Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Tam Đảo (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Tam Đảo (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1( 2,0 điểm): 6 2x3 4 6 x 6 24 3 x 2 3 Cho biểu thức: M= 1 6 .: 5 2 9 6 3 : x 9 xxxxx 3 6 9 2 x a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị nguyên của x để M đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Câu 2( 2,0 điểm): Giải các phương trình và bất phương trình sau: xx 1 2 xx 3 1 a) 2015 2014 1006 2013 2012 1007 4 1 2y2 5 b) 1 yy21 y y 3 1 Câu 3( 2,5 điểm): x y z 2015 a) Cho ba số xyz,, khác không thỏa mãn: 1 1 1 1 x y z 2015 Chứng minh rằng trong ba số xyz,, tồn tại hai số đối nhau. a2 b 2 c 2 abc b) Cho ba số dương abc,, . Chứng minh rằng: b c c a a b 2 Câu 4( 2,5 điểm): Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME // BN. c) Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng. Câu 5( 1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 5x2 2 y 2 4 xy 2 x 4 y 2015 . Hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: Toán - Lớp 8 Câu Ý Nội dung Điểm a ĐKXĐ: xx 0;3 3; x 3 2. 0,25 3 6 2 6 2x 4 6 x 24 3 x 3 M 16 .: 5 2 9 6 3 : x 9 xxxxx 3 6 9 2 x 3 2 2(x3 3) 4 6 (x ) 4 3( x 3 2) 1 3 2 2 .: 2 3 3 6 3 : 0,25 (x ) 3 xx ( 3) xxx ( 6 9) 2x 3 2 2 4 6 (x ) 4 2x 1 . : . 0,25 1 3 2 3 3 3 2 3 x 3 xx ( 3) xx ( 3) 3( x 2) (2,0 điểm) x3 5 4 xx 2 .( 3 3) 2 x 3 5 3 2 3 3 3 0,25 xxx 3 ( 3) 4( x 2) x 2 b x3 5 7 Ta có: M 1 x3 2 x 3 2 0,25 M có giá trị lớn nhất khi x3 2 có giá trị nhỏ nhất mà x Z nên x3 2 phải có giá trị nguyên dương nhỏ nhất x3 2 =6 x 2 0, 5 13 Vậy x 2 thì M có giá trị lớn nhất và bằng 6 0,25 a xx 1 2 xx 3 1 2015 2014 1006 2013 2012 1007 xx 1 2 2 2 xx 3 4 4 1 0,25 2015 2014 2014 1006 2013 2012 2012 1007 xx 1 2 1 4 xx 3 4 4 1 2015 2014 1007 2012 2013 2012 2012 1007 0,25 x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 2015 2014 2013 2012 0,25 x 2016 x 2016 x 2016 x 2016 2 2015 2014 2013 2012 (2,0 1 1 1 1 điểm) (x 2016)( ) 0 x 2016 0,25 2015 2014 2013 2012 b ĐK: y 1 4 1 2y2 5 4(1 yyyy ) 1 2 2 2 5 0 1 yy21 y y 3 1 (1 yyy 2 )(1 ) 1 y 3 0,25 2 3yy 3 3(1) yy 3(1) yy 0,25 3 0 3 0 2 0 1 y 1 y (1 yyy )(1 ) 3y 0 3y 0 y 0 1 y y2 0,25 y 0 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 0,25 y 1
3. a 1 1 1 (x y z )( ) 1 0,25 x y z (x y z )( xy yz zx ) xyz 0 xxy( xz ) xyz ( y z )( xy xz ) yzy ( z ) xyz 0 0,25 xyz2( ) xyz ( ) 2 yzyz ( ) 0 0,25 (y zx )(2 xy xz yz ) 0 xy 0 xy (xyyzzx ( )( ) 0 yz 0 yz 0,25 zx 0 zx Vậy trong ba số xyz,, tồn tại hai số đối nhau 0,25 b a2 b 2 c 2( abc ) 2 Ta có: xyz,, >0 (1) x y z xyz 0,25 3 (2,5 Thật vậy, áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: điểm) a2 b 2 c 2 (x y z )( ) x y z a b c 2 2 2 2 2 2 0,25 ()()()()()()x y z x y z 2 a b c x. y . z . () abc 2 x y z a2 b 2 c 2( abc ) 2 xyz,, >0. 0,25 x y z xyz Áp dụng BĐT (1) ta có: a2 b 2 c 2( abc ) 2 abc  abc, , 0 0,25 bccaab 2( abc ) 2 ĐPCM. Dấu “=” xảy ra a=b=c 0,25 a A E B H M 4 0,25 (2,5 O điểm) N D C Xét ∆OEB và ∆OMC Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC
4. Và EBO MCO 450 BE = CM ( gt ) Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) OE = OM và EOB MOC 0,25 0 Lại có O2 O 3 BOC 90 vì tứ giác ABCD là hình vuông 0 EOM EOB MOB MOC MOB COB 90 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O 0,25 b Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD 0,25 AM BM + AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*) 0,25 AM AE Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của ĐL Ta-lét) 0,25 MN EB c Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN OME MH ' B ( cặp góc đồng vị) Mà OME 450 vì ∆OEM vuông cân tại O MH ' B 450 MCO ∆OMC  ∆BMH’ (g.g) 0,5 OM MC ,kết hợp OMB CMH ' ( hai góc đối đỉnh) MB MH ' 0 ∆OMB  ∆CMH’ (c.g.c) OBM MH ' C 45 Vậy BHC ' BHM ' MHC ' 900 CH'  BN Mà CH  BN ( H BN) H  H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng 0,5 Ta có: 5x2 2 y 2 4 xy 2 x 4 y 2015 0,25 5 4x2 4 xyyy 2 2 4 y 4 x 2 2 x 1 2010 (1,0 2 2 2 0,5 điểm) (2xyy ) ( 2) ( x 1) 2010 2010  xyz , , x 1 Vậy Min(A)=2010 0,25 y 2 Tổng điểm 10,0 HÕt