Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2015 – 2016 MÔN: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang Câu 1 (4,0 điểm). 21 5 x 6 1. Cho biểu thức A = 2 x xxxx 23 6 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x, để A y > 0. Chứng minh: x yx22 y Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HA. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. 1.Chứng minh CD.CB = CA.CE 2. Tính số đo góc BEC. 3. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G. GB HD Chứng minh: BCAHHC Câu 5 (2,0 điểm). 3 1. Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 P = a2 + b2 + c2 2. Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0 với mọi a, b, c. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. UBND HUYỆN NHO QUAN HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn: Toán 8 Năm học 2015 - 2016 Câu Đáp án Điểm a. (1,25 điểm) ÑKXĐ: x 1; x -2; x 3 0,25 21 5 x 6 A = 2 x xxxx 23 6 x 1 21 5 xxx2 6 . 0,25 xx 23(2)(3)1 xx x 2(3)(2)(5)(2)(3)xx xxx . 0,25 (2)(3)xx x 1 26x xx 25 0,25 x 1 3 0,25 x 1 b. (1,0 điểm) A 0 (vì -3 1 0,25 Đối chiếu với điều kiện ta có x > 1 và x 3 thì thỏa mãn đầu bài 0,25 c. (1,75 điểm) Ta có: A2 – A = 6 A2 – A – 6 = 0 0,25 Đặt A = m (ĐK: m 0). 0,25 Ta có m2 – m – 6 = 0 (m + 2) (m – 3) = 0 m 2( loai ) 0,5 m 3 Với m = 3 ta có A = 3 3 3 0,25 3 3 x 1 x 1 x 11 x 2 x 1 = 1 0,25 x 11 x 0 Mà x là số tự nhiên và x 1 ; x -2; x 3 nên x = 2; x = 0 thỏa mãn. 0,25 Vậy x 2; 0 thì thỏa mãn đầu bài. 1. (2 điểm) ` a) x3 – 4x 2 = x(x – 4) 0,5 = x(x – 2)(x+2) 0,5 3 2 b) x – 5x + 8x – 4 = x3 – 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 0,5 = x(x2 – 4x + 4) – (x2 – 4x + 4) 0,25 = (x – 1)(x – 2)2 0,25
3. 2. (3 điểm) a) xx 23 90 x 293x 0,25 ĐK: 9 – 3x 0 x 3 0,25 x 293x 0,25 x 23x 9 411x 0,25 27x 11 0,25 Câu 2 x 4 (5 điểm) 7 x ()loai 2 11 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4 b) (x2 – 5x +1)2 – 2x2 + 10x =1 (x2 – 5x +1)2 – 2(x2 -5x + 1) + 1 = 0 0,25 (x2 – 5x +1 – 1)2 = 0 0,25 (x2 – 5x)2 = 0 x2 – 5x = 0 0,25 x(x – 5) = 0 0,25 x 0 x 50 x 0 x 5 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 = 5 0,25 1. (1,5 điểm) Ta có: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) = 0 0,25 (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 (1) 0,25 Mà (a – b)2 0 với mọi a,b. (b – c)2 0 với mọi b,c. (c – a)2 0 với mọi a,c. 0,25 ()0ab 2 Nên (1) ()0bc 2 a = b = c 2 ()0ca 0,25 Lại có a + b + c = 3 a = b = c = 1 0,25 2016 2015 M = a + 2015b + 2020c = 1 + 2015.1 +2020.1 Câu 3 = 4036 0,25 (3 điểm) 2. (1,5điểm) Với x > 0; y > 0. Ta có x + y 0 0,25 Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có: x yxyxy()() 0,25 xy () xy2 xy22 (1) 0,25 x22 2xy y
4. Mặt khác : x > 0 ; y > 0 nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2 0,25 x22 yxy 22 (2) 0,25 x2222 2xy y x y x yx22 y Từ (1) và (2) ta có: 22(đpcm) 0,25 x yx y Vẽ chính xác hình ý a 0,25 a) (1,25 điểm) Xét ABC và DEC Có  BAC =  EDC = 900 0,25  C chung 0,25 ABC đồng dạng với DEC (g.g) 0,25 CA CD 0,25 CB CE CD.CB = CA.CE (Đpcm) 0,25 b) (2,0 điểm) Xét ADC và BEC có: CD CA (Chứng minh trên) 0,25 CE CB  C chung 0,25 ADC đồng dạng với BEC (c.g.c) 0,25 BEC =  ADC ( cặp góc tương ứng) (1) 0,25 Câu 4 Lại có: HA = HD (gt) (6 điểm) AHD vuông cân tại H 0,25  ADH = 450 0,25  ADC = 1350 (2) 0, 25 Từ (1) và (2) BEC = 1350 0,25 c) (2,5 điểm) Ta có :  BEC = 1350 (cm ý b) 0 25 Mà  BEC +  BEA =1800 BEA = 450 ABE vu«ng c©n t¹i A. 0,5 Mà M là trung điểm của BE nên tia AM là tia phân giác của góc BAC 0,25 GB AB Suy ra: (t/c đường phân giác của tam giác) (3) 0,25 GC AC Mà ABC đồng dạng với DEC (cm ý a) ABED 0,25 (4) ACDC Lại có ED // AH (Cùng vuông góc với BC) AHED 0,25 (hệ quả định lí Talet) HC DC Mặt khác AH = HD (gt) 0,25
5. AHEDHD = (5) HC DC HC GB HD GB HD GB HD Từ (3), (4) và (5) 0,5 GC HC GB GC HD HC BC AH HC 1. (1,0 điểm) 2 1 Ta có: a 0 với mọi a 2 1 aa2 0 với mọi a 4 1 aa2 với mọi a (1) 0,25 4 1 Tương tự: bb2 với mọi b (2) 4 1 cc2 với mọi c (3) 4 Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được : 3 abc222 abc. 4 0,25 Câu 5 3 3 (2 điểm) Vì abc nên: P = abc222 2 4 1 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = . 2 0,25 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là đạt được khi và chỉ khi 4 1 a = b = c = . 2 0,25 2.(1 điểm) A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 = 4 (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2 0,25 = 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2 0,25 Đặt a2 + ab + ac = m, ta có: A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2 0,25 = (2 a2 + 2 ab + 2ac + bc)2 0 với mọi a,b,c (đpcm) 0,25 Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải,bài giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Câu 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.