Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Hậu Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Hậu Lộc (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI HUYỆN HẬU LỘC Môn: Toán 7 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày khảo sát: 25/02/2023 (Đề gồm: 01 trang). Bài 1: (4 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức 99 3 2 1 9 4 3 90 A =99 − 1,(3) − 5.2 −−( 7) + + 99 .( 27 − 81 − 99 ) 3 77   7   7  2) Tính tích P =++1  1  1 +   1 +  9  20  33   2900  333 abc++ 2 3) Tính giá trị biểu thức Q = với a, b, c thỏa mãn: (32ab−) +−≤ 43 bc 0 abc Bài 2: (4 điểm) 1 16 1) Tìm x, biết: +=3.52−x 5x−1 125 1 81 2 2) Tìm x, biết: 3.−−x  − += 1 2 15 5 3 3x− 17 y − 43 xy +− 7 5 3) Tìm x, y biết : = = 45 3x Bài 3: (4 điểm) 231 1) Số A được chia thành ba phần tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương 546 của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. 2) Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn: x2 − xy( +=−−5) 49 y 3) Cho abcd,,, là các số nguyên thỏa mãn abcd2=++ 22 2. Chứng minh rằng: abcd + 2023 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB 1 bc+++ ca ab Hết Họ tên học sinh: ; Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7
2. Bài Đáp án Điểm Bài 99 3 2 1 9 4 3 90 1) Tính A =99 − 1,(3) − 5.2 −−( 7) + + 99 .( 27 − 81 − 99 ) 1 3 4 99 3 2 1 9 12 12 90 A =99 − 1,(3) − 5.2 −−( 7) + + 99 .( 3 − 3 − 99 ) điểm 3 0,5 99 3 2 1 99 =99 − 1,(3) − 5.2 −−( 7) + − 99 3 0,25 2 1 =9999 − 1,(3) − 5.23 +−( 7) − + 9999 3 0,25 99 4199 0,25 =99 −+ 40 − 49 +− 99 =− 10 33 Vậy A = -10 0,25 7  7  7   7  16 27 40 2907 0,25 2) P =++1  1  1 +   1 +  =. . 9  20  33   2900  9 20 33 2900 2.8.3.9.4.10 51.57 = 0,5 1.9.2.10.3.11 50.58 2.3.4 51 8.9.10 57 = . 1.2.3 50 9.10.11 58 0,25 51.8 204 = = 58 29 Vậy P = 204 0,5 29 abc333++ 3)Tính giá trị Q = với a, b, c thỏa mãn: abc 2 (32ab−) +−≤ 43 bc 0 2 2 Vì (3ab− 2) ≥ 0; 4 bc −≥ 3 0 nên để (32ab−) +−≤ 43 bc 0 thì: 2 (32ab−=) 032ab= abc ⇒ ⇒== = 0,5  43bc−= 0 43bc 234 abc Đặt ===⇒=k a2;3;4 kb = kc = k Thay vào Q ta có: 234 33333 3 3 abc333++ (234kkk) ++( ) ( ) k (234++) 33 = = = = Q 3 abc 2k .3 k .4 k 24k 8 0,5 1 16 Bài 2 1) Tìm x, biết: +=3.52−x 5x−1 125 4 điểm xx−−12 1  1 16 +=3.  5  5 125 xx−−11 1  1 16 +=3.  .5 5  5 125 0,25
3. x−1 1 16  (1+= 15) 5 125 x−1 11  = 5 125 0,5 x −=13 x = 4 Vậy x = 4 0,25 1 81 2 2) Tìm x, biết: 3.−−x  − += 1 2 15 5 3 111 3.−−x = 233 0,5 11 31−−=⇒−=xx 2 22 0,5 15 13 1)xx−=⇒= 2 2)xx− =−⇒ 2 =− 22 22 53− Vậy x ∈ ; 0,5 22 3x− 17 y − 43 xy +− 7 5 3)Tìm x, y biết : = = 45 3x  1 x = 3x −= 10  3 Nếu 3xy+ 7 −= 50 thì ⇒ 7y −= 40 4  y = 0,5  7 Nếu 3xy+ 7 −≠ 50 thì áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 3174375375x− y − xy +− xy +− = = = 45 9 3x 0,5 ⇒=x 3 3.3−− 1 7y 4 ⇒ = ⇒=y 2 45 14 Vậy ( xy,)∈  ; ,( 3; 2) 0,5 37 231 Bài 3 1) Số A được chia thành ba phần, tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình 4 điểm 546 phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. Gọi ba phần được chia lần lượt là: a, b, c 231 Theo bài ra ta có: abc::= : : và abc222++=24309 0,25 546 231 abc Ta có: abc: := : : = 24 : 45:10 ⇒== 0,25 5 4 6 24 45 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a2 b 2 c 2 abc 222++ 24309 ==⇒= == = =9 0,5 24 45 10 576 2025 100 576++ 2025 100 2701
4. ⇒aa2 =576.9 = 5184 ⇒=± 72 bc=±=±135; 30 0,25 Vậy (abc, ,)∈{( 72;135;30) ,( −− 72; 135; − 30)} 0,25 2)Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn: x2 − xy( +=−−5) 49 y Ta có: x2 − xy( +=−−5) 49 y x2 −59 x += xy − 4 y ⇒x2 −59 x += yx( − 4) 0,25 ⇒−+xxx2 59 − 4 0,25 ⇒xx( −−−+4) ( x 45454)  x −⇒ x − ⇒xx −4 ∈±{ 1; ± 5} ⇒ ∈−{ 1;3;5;9} 0,5 Với x = −1 thì y = −3 Với x = 3 thì y = −3 0,25 Với x = 5 thì y = 9 Với x = 9 thì y = 9 Vậy ( xy,)∈{( −− 1;3,3;3,5;9,9;9) ( −) ( ) ( )} 0,25 Học sinh có thể viết đẳng thức đã cho về dạng: ( x−4)( xy −− 15) =− Từ đó tìm ra các cặp số (x,y) 3)Cho abcd,,, là các số nguyên thỏa mãn abcd2=++ 22 2. Chứng minh rằng: abcd + 2023 viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương 2 Ta có: (21m+) = 4 m2 + 414(1)1 m += mm + +. Do đó ta có số chính phương lẻ chia 8 luôn dư 1 0,25 Nếu a, b, c, d đều lẻ thì abcd222,,, 2 chia 8 đều dư 1 dẫn đến không xảy ra abcd2=++ 22 2 (vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3) 0,25 Vậy trong các số a, b, c, d phải có ít nhất một số chẵn nên 0,25 abcd + 2023 lẻ abcd+2023 =+∈ 2 k 1( k Z ) Đặt 2 =(k +−11 k)( k ++ k) =( k + 1) − k2 ( dpcm) 0,25 E Bài 4 A D 6 điểm K I C B
5. a)Ta có: DAC = BAE = BAC + 600 Từ AD = AB; DAC = BAE và AC = AE Suy ra ∆ADC = ∆ABE (c.g.c) 1,0 Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a)⇒=ABE ADC , mà BKI = AKD (đối đỉnh). 1,0 Khi đó xét ∆BIK và ∆DAK suy ra BIK = DAK = 600 (đpcm) E A D J N K M I C B b) Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN và ACM= AEN 0,5 ⇒∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN và CAM = EAN 0,5 MAN = CAE = 600. Do đó ∆AMN đều. 1,0 c) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ⇒ ∆BIJ đều 0,5 ⇒ BJ = BI và JBI = DBA = 600 suy ra IBA = JBD , kết hợp BA = BD ⇒∆IBA = ∆JBD (c.g.c) 0,5 ⇒=AIB DJB = 1200 mà BID = 600 0,5 ⇒ DIA = 600. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE 0,5 Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có a aa 01 bc+ bc ++ bc aa Vì a là số dương nên theo tính chất của tỉ số ta được > bc+ abc ++ 1,0 aa Do đó ta có > Bài 5 bc+ abc ++ bb c c Chứng minh tương tự ta được >>; ca+ abc ++ ab + abc ++ Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được abc ++ >1 bc++ ca ab + Vậy bài toán được chứng 1,0