Đề khảo sát chọn đội tuyển môn Toán Lớp 8 - Vòng 1 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Trần Mai Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn đội tuyển môn Toán Lớp 8 - Vòng 1 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Trần Mai Ninh (Có đáp án)

1. PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2023 – 2024 (VÒNG I) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi 02 tháng 12 năm 2023 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho x – y = 2. Tính giá trị của biểu thức: M = 2( x3 – y3) – 3( x + y)2 111 1 1 1 111 b) Cho + + =2; a ++= b c abc. Chứng minh: + + =++. abc a222 b c abc Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x biết: (x – 3)3 + (2x – 1)3 = (3x – 4)3 b) Tìm a, b để đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho đa thức g(x) = x2 + 3x – 10. Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để B = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố. b) Tìm n nguyên để C = n4 + 2n3 + 2n2 + n +7 là số chính phương Bài 4: (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ tia Bx vuông góc với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC). Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt Bx ở M. Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AM ở D, AC ở F. Đường thẳng MO cắt AB ở E. a) Chứng minh rằng: EF = AO. b) BD cắt CM ở I Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, F thẳng hàng. 2) Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng: IG//MP Bài 5: (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0≤≤abc ,, 1. Chứng minh rằng: a2+ b 22 + c ≤+ 1 ab + bc + ac Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1
2. PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM Biểu chấm gồm 02 trang KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 - VÒNG I NĂM HỌC 2023 – 2024 Bài Nội dung cần đạt Điểm a) Cho x – y = 2. Tính giá trị của biểu thức: M = 2( x3 – y3) – 3( x + y)2 2,0 Ta có: M = 2(x3 – y3) – 3(x + y)2 = 2(x – y)(x2 + xy + y2) – 3(x2 + 2xy+ y2) 0,5 M = (x – y)2 0,5 Mà x – y = 2 nên M = (x – y)2 = 4. 0,5 Vậy với x – y = 2 thì M = 4. 0,5 111 b) Cho + + =2; a ++= b c abc. Chứng minh: abc Bài 1 2,0 4,0đ 1 1 1 111 + + =++. a222 b c abc 2 111 111 1 1 1 2 2 2 Vì ++=⇒24 ++ =⇒ + + + + + =4 abc abc a222 b c abbcca 0,75 1 1 1 2(abc++ ) ⇒+++ = 222 4 a b c abc 0,5 Mà a++= b c abc 111 111111 ++=⇒++=++2 abc222 abc 222 abc 0,75 a) Tìm x biết: (x – 3)3 + (2x – 1)3 = (3x – 4)3 2,0 Đặt x – 3 = a; 2x – 1 = b thì 3x – 4 = a + b. Ta có:  x = 3 ax=0 −= 30  33 3  1 a+ b =()3()0 ab + ⇒ abab + = ⇒ b = 0 ⇒ 210 x −= ⇒ x = Bài 2   2 1,5 ab+=0 3 x −= 40 4.0đ   4 x =  3 14 Vậy x ∈ 3; ; 23 0,5 b) Tìm a, b để đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho đa thức g(x) = x2 + 3x – 10. 2,0 2
3. Ta có: g(x) = (x +5)(x – 2) 0,25 f(x) chia hết cho g(x) nên f(x) = (x +5)(x – 2).k(x) => f(2) = 0 và f(-5) = 0 0,75 Từ f(2) = 0 => 8a + 4b + 10 – 50 = 0 => 2a + b = 10 (1) 0,25 Từ f(-5) = 0 => -125a + 25b – 25 – 50 = 0 => – 5a + b = 3 (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra a = 1; b = 8 0,25 Vậy a = 1; b = 8 thì f(x) chia hết cho g(x). 0,25 a) Tìm số tự nhiên n để B = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố. 2,0 Ta có: B = (n – 2)(n2 + n – 5) B là số nguyên tố nên (n – 2) và (n2 + n – 5) là ước của 1 0,5 + Nếu (n – 2) = 1 thì n = 3 khi đó B = 7 (chọn) Nếu (n – 2) = -1 thì n = 1 khi đó B = 3 (chọn) 0,5 2 Nếu n + n – 5 = 1 thì (n + 3)(n – 2) = 0 0,5 Với n là số tự nhiên nên n = 2 khi đó B = 0 (loại) Vậy n = 3 và n = 1 thì B là số nguyên tố. 0,5 b) Tìm n nguyên để C = n4 + 2n3 + 2n2 + n +7 là số chính phương 2,0 Ta có: Cn = 432 + 2 n + 2 nn + +=7 n 4322++ 2 nnnn + + +7 =22 ++ + 2 n( n 1) nn ( +1) 7. Đặt n(n+1) = y ta có C = y + y + 7 Bài 3 Vì C là số chính phương nên 0,25 4,0đ 2++= 2 ∈ ⇔22 = + + ⇔2 − + 2 = Tacóyy: 7 kkN ( ) 4 k 4 y 4 y 28 4 k (2 y 1) 27 ⇔(2ky − 2 − 1)(2 ky + 2 += 1) 27 0,5 Vìky2−−<++ 2 12 ky 2 1;2 ky −−+++= 2 12 ky 2 14 k 2ky− 2 −= 11 k = 7 *) ⇒ 2ky+ 2 += 1 27 y = 6  0,5 Khiy=6 tacónn ( + 1) = 6 ( nZ ∈ ) ⇒= n 2; n =− 3  2211ky− −=−  k= −7 *)  ⇒  ()loai 2ky+ 2 +=− 1 27 y = 6 2ky− 2 −= 19 k = 3 *) ⇒ ⇒n( n += 1) 1 ( loai ) 2ky+ 2 += 13 y = 1 0,5 2213ky− −=− k =− 3 *) ⇒ ()loai 2219ky+ +=− y = 1 Vậy n = 2; n = - 3 thì C là số chính phương. 0,25 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ tia Bx 3
4. vuông góc với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC). 4,0 Bài 4.1 Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt Bx ở M. Đường thẳng 4,0đ qua O và song song với AB cắt AM ở D, AC ở F. Đường thẳng MO cắt AB ở E. a) Chứng minh rằng: EF = AO. b) BD cắt CM ở I Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, F thẳng hàng. M A D F E I B C O H 1. a) Ta có: Mà OA=OB nên OM là trung trực của AB => OM ⊥ AB tại E và EA= EB. 0,5 => BEO = 900 0 0,5 OD // AB; AB ⊥ AC=>OD ⊥ AC tại F=> AFO = 90 Mà BAC = 900 ( GT ) 1,0 => AEOF là hình chữ nhật => AO = FE 1. b) Ta có ∆AOC cân ở O nên đường cao OD đồng thời là phân giác => ∆AOD =∆⇒ COD OCD =⇒900 DC ⊥⇒ BC BM// CD và AD = CD. Câu 1 0,5 4,0đ Gọi giao điểm của AI và BC là H. IM BM AM MB// CD ⇒= = ⇒IA// CD ⇒ IH // CD // BM IC CD AD IA AM AM. CD 0,5 Do IA// CD ⇒ = ⇒=IA DC MD MD IH IC AD IH CD Do IH// MB ⇒= =;;MA = MB CD =⇒= AD MB MC MD MA MD 0,5 AM. CD ⇒=IH ⇒=IH IA; EA =⇒ EB IE// BC . MD 0,5 Từ IE//BC; EF//BC=> E, I, F thẳng hàng. 4
5. 2) Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm. Gọi I là 2,0 giao điểm của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng: IG//MP M D K I G N P Bài 4.2 2,0đ 2. Ta có: ND là phân giác của tam giác MNP MD MN555 MD Ta có : = =⇒=⇒=MD MP =2,5 ( cm ) DP NP7 MP 12 12 0,5 MI là phân giác của tam giác MND IN MN 5 Ta có : = = = 2 (1) ID MD 2,5 0,5 Gọi K là trung điểm của MP. GN Vì G là trọng tâm của ∆ MNP nên = 2 (2) NK 1,0 GN IN Tù (1) và (2) ⇒=⇒IG// DK Hay IG// MP NK ID Do: 0≤≤abc ,, 1 0,5 (a− 1); ( b − 1); ( c −≤⇒ 1) 0 ( abc − 1)( − 1)( −≤ 1) 0 Do( a−−−=+++−−−− 1)( b 1)( c 1) a b c abc ab ac bc 1 0,5 Bài 5 ⇒+++a b c abc − ab − ac − bc −≤⇒+++10 a b c abc − ab − ac − bc ≤1 2,0đ ⇒a ++ b c ≤+11 ab + ac + bc − abc ≤+ ab + ac + bc 0,5 ⇒a ++ b c ≤+1 ab + ac + bc ≤ ≤⇒2 ≤ 22 ≤ ≤ Do0 abc ,, 1 a a ; b bc ; c 0,5 ⇒+ab22+c2 ≤+1 ab + ac + bc 5