Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Phú Thái (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Phú Thái (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT KIM THÀNH ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 8 TRƯỜNG THCS PHÚ THÁI Năm học 2022-2023 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) + 15. 111 2) Cho xyz = 1. Tính giá trị biểu thức: P =++ 1xxy1yyz1zzx++ ++ ++ Câu 2 (2,0 điểm) 1) Phân tích thành nhân tử: a333 b c abc 3 3 Áp dụng tìm x biết: xx26 211 x 3 x 2) Tìm số dư trong phép chia của đa thức: xx 1 2 xx 3 6 2023 cho đa thức x2 57x Câu 3 (2,0 điểm) 1) Cho a, b, c là các số tự nhiên. Chứng minh rằng A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 là một số chính phương. (Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên) 2) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 3xy + 2y – 2x + 1 = 0. Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 1) AM = BF; 2) Tứ giác AEMD là hình chữ nhật; 111 3) . AB222 AM AN Câu 5 (1,0 điểm) xx2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P với x 1 x2 21x
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Tổng Câu Đáp án Điểm điểm a) (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) + 15 0,25 = (x2 + 4x – 5)(x2 + 4x + 3) +15 = [(x2 + 4x -1) – 4][(x2 + 4x – 1) + 4] + 15 0,25 1,00 = (x2 + 4x – 1)2 – 16 + 15 0,25 = (x2 + 4x – 1)2 – 1 = (x2 + 4x – 2)(x2 + 4x) 0,25 = x(x + 4)(x2 + 4x – 2) 111 P =++ 1 1xxy1yyz1zzx++ ++ ++ zzx1 0,25 P =+ + z++ xz xyz zx + yzx + yzzx 1 ++ z zx Thay xyz = 1 và biểu thức P ta có: 1,00 zzx1 0,25 P =++ zxz1++ zx1z ++ 1zzx ++ zzx1++ P = 0,25 zzx1++ P1= . Vậy P = 1 0,25 Phân tích đa thức thành nhân tử: abc333 abc3 0,25 Ta có abc333 abc3 ab33 c3 3 abab abc abc3 33 cababc abab abc3 3 abcabcab 0,25 33 ababc cbc abbcac (*) 1,00 3 Tìm x biết: xx26 211 x 3 x 33 Ta có: xx232 113 xx 2 0 0,25 2 31120 xx22 x x (Theo (*)). Vì x2 x 1 = 0; x2 1 = 0 vô nghiệm . 0,25 KL: x = -2 Px 1 x 2 x 3 x 6 2023 22 0,25 Px ( 5x 6)( x 5x 6) 2023 Đặt x2 + 5x + 7 = t 1,00 0,25 Ta có P = (t – 13)(t - 1) + 2023 2 P = t – 14t +13 + 2023 0,25
3. P = t2 – 14t + 2036 Do đó khi chia P = t2 – 14t + 2036 cho t ta có số dư là 2036 0,25 1) A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2 0,25 A = 4(a2 + ab + ac)(a2 + ac + ab + bc) + b2c2 Đặt a2 + ab + ac = t Ta có A = 4t(t + bc) + b2c2 0,25 A = 4t2 + 4t.bc + b2c2 1,00 A = (2t + bc)2 = [2(a2 + ab + ac) + bc]2 = (2a2 + 2ab + 2ac + bc)2 0,25 Vì a, b, c là các số tự nhiên nên A là một số chính phương. 0,25 1) 3xy + 2y – 2x + 1 = 0 (3x + 2)y = 2x – 1 21x 2 0,25 yx , 3 32x 3 21xx 632(3x2)7 7 yy 32 0,25 32x 32xx 32 32 x y là số nguyên thì 3y cũng là số nguyên. Để 3y nhận giá trị là số 1,00 nguyên khi 7 chia hết cho 3x + 2 0,25 Hay 3x 2¦(7) 1;7 x 1; 3 Với x = -1 thì y = 3; với x = -3 thì y = 1. 0,25 Vậy (xy ; ) ( 1;3),( 3;1) A E B H F D M C N Xét ADM và BAF có: 0,25 ADM BAF 900 AD = AB (cạnh hình vuông) 4.1 0,25 1,00 DAM ABF (cùng phụ với góc HAB) Do đó ADM = BAF (g.c.g) 0,25 Suy ra AM = BF (2 cạnh tương ứng) 0,25 Do ADM = BAF (g.c.g) chứng minh câu a 0,25 4.2 Suy ra DM = AF (2 cạnh tương ứng) 1,00 Mà DM // AF (Do AB//CD, E thuộc AB, M thuộc CD) 0,25
4. Suy ra AEMD là hình bình hành. 0,25 0 0 Mặt khác DAE 90 (Do DAB 90 và E thuộc AB). 0,25 Do đó tứ giác AEMD là hình chữ nhật. AD AM AD CN Vì AD//CN (HÖ qu¶ ®Þnh lý Ta lÐt) 0,25 CN MN AM MN MNCM ABCM Vì MC//AB (HÖ qu¶ ®Þnh lý Ta lÐt) 0,25 AN AB AN MN 4.3 AD22 AB CM 22 CN 1,00 Suy ra 1 (Vì CM2 + CN2 = MN2 AM22 AN MN 2 0,25 theo Định lý Pytago áp dụng trong tam giác vuông CMN) AB22 AB 111 Suy ra 1 (v× AD = AB) 0,25 AM22 AN AB 2 AM 22 AN 2 xx2 1(1)1 xx 1 x x P 11 xx2 21 xxx 111222 0,25 111113 P 1 22 5 xx 1414 xx 11 0,25 11 33 1,00 Px  ,1 2144x 0,25 3 11 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là khi 01x (thỏa mãn) 0,25 4 21x