Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Vũ Thư (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Vũ Thư (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT VŨ THƯ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1 (5 điểm ) 1.Thực hiện phép tính: 2 3 193 33 7 11 1008 1007 A.:. 193 386 17 34 1008 2016 25 2016 2 14 2 5 1 3 6 B 2 .7 ( 11) .77 . 2 : 7 .11 77 7 a b c c a b a c b 2. Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn: 2b 2a 2c c b a Tính giá trị biểu thức: P 1 . 1 . 1 b a c Bài 2 (5 điểm ) 2 3 a) Tìm x biết: x 2 2 6 3x 1 b) Tìm hình chữ nhật có kích thước các cạnh là số nguyên sao cho số đo diện tích bằng số đo chu vi. c) Tìm các số nguyên dương x; y; z thỏa mãn: x y 3 y z 2 2015. x z 2017 3 Bài 3 (3 điểm) Cho hàm số: y f x x x (1) 2 a) Vẽ đồ thị hàm số (1). 4 b) Gọi E và F là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ lần lượt là (-4) và , 5 xác định tọa độ hai điểm E, F. Tìm trên trục tung điểm M để EM+MF nhỏ nhất. Bài 4 (6 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn; vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là tam giác ABD và tam giác ACE. a) Chứng minh DC = BE và DC  BE. b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến ED và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh A, M, H thẳng hàng . 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3cm; AC= 4cm. Điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác ABC. Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến BC. Tính MB. Bài 5 (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 thì tổng: 3 8 15 n2 1 S 2 không thể là một số nguyên. 4 9 16 n Hết Họ và tên : . Số báo danh : .
2. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm chÊm HSG m«n to¸n 7 năm học 2015-2016 Bài 1(5điểm ) Câu Nội dung Điểm 1 2 3 193 33 7 11 1008 1007 2® a)Tính A . : . (3 điểm) 193 386 17 34 1008 2016 25 2016 2 3 33 7 11 1007 0,75 A : . 17 34 34 25 50 2016 1 1007 0,5 A 1: 2 2016 2015 0,25 A 1: 2016 2016 A 0,25 2015 2016 Vậy A 0,25 2015 2 1 1 1,5® b ) Tính B .7 4 ( 11) 2 .775. : 7 3\.116 77 2 7 2 1 1 1 B .7 4.112.7 5.115. . 0,5 7 2.112 7 4 73.116 79.117 0,5 B 79.118 1 B . 11 0,25 1 Vậy B . 11 0,25 2 (1,5®iểm) c b a b c a b c a b c a b c a 0,25 P 1 1 1 . . . . với a,b,c 0 b a c b a c a c b a b c a c b Khi a+b+c =0 b c a P . . 1 a c b 0,5 c a b Khi a+b+c 0, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta a b c c a b a c b a b c c a b a c b 1 có: 2b 2a 2c 2(c a b) 2 a c c b a b a c c b a b 0,25 1 2 2b 2a 2c b a c P 8 0,25 Với a,b,c 0 thì P =-1 khi a+b+c =0; P = 8 khi a+b+c 0 0,25 Câu Nội dung Điểm
3. 2 3 a) Tìm x biết : x 2 2 6 3x 1 (2 điểm) 2 3 0,5 x 2 2 3 x 2 1 6 x 2 2 3 x 2 6 0,25 3 x 2 4 0,25 4 x 2 3 0,25 4 x 2 3 0,25 4 x 2 3 10 x 3 0,25 2 x 3 10 2 0,25 Vậy x ;  3 3 b) (1,5điểm) Gọi kích thước hình chữ nhật cần tìm là x,y (đơn vị độ dài ) 0,25 (x,y N * ; x y ) Ta có diện tích và chu vi hình chữ nhật lần lượt là : x.y và 2(x+y) Theo bài ra ta có : x.y= 2(x+y) với x,y N * ; x y 0,25 xy 2x 2y 0 x(y 2) 2(y 2) 4 (y 2)(x 2) 4 0,25 Với x,y N * ta có (y 2);(x 2) Z y 2; x 2 Ư(4)= 1; 2; 4 nhưng vì x-2 ; y-2 > -2 và x y 0,25 Ta có 2 trường hợp sau : x 2 4 x 6 x 2 2 x 4 hoặc y 2 1 y 3 y 2 2 y 4 0,25 Có hai hình chữ nhật thỏa mãn bài toán : Hình chữ nhật có kích thước 6 và 3; 4 và 4. 0,25 c) (1,5điểm) Chứng minh: x y 3 x y chia hết cho 2 0,25 yz 2 yz chia hết cho 2 0,25 z x z x chia hết cho 2 0,25
4. x y 3 y z 2 2015 x z 0,5 x y 3 x y y z 2 y z z x z x 2014 z x Chia hết cho 2 Mà 2017 không chia hết cho 2 nên không tồn tại các số nguyên dương x; y; z thỏa mãn đề bài 0,25 Bài 3(3 điểm ) Câu Nội dung Điểm a) 3 Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)= x x (1) (1,5điểm) 2 5 Từ hàm số (1) ,ta có : y= x với x 0 2 1 y= x với x 0 2 0,25 Cho x= 2 y 5, ta có điểm A(2 ;5) thuộc đồ thị hàm số(1) 0,25 Cho x= -2 y 1, ta có điểm B(-2 ;1) thuộc đồ thị hàm số (1) 0,25 Đồ thị hàm số (1) là hai tia OAvà OB 0,25 0,5 b) (1,5điểm) 5 Từ hàm số (1) ,ta có : y= x với x 0 2 1 y= x với x 0 2 Điểm E thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ x= -4 <0 1 nên tung đô điểm E là y= ( 4) 2 E( 4;2) 2 0,25
5. Điểm F thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ x= 4 >0 5 5 4 nên tung đô điểm F là y= . 2 F(1;2) 0,25 2 5 Điểm M thuộc trục tung nên hoành độ điểm M là x = 0 0,25 Ta có E,F thuộc đường thẳng y=2 0,25 Để EM+FM nhỏ nhất khi M nằm giữa E và F nên M thuộc đường thẳng y=2, nên tung độ M là y=2 0,25 Vậy điểm M (0;2) 0,25 Câu Nội dung Điểm 1 (4,5điểm) a)Chứng minh DC= BE 1,5® Ta có  DAC =  DAB+  BAC =900+ BAC tương tự  BAE = 900+ BAC 0,25  DAC =  BAE 0,25 Xét DAC và BAE có AD =AB ( ABD vuông cân tại A) AC=AE ( AC E vuông cân tại A) 0,25  DAC =  BAE (cmt) 0,25 DAC = BAE(c-g-c) 0,25 DC =BE ( định nghĩa tam giác bằng nhau) 0,25 Chứng minh DC  BE 1,5® Gọi K , N lần lượt là giao điểm của DC với BE và AB AND và KNB có  AND=  KNB( đối đỉnh ); 0,25  ADN=  KBN ( DAC = BAE) 0,25  DAN=  BKN định lí tổng 3 góc trong tam giác ) 0,25 Mà  DAN=900(( ABD vuông cân tại A) 0,25  BKN=900 0,25
6. DC  BE tại K 0,25 b) Chứng minh A,H,M thẳng hàng 1,5® Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI=MA Chứng minh AMB= IMC(cgc) 0,25 CI=AB và CI //AB 0,25 Chứng minh  ACI= DAE( cùng bù  BAC) 0,25 Chứng minh ACI= EAD (c-g-c) 0,25  CAI= AED mà  AED +  EAH =900( AHE vuông tại H) 0,25  CAI+ EAH=900  MAH=1800 M,A,H thẳng hàng 0,25 2 (1,5điểm) Vì điểm I nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC nên I là 0,25 giao điểm 3 dường phân giác trong tam giác ABC Tam giác ABC vuông tại A nên AB2+AC2=BC2( định lý Pitago) Tính BC=5cm 0,25 Chứng minh CEI= CMI (cạnh huyền- góc nhọn ) CE =CM Tương tự AE =AD; BD =BM 0,25 BC BA AC Chứng minh BM 0,5 2 5 3 4 BM 2 cm 0,25 2 Bài 5(1điểm ) Câu Nội dung Điểm S Có (n-1) số hạng: 0,25 3 8 15 n 2 1 1 1 1 1 S 1 1 1 1 4 9 16 n 2 2 2 32 4 2 n 2 1 1 1 1 S n 1 n 1 22 32 42 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác 1 22 32 42 n2 1.2 2.3 3.4 (n 1)n n 0,25 1 1 S n 1 1 n 2 n 2 n n Từ (1) và (2) ta có n 2 S n 1 0,25 Vậy S không có giá trị nguyên với mọi số tự nhiên n 2 0,25