Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:120 phút Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang Câu 1: (5,0 điểm) 1. Thực hiện các phép tính: 3 2 5 9 123 4 5 3031 a) : . b) . . . . . 4 3 9 4 46810126264 x y y z 2. Cho ; và 2xyz 3 4 372. Tính A = 345x yz 3 4 5 6 Câu 2: (4,0 điểm) 1. Tính giá trị của các biểu thức: a) B = 9x2 – 10x + 1, biết rằng x2 1. b) C = x3 + xy3 – x3y + y3; tại x, y thỏa mãn: (1)x 4 + (y + 1)4 = 0 2. Tìm x biết: x 1xx 2 3 x 9 14 x Câu 3: (3,5 điểm) 1. Tìm các số a, b, c không âm, thỏa mãn đồng thời ba điều kiện: a + 3c = 2014; a + 2b = 2015; tổng ( a + b+c ) đạt giá trị lớn nhất. 2. Trên bảng viết 99 số: 1, 2, 3, 4, ,99. Cứ mỗi lần người ta xóa đi hai số bất kì , rồi lại viết giá trị của tổng hai số vừa xóa vào bảng. Cuối cùng trên bảng chỉ còn lại một số, giả sử đó là số k. Hãy tìm k và chứng tỏ k không phải là số chính phương. Câu 4: (6,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có  BAC 1200 , phân giác AD (D BC) . Kẻ DE vuông góc với AB tại E, DF vuông góc với AC tại F. Lấy điểm K trên cạnh AC sao cho AK = AD. 1. Chứng minh rằng: AED AFD và tam giác DEF là tam giác đều; 1 2. Chứng minh rằng: K là trung điểm của AC, từ đó suy ra AD = AC; 2 3. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA ở T. Đặt CT = a; CF = b. a 4 Chứng minh rằng: . b 3 Câu 5: (1,0 điểm) Cho m, n, p là các số nguyên dương thỏa mãn: m2 = n2 + p2. Chứng minh rằng: tích m.n.p chia hết cho 15. Hết 1
2. UBND HUYỆN NHO QUAN HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 7 Hướng dẫn chấm gồm 03 trang Câu Nội dung Điểm 1.a ( 1,5 điểm) 3 2 5 9 3 1 9 0,75 : : 4 3 9 4 4 9 4 3 9 9 36 0,75 = . 9 4 1 4 4 1.b ( 1,5 điểm) 12345 3031 0,5 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 = 1.2.3.4 30.31 0,5 Câu 1 1.2.3.4 30.31.230 .2 6 (5,0 điểm) = 1 0,5 236 2. ( 2,0 điểm) x y x y y z y z x y z ; (1) 0,5 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 234234372xyzxyz (1) 2 0,75 30 60 96 30 60 96 186 234xyz Từ 2; 2; 2 ,suy ra xyz 30; 40; 48 30 60 96 Vậy A = 345x yz= 490 0,75 1.a ( 1,5 điểm) Ta có x2 11x hoặc x = - 1 0,5 2 Với x = 1 thì B = 9.1 – 10. 1 + 1 = 0 Với x = - 1 thì B = 9.(- 1)2 – 10.(-1) + 1 = 20 0,75 Vậy x = 1 thì B = 0 x = - 1 thì B = 20 0,25 Câu 2 (4,0 điểm) 1.b ( 1,5 điểm) 1) Do (1)x 4 ≥ 0; (y + 1)4 ≥ 0 (1)x 4 + (y + 1)4 ≥ 0 với 0,5 mọi x, y. Kết hợp (1)x 4 + (y + 1)4 = 0 suy ra (1)x 4 = 0 và (y + 1)4 = 0 x = 1; y = - 1. 0,75 Thay vào tính được giá trị của biểu thức C = 0 0,25 2. ( 1,0 điểm) Nhận xét: Vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó vế phải cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0. 2
3. Suy ra 14x 0 hay x 0. 0,25 Với x 0 ta có: x 1xx 2 3 x 9 14 x x 1xx 2 3 x 9 14 x 0,25 94514x x x 9 ( TM) Vậy x 9 0,5 1. ( 2,0 điểm) Từ a + 3c = 2014 , a + 2b = 2015 suy ra 2a + 2b + 3c = 4029 0,25 Do đó 2( a + b + c ) + c = 4029 0,25 Để (a + b + c) đạt giá trị lớn nhất thì c phải có giá trị nhỏ nhất. Mà c ≥ 0 nên c = 0. 0,75 1 Khi đó a = 2014; b = ; c = 0 2 4029 Câu 3 GTLN của (a + b + c) là 0,75 (3,5 điểm) 2 2. ( 1,5 điểm) Nhận xét: Số k còn lại trên bảng chính là tổng của các số ban 0,5 đầu: Do đó số cuối cùng còn lại trên bảng có giá trị là 99.100 0,75 k =1 2 3 99 4950 2 Số k = 4950 = 2.32.52.11, không phải là số chính phương. 0,25 T A Câu 4 E F (6,5 điểm) K . B C D Vẽ được hình ý 1) , ghi GT- KL: 0,5 điểm 1. ( 2,0 điểm) Ta có AED AFD ( Cạnh huyền- góc nhọn) 0,75 Suy ra DE = DF (1) 0,25 3
4. Vì AD là tia phân giác của góc A nên   EAD FAD 600 Từ đó suy ra  EDF 600 (2) 0,75 Từ (1) và (2) suy ra EDF là tam giác đều. 0,25 2. ( 2,5 điểm) Ta có  DAK 600 ( chứng minh trên) và AD= AK Do đó ADK là tam giác đều. 0,5 Suy ra AK = DK (*) 0,25 Lại có trong tam giác vuông ADC suy ra  KCD 300 (3)   ADK KDC 900 mà  ADK 600 0,25 Suy ra  KDC 300 (4) Từ (3), (4) suy ra tam giác KCD cân tại K 0,5 KC = KD ( ) 0,25 Từ (*) và ( ) suy ra AK = KC hay K là trung điểm của AC 0,5 1 Từ đó suy ra AD = AC 2 0,25 3. ( 1,5 điểm) Chứng minh được CTA là tam giác đều ( có hai góc 600) 0,25 Suy ra AC = CT = a AF = AC- CF = a- b 0,25 Tam giác vuông ADF có  ADF 300 nên AD = 2(a- b) (5) 1 a Lại có AD = AC= (6) 0,5 2 2 a 4 Từ (5) và (6), suy ra: a = 4(a - b) hay 0,5 b 3 ( Sử dụng kết quả của câu trên) Nếu m, n, p không chia hết cho 3 thì m2 , n2 , p2 chia 3 dư 1. Suy ra m2 = n2 + p2 ( vô lí). Do đó m, n, p phải có ít nhất một số chia hết cho 3, nên tích mnp chia hết cho 3. 0,25 Câu 5 Nếu m, n, p không chia hết cho 5 thì m2 , n2 , p2 chia 5 (1,0 điểm) dư 1 hoặc 4 .Suy ra n2 + p2 chia 5 dư 0, 2 hoặc 3, nên m2 = n2 + p2 ( vô lí). Do đó m, n, p phải có ít nhất một số chia hết cho 0,5 5, nên tích mnp chia hết cho 5. Mà (3;5) = 1. Vậy tích mnp luôn chia hết cho 15. 0,25 Lưu ý: - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Câu hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm toàn câu. - Tổng điểm của bài thi không làm tròn. 4