Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD và ĐT Hậu Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD và ĐT Hậu Lộc (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI HUYỆN HẬU LỘC MÔN TOÁN 6 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày khảo sát: 15/3/2022 Đề thi gồm 01 trang Câu I. (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 1. A = −522 − − 222−−122−(100−522 )+ 2022. 1 1 1 2. B = 1+ (1+ 2)+ (1+ 2 + 3)+ + (1+ 2 + 3 + + 20). 2 3 20 5.46.94 −39.(−8)4 3. C = . 4.213.38 + 2.84.(−27)3 Câu II. (4 điểm) Tìm số nguyên x, biết: 1. 14.72021 = 35.72021 − 3.49x . 1 1 1 1 1 1 2 3 8 9 2. + + + + + x = + + + + + . 2 3 4 9 10 9 8 7 2 1 Câu III. (4 điểm) 1. Tìm số nguyên n để A=2n2+n-6 chia hết cho 2n+1. 2. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: p2 −124 . 3. Tìm các số nguyên tố x và y biết x2 −6y2 =1. Câu IV. (5 điểm) 1. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 1 5 m , chiều rộng 8m . Người ta trồng một vườn hoa hình thoi ở trong mảnh đất đó, biết diện tích phần còn lại là 75m 2 . Tính độ dài đường chéo AC , biết BDm 9. 15m A B 8m C D 2. Cho 2 tia Ox và Oy đối nhau, trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA = 5cm, OM = 1cm; trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB = 3cm. Chứng tỏ: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 3. Cho 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng (ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng). Qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng. Câu V. (3 điểm) 1. Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn: 3xy + 2x − 5y = 6 . 6n − 3 2. Tìm số tự nhiên n để phân số M = đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n − 6 ___ HẾT ___
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 Câu Ý Nội dung Điểm A = −522 − − 222 − −122 − (100 − 522 )+ 2022 A = −522 + 222 + −122 − (100 − 522 )+ 2022 0,5 1 22 22 A = −5 + 222 −122 − (100 − 5 )+ 2022 A = −522 + 222 −122 −100 + 522 + 2022 0,5 A = (− 522 + 522 )+ (222 −122 −100)+ 2022 = 2022 0,5 1 1 1 B = 1+ (1+ 2)+ (1+ 2 + 3)+  + (1+ 2 + 3 + + 20) 2 3 20 1 2.3 1 3.4 1 20.21 0,75 Câu B = 1+  +  +  +  2 2 3 2 20 2 I 2 2 3 4 21 0,25 B = + + +  + 2 2 2 2 1 1 1 20.21 0,5 B = (2 + 3 + 4 +  + 21) = (1+ 2 + 3 + 4 +  + 20) =  = 105 2 2 2 2 6 4 9 4 6 4 9 4 5.4 .9 −3 .(−8) 5.4 .9 −3 .8 C = 13 8 4 3 = 13 8 4 3 4.2 .3 + 2.8 .(−27) 4.2 .3 − 2.8 .27 3 5.212.38 − 39.212 212.38 (5 − 3) 212.38.2 C = = = =1 1,0 215.38 − 213.39 213.38 (22 − 3) 213.38 14.72021 = 35.72021 − 3.49x 3.49x = 35.72021 −14.72021 0.5 2x 2021 2021 3.7 = 5.7.7 − 2.7.7 1 3.72x = 5.72022 − 2.72022 3.72x = 5.72022 − 2.72022 0.5 2x 2022 2022 3.7 = 7 (5 − 2) = 3.7 72x = 72022 0.5 Câu 2x = 2022 II x = 2022: 2 =1011 Vậy x=1011. 0.5 1 1 1 1 1 1 2 3 8 9 0,25 + + + + + x = + + + + + 2 3 4 9 10 9 8 7 2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 8 + + + + + x = +1 + +1 + +1 + + +1 +1 2 3 4 9 10 9 8 7 2 2 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 + + + + + x = + + + + + 0,75 2 3 4 9 10 9 8 7 2 10
3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,0 + + + + + x =10 + + + + + x =10 2 3 4 9 10 2 3 4 9 10 Vậy x=10. Ta có: A= 2n2 +n−6 = n(2n+1)−6 0,25 Vì A chia hết cho 2n+1 nên n(2n +1)− 62n +1 mà n(2n +1)2n +1 nên 62n +1 2n +1 U(6) = 1; 2; 3 6. Do 2n+1 là số lẻ nên 0,5 2n +1 U(6) = 1; 3. Ta có bảng sau: 1 2n+1 1 -1 3 -3 2n 0 -2 2 -4 n 0 -1 1 -2 0,5 Vậy với n − 2;−1;0;1 thì A=2n2+n-6 chia hết cho 2n+1. 0,25 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3 Ta có: p2 −1= p2 − p+ p−1= p(p−1)+(p−1)= (p−1)(p+1) 0,25 * Câu Do p là số lẻ nên p = 2k +1(k N ) III 2 0,5 2 p −1= (p−1)(p+1)= 2k(2k +2)= 4k(k +1)8(1) Mặt khác , p-1,p,p+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3, mà p không chia hết cho 3 nên p-1 hoặc p+1 chia hết cho 3. 0,5 Từ đó suy ra: p2 −1= (p−1)(p+1)3(2) Vì (3;8)=1 và từ (1) và (2) nên suy ra p2 −124 . 0,25 0,25 Ta có: x2 −6y2 =1 x2 −1= 6y2 x2 − x + x −1= 6y2 (x +1)(x −1) = 6y2 3 Vì 6y2 2 (x +1)(x −1)2 mà (x +1)+ (x −1) = 2x2 nên x-1 và x+1 là 2 số chẵn liên tiếp (x +1)(x −1)8 6y2 8 3y2 4 mà (3,4)=1 nên y2 4 y2 mà y là số nguyên tố nên y=2 0,5 Với y=2, suy ra x 2 − 6.22 = 1 x 2 − 24 = 1 x 2 = 25 = 52 x = 5 Vậy (x;y)=(5;2) . 0,25 15m A B 8m Câu 1 C IV D Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: 15. 8 120 m2 0,5 Diện tích phần trồng hoa hình thoi là:
4. 120 – 75 45 m2 0,5 Độ dài đường chéo AC là: 4 5 . 2 : 9 1 0 m . 0,5 x A M O B y Vì hai điểm A,M cùng thuộc tia Ox và (OM OM+MA=OA =>MA=OA-OM=5-1=4cm và suy ra MO và MA là 0,75 2 tia đối nhau (1) 2 Vì Ox và Oy là hai tia đối nhau và M thuộc Ox, B thuộc Oy nên OM và OB là hai tia đối nhau => O nằm giữa B và M=> OM+OB=MB 0,75 =>MB=3+1=4cm và suy ra MO và MB là 2 tia trùng nhau (2) Từ (1) và (2) suy ra MA và MB là 2 tia đối nhau, hay M nằm giữa A, B và MA=MB=4cm nên M là trung điểm của AB. 0,5 Giả sử có 30 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là: 30(30-1):2=435 (đường thẳng) 0,25 Với 5 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì vẽ được: 0,25 5(5-1):2=10 (đường thẳng) 3 0,25 Nếu 5 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 (đường thẳng) Do đó số đường thẳng giảm đi là: 10-1=9 (đường thẳng) 0,25 Vậy vẽ được 435-9=426 (đường thẳng). 0,5 3xy + 2x − 5y = 6 x(3y + 2)− 5y = 6 3x(3y + 2)−15y = 18 3x(3y + 2)−15y −10 = 18 −10 3x(3y + 2)− 5(3y + 2) = 8 (3x − 5)(3y + 2) = 8 0,5 3y + 2 U(8) = 1; 2;; 4; 8 Mà 3y+2 là số chia cho 3 dư 2 3y + 2 −1;2;−4;8. 1 0,5 Ta có bảng sau: 3y+2 -4 -1 2 8 Câu V 3x-5 -2 -8 4 1 y -2 -1 0 2 x 1 -1 3 2 Vậy (x; y) (1;−2),(−1;−1),(3;0),(2;2). 1,0 6n − 3 3 6 Ta có: M = = + 0,25 2 4n − 6 2 4n − 6
5. 6 Vì phân số có tử 6>0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n-6 đạt giá 4n − 6 0,25 trị dương nhỏ nhất với n là số nguyên. 0,25 3 6 9 Do đó 4n − 6 = 2 4n = 8 n = 2.Khi đó M = + = 2 2 2 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của M là 4,5 khi n=2.