Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Lê Quý Đôn (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Lê Quý Đôn (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT TP. BẮC GIANG ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN KHẢO SÁT: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày khảo sát: 11/02/2023 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề có: 01 trang) Câu 1: (5,0 điểm) 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a 1) Cho biểu thức M 2 3 : 2 , với a 0; a 1. 3a a 1 a 1 a 1 4a a) Rút gọn M . b) Tìm giá trị của a để M đạt giá trị lớn nhất. 2) Cho các số thực a, b thỏa mãn: a2 b2 ab a b 1 0 . Tính giá trị của biểu thức M 3a3 2b4 2022 . Câu 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 6 3x5 6x4 7x3 6x2 3x 1 0 2) Tìm đa thức f x biết f x chia cho x 3 dư 2; f x chia cho x 4 dư 9 và f x chia cho x2 x 12 được thương là x2 3 và còn dư. Câu 3: (4,0 điểm) 1) Tìm các cặp số tự nhiên x, y thỏa mãn : x2 3y 3026 2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2 a 3b2 b . Chứng minh rằng: a b và 2a 2b 1 là các số chính phương. Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE,CF . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh: 1) ABC đồng dạng với AEF . HD HE HF 2) 1. AD BE CF AB BC CA 2 3) 4 . AD2 BE 2 CF 2 Câu 5: (1,0 điểm) 3x2 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện y2 yz z2 1011 .Tìm giá trị lớn nhất 2 và nhỏ nhất của biểu thức Q x y z . HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 5.0 2 a 1 1 2a2 4a 1 4a2 M  0.5 a2 a 1 2 a 1 2 a 1 a a 1 a a 4 3 a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a M  1.1a 2 2 0.5 a 1 a a 1 a 4 (2,0 điểm) a3 3a2 3a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a M  2 0.5 a 1 a2 a 1 a 4 a3 1 4a 4a M 3  2 2 a 1 a 4 a 4 0.5 KL 2 2 2 4a a 4 a 4a 4 a 2 Ta có M 1 0.5 a2 4 a2 4 a2 4 a 2 2 a 2 2 1.1b Vì 0 với mọi a nên 1 1 với mọi a. a2 4 a2 4 (1.5 0.5 điểm) a 2 2 Dấu " " xảy ra khi 0 a 2 (tm) a2 4 Vậy giá trị lớn nhất của M là 1 khi a 2 . 0.5 Ta có a 2 b2 ab a b 1 0 2a 2 2b2 2ab 2a 2b 2 0 0.5 (a 2 2ab b2 ) (a 2 2a 1) (b2 2b 1) 0 1.2 (a b)2 0 a b (1.5 a 1 2 2 2 2 0.5 điểm) (a b) (a 1) (b 1) 0 (a 1) 0 a 1 2 b 1 (b 1) 0 b 1 a 1 3 4 Thay vào M 3a3 2b4 1 ta được M 3.1 2( 1) 2022 2023 0.5 b 1
3. Vậy giá trị của biểu thức M 2023. Câu 2 4.0 +) x = 0 không là nghiệm của phương trình 3 +) Chia cả hai vế cuả phương trình cho x ta được: 0.5 6 3 1 1 1 1 x3 3x2 6x 7 0 (x3 ) 3(x2 ) 6(x ) 7 0 x x2 x3 x3 x2 x 1 2 1 2 3 1 1 3 1 1 3 0.5 Đặt t x x 2 t 2; x 3 x 3x. x t 3t x x x x x x 2.1 Thay vào phương trình ta được: (2.0 3 2 3 điểm) t 3t 3 t 2 6t 7 0 t 1 1 t 1 0.5 1 x 1 x2 x 1 0 x 1 x 1 x2 x 1 0 vô nghiệm x 0.5 KL Do f(x) chia cho x2 x 12 x 3 x 4 được thương là x2 3 còn dư nên ta có : 0.5 f x x 4 x 3 x2 3 a.x b 2.2 Cho x 4 f x 4a b 9 (2.0 0.5 x 3 f x 3a b 2 điểm) Cho 4a b 9 a 1 Khi đó ta có hệ: 0.5 3a b 2 b 5 Đa thức cần tìm: f x x 4 x 3 x2 3 x 5 0.5
4. Câu 3 4.0 Xét y 0 x2 3026 1 3025 x 55 0.5 3.1 y 2 (2 Xét y 0 3 3 còn x :3 dư 0 hoặc 1 0.5 điểm) x2 3y :3 dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2 , vô lý 0.5 KL: Vậy x; y 55;0 . 0.5 2a2 a 3b2 b 2a2 2b2 a b b2 a b 2a 2b 1 b2 (1) 0.5 Gọi a b;2a 2b 1 d . Khi đó : b2 a b 2a 2b 1 d 2 bd 0.5 3.2 (2 Mà a bd ad 2a 2bd 2a 2b 1 2a 2b d 1d d 1 điểm) 0.5 Như vậy: (a b;2a 2b 1) 1. Từ đó, theo (1) suy ra: a b và 2a 2b 1là các số chính phương. 0.5 A E F K Câu 4 H C B D Chứng minh đúng: AEB∽ AFC . 0.5 4.1 AE AF Suy ra: 0.5 (2 AB AC điểm) Chứng minh đúng: ABC∽ AEF 1.0 HD SBHC 4.2 Chỉ ra được: 0.5 AD SABC (2.0 HE S HF S điểm) Tương tự: AHC ; AHB . 0.5 BE SABC CF SABC
5. HD HE HF SBHC SAHC SAHB Suy ra: 0.5 AD BE CF SABC HD HE HF 1 AD BE CF 0.5 Dựng đường thẳng d đi qua C song song với AB. Gọi K là điểm đối xứng với A qua d. 0.5 Chứng minh được góc BAK vuông, CK=AC, AK = 2CF. Xét ba điểm B, C, K ta có BK £ BC + CK . Tam giác BAK vuông tại A nên: 2 AB 2 + AK 2 = BK 2 Þ AB 2 + AK 2 £ (BC + CK ) 0.5 4.3 2 2 Þ AB 2 + 4CF 2 £ (BC + CK ) Þ 4CF 2 £ (BC + CA) - AB 2. (1.0 điểm) Hoàn toàn tương tự ta có 2 4AD 2 £ (AB + AC ) - BC 2, 0.5 2 4BE 2 £ (AB + BC ) - AC 2. Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có 2 0.5 2 (AB + AC + BC ) 4(AD 2 + BE 2 + CF 2) £ (AB + AC + BC ) Û ³ 4. AD 2 + BE 2 + CF 2 Câu 5 3x2 Ta có y2 yz z2 1011 2 2 2 2 (1 2y 2yz 2z 2022 3x 0.5 điểm) x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz 2022 x2 2xy y2 z2 2xz x2 (x y z)2 2022 (x y)2 (x z)2 2022 2022 x y z 2022
6. 2022 x y z nhỏ nhất bằng 2022 khi x y z 3 0.5 2022 x y z lớn nhất bằng 2022 khi x y z 3 Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. - Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng.