Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2015 – 2016 MÔN: TOÁN 6 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang Câu 1 (5,0 điểm). 1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 2 17 18 19 20 1 1 1 a) A = 44.82 20 18.44 b) C. 28 29 30 31 2 3 6 33 3 3322 3 2 3 2 3 2 c) S = 3 d) D = 22210 2 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 2. So sánh hai số sau: A = 3300 và B = 5200 . 111 1 1 3. Chứng minh rằng Q 1 , với nNn ,2. 234222 (1)nn 2 2 Câu 2 (4,0 điểm). 1. Tìm x biết: xxxxxx 111111 a) 72 : x 3 23 b) 224 12 20 30 42 56 72 2. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 30 ; 39 ; 42 thì được các số dư lần lượt là 11 ; 20 ; 23. 3. Tìm phân số tối giản biết giá trị của nó không thay đổi khi ta cộng tử số với 6 và cộng mẫu số với 8. Câu 3 (4,0 điểm). 41n 1. Cho biểu thức: P 23n a) Tìm số nguyên n để P nhận giá trị là số nguyên. b) Tìm số nguyên n để P có giá trị nhỏ nhất. 2. Tìm số dư trong phép chia số B 8102 2 102 2016 2016 cho 5 Câu 4 (5,5 điểm). Cho tam giác ABC có BCcm 6 . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BDcm 3 . a) Tính độ dài CD . b) Gọi M là trung điểm của CD . Tính độ dài BM . c) Biết DAC 1200 , Ax và Ay lần lượt là tia phân giác của B AC và B AD . Tính số đo x Ay . d) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm D , nếu vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với các tia ABACAx,, thì có tất cả bao nhiêu góc đỉnh A được tạo thành? Vì sao? Câu 5 (1,5 điểm). Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng biểu thức Cp (1)(1) p chia hết cho 24. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. UBND HUYỆN NHO QUAN HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn: Toán 6 Năm học 2015 - 2016 Câu Đáp án Điểm 1. (3,25 điểm) a) A = 44.82 - 202 + 18.44 0,25 = 44(82+18) - 400 = 44.100 – 400 = 4400 – 400 = 4000 0,25 b) 17 18 19 20 1 1 1 17 18 19 20 3 2 1 C. . 28 29 30 31 2 3 6 28 29 30 31 6 6 6 0,5 17 18 19 20 .0 = 0 28 29 30 31 33 3 133 3 c) S = 3 210 = 3 329 0,25 22 2 2222 33 3 3 Mà 3 = S - 0,25 2229 2 210 1 3 3 Suy ra S = 3 ( S - ) hay 26SS 0,5 2 210 210 3 3 6141 Câu 1 Suy ra S = 6 - 10 = 6 - = 0,5 (5,0điểm) 2 1024 1024 d) 3322 3 2 3 2 3 2 33 3 3 3 = 3. 0,25 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 1111111111 = 3. 0,25 144771010131316 11 15 45 = 3. =3. = 0,25 116 16 16 2. (0,75 điểm) A = (33 ) 100 = 27100 0,25 B = (52 ) 100 = 25100 0,25 27100 > 25100 0,25 AB 3. (1,0 điểm) 111 1 1 Q = với nNn ,2. Ta có: 234222 (1)nn 2 2 0,25 111 1 1 Q 2.2 3.3 4.4 (nn 1).( 1) nn .
3. 111 1 1 Q 0,25 1.2 2.3 3.4 (nn 2)( 1) ( nn 1). 11111 1 1 1 Q 1 QQ11 0.5 22334nn 1 n 2. (2,0 điểm) a) 72 : x 3 23 x3 = 72:8 x3 = 9 0,5 x – 3 = 9 hoặc x – 3 = - 9 x = 12 hoặc x = - 6 0,5 xxxxxx 111111 b) 224 12 20 30 42 56 72 111111 (1)x 224 0,25 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 111111111111 (1)x 224 0,25 344556677889 11 2 (x 1) 224 (x 1). 224 0,25 39 9 (xx 1) 1008 1009 . Vậy x 1009 0,25 2. (1,0 điểm) Gọi số tự nhiên phải tìm là x. 0,25 Từ giả thiết suy ra (x+19)  30 và (x+19)  39 và (x+19)  42 x +19 là bội chung của 30; 39 và 42. 0,25 ` Ta có BCNN (30; 39; 42) = 2730 suy ra (x + 19) = k.2730 kN . 0,25 Vì x là số tự nhiên có 4 chữ số suy ra x 9999 suy ra (x+19) 10018 k.2730 10018 k 1, 2, 3 0,25 x = 2711, 5441,8171. Vậy số cần tìm là 2711, 5441,8171 a aa + 6 3. Gọi phân số cần tìm là . Theo đầu bài ta có: . 0,25 b bb + 8 a(b + 8) = b(a + 6) => ab + 8a = ab + 6b => 8a = 6b 0,5 a63 3 . Vậy phân số đã cho là . 0,25 b84 4 Câu 3 1.a. (1,5 điểm) (4,0 điểm) 412(23)5nn 5 Ta có P 2 0,5 23nn 23 23 n 5 Để P có giá trị là một số nguyên thì phải có giá trị là số nguyên 23n 0,25 hay 2n+3 là ước của 5 23n 5;1;1;5 0,25 n 4; 2; 1;1.Vậy n 4; 2; 1;1 thì P nhận giá trị nguyên. 0,5 b. (1,0 điểm) 5 5 Vì P 2 , để P có giá trị nhỏ nhất thì phải có giá trị lớn 23n 23n 0,25 nhất.
4. 23n có giá trị nhỏ nhất mà nZ 23 n Znên 23n là số nguyên dương nhỏ nhất 0,25 231nn 1 0,25 Vậy với n = -1 thì P có giá trị nhỏ nhất và bằng -3 0,25 25 2.Ta có: 8102 8 4 .8 2 625 .64 6 .64 4 (1) 0,5 25 2102 2 4 .2 2 16 25 .4 6 .4 4 (2) 0,5 Từ (1) và (2) ta có 82102 102 có tận cùng là 0 nên chia hết cho 5. 0,25 Số 2016 có chữ số hàng đơn vị là 6 nên20162016 có chữ số hàng đơn vị 0,25 là 6. Vậy B chia cho 5 dư 1 a) (1,0 điểm) 0,5 Vì điểm D thuộc tia đối của tia BC nên điểm B nằm giữa hai điểm C và D, 0,5 ta có: CD = BC+ BD = 6+3 = 9 (cm) b) (1,5 điểm) Vì M là trung điểm của đoạn CD nên CM = MD = CD: 2= 4,5 (cm) 0,5 Câu 4 (5,5 điểm) CM < CB nên điểm M nằm giữa hai điểm C và B 0,5 Ta có: BC= BM + CM BM = BC- CM= 6 – 4,5 =1,5 (cm) 0,5 c) (2,0 điểm) 1 Vì Ax là tia phân giác của góc BAC nên x AB BAC 0,25 2 1 Vì Ay là tia phân giác của góc BAD nên yAB BAD 0, 25 2 Vì điểm B nằm giữa hai điểm C và D nên tia AB nằm giữa hai tia AC 0,5 và AD BAC B AD = DAC =1200. Vì Ax là tia phân giác của góc BAC, Ay là tia phân giác của góc BAD 0,5 nên tia AB nằm giữa hai tia Ax, Ay 11 11 x Ay xAB BAy BAC BAD ()60BAC BAD DAC 0 0,5 22 22 d) (1,0 điểm) Ta có n + 3 tia gốc A phân biệt ( kể cả các tia AB, AC, Ax) 0,25 Mỗi tia trong n+3 tia hợp với n+2 tia còn lại một góc. 0,25 Có n +3 tia như vậy nên có tất cả (n+3)(n+2) góc. 0,25 Tính như thế mỗi góc đã được tính hai lần nên có tất cả (n+3)(n+2):2 0,25 góc đỉnh A. Câu 5 Vì p là số nguyên tố, p 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3. 0,25 (1,5 điểm) p là số lẻ pp1; 1 là các số chẵn 0,25
5. Cp(1)(1) p là tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 (1) 0,25 Mặt khác p 1;pp ; 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia 0,25 hết cho 3. p 13 Vì p không chia hết cho 3 Cp(1)(1)3 p  (2) 0,25 p 13 Vì (3,8) =1 C24 0,25 Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.