH có: CF F2 H= F B . (Hệ thức lượng) (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra: FE FD= FH FB 0,25 FEFB Ta có FEFOFHFB = = FHFO 0,25 F E F B FEH và FBO có: Chung F và = F H F O 2 (c.g.c) 0,75 =F E H F B O (3) 0,25 BOH cân tại OOHBOBH = hay O H B F= B O (4) 0,5 Từ (3) và (4) suy ra F E H O= H B . 0,25 Gọi M là giao điểm của BH và AC o ABC nội tiếp đường tròn đường kính BCABC vuông tại A =BAM 90 0,5 Cm: =ABMHCMABMHCM hay ABHECH= ABBC Cm: ABC E CF = (3) ECCF 0,25 BHBC Cm: BHCBCF = (4) HCCF 0,25 ABBH 3 Từ (3) và (4) = ECHC 0,25 ABBH Xét ABH và ECH có: ABHECH= và = ECHC ABHECH (c.g.c) 0,25 =AHB EHC 0,25 Lại có: EHCMHEBHC+== 90o nên AHB+= = ⊥ MHEAHEAH9090oo HE 0,25 Bài 4. (3,0 điểm) 1) Tìm các cặp số nguyên ( xy; ) thỏa mãn phương trình: x32− x y +3 x − 2 y − 5 = 0. 2) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: p2 −1 chia hết cho 24.
6. ý Nội dung Điểm xxx3 +−−355 Ta có xxyxyyx32−+−−= ==+3250 xx22++22 0,25 Vì xyxxxxx −+ −++,52552 ( ) ( 22) ( )( ) ( ) xyxxxxx −+ −++,52552 ( ) ( 22) ( )( ) ( ) −+ +(xxx222 252272) ( ) ( ) 0,5 2 2 2 1 Mà (x + 22) nên x + 2 3 ;9 ;2 7  xx −− 1;251;1;5;5  0,25 xy= − 13 = − (thỏa mãn) 1 xy= 1 = − (loại) 3 145 xy=− =−5 (loại) 27 xy= 55 = (thỏa mãn) Vậy ( xy,1;3;5;5) −− ( ) ( ) 0,5 p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên ( p,3 1) = mà ( ppp−+113) ( ) nên ( pp−+1) 1( 3 ) (1) 0,5 p là số nguyên tố lớn hơn 3 p là số lẻ pp−+1, 1 là hai số chẵn liên tiếp, có 2 một số là bội của 4 nên ( pp−+118)( ) (2) 0,5 Từ (1), (2) và (3;81) = suy ra ( pp−+11)( ) chia hết cho 24 hay p2 −1 chia hết cho 24 0,5 Bài 5. (2,0 điểm) 1) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: xyz 2024 ++ . 1112023+++yzx222 2) Cho một đa giác đều có 2023 đỉnh. Người ta ghi lên mỗi đỉnh của đa giác số 1 hoặc số 2. Biết rằng có tất cả 1013số và 1010 số 2, các số trên ba đỉnh liên tiếp bất kì không đồng thời bằng nhau. Hãy tính tổng của tất cả các tích ba số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên. ý Nội dung Điểm 22 xx(1+− y) xy xy2 Ta có = =x − 1+y2 1 + y 2 1 + y 2 x xy22 xy xy Lại có: 12+ yy2 nên =x − x − = x − (1) 1++y22 1 y 2 y 2 0,25 y yz Tương tự: −y (2) 1 12+ z2 z zx −z (3) 12+ x2 Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được x y z 1 2+ 2 + 2 (x + y + z) −( xy + yz + zx) 1+y 1 + z 1 + x 2 0,25
7. ( xyz++)2 C/m được: xyyzzx++ mà x y+ z + = 3 3 0,25 xyz 1132024 2 Do đó: ++ ++−++=−= (xyzxyz ) ( ) 3.3 2 1116622023+++yzx222 xyz 2024 Vậy ++ . 1112023+++yzx222 0,25 Xét tất cả 2023 bộ ba số ghi trên ba đỉnh liên tiếp, chia các bộ số này thành 2 nhóm Nhóm 1: có a bộ, mỗi bộ chứa hai số 1 và một số 2 Nhóm 2: có b bộ, mỗi bộ chứa hai số 2 và một số 1 0,25 Số các số 1 trong 2023 bộ đó là: 2ab+ = 3.1013 = 3039. Số các số 2 trong 2023 bộ đó là: 23.10103030ba+== 0,25 2 Mà ab+=2023 nên ab==1016; 1007 0,25 Mỗi bộ hai số 1 và một số 2 có tích là 2 Mỗi bộ hai số 2 và một số 1 có tích là 4 Vậy tổng của tất cả các tích ba số trên ba đỉnh liên tiếp của đa giác trên là S =+=1016.21007.46060 0,25