Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Tiền Hải (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Tiền Hải (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN TIỀN HẢI NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1.(5,0điểm) 1) Thực hiện phép tính: −59 −− 3 48  − 3 a) A=+:( ) ++ :( ) 9 15 2 9 20  2 684 .2− 4 5 .18 4 b) B = 273 .8 4− 3 9 .2 13 2) Cho S=++ abc bca cab . Chứng minh rằng S không là số chính phương. Bài 2. (4,0điểm) 333 3 3 1 1) Cho M =+++ ++ . Tính M và so sánh M với 3.5 5.7 7.9 9.11 53.55 2 2) Tính giá trị biểu thức N= 17x10 ++ 2y 3 2023 biết các số x; y thỏa mãn: x−+ 1 (y + 2)2022 = 0 3) Cho đa thức P(x)= ax2 ++ bx c biết 7a−+ b 4c = 0 . Chứng minh: P(2).P(− 1) không là số dương. Bài 3.(4,0điểm) x yy z 1) Tìm x; y; z biết =; = và x+−= y z 39 4 75 6 2) Ba thửa ruộng hình chữ nhật A, B , C có cùng diện tích. Chiều rộng các thửa ruộng A; B; C lần lượt tỉ lệ thuận với 4; 5; 6. Chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài của thửa ruộng B và C là 42 m. Tính chiều dài mỗi thửa ruộng? Bài 4.(6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại điểm M, Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = BA. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. 1) Chứng minh: MA = MD 2) Kẻ DH ⊥ MC; AK ⊥ ME ( H thuộc MC; K thuộc ME), gọi N là giao điểm của hai tia DH và AK. Chứng minh MHN = MKN và ba điểm B, M, N thẳng hàng 3) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia BM tại F. Chứng minh: AB+ AM <+ CF CM Bài 5.(1,0điểm) Cho tích A = 1.2.3.4.5 398.399.400. Hỏi tích A có tận cùng bao nhiêu chữ số 0? .Hết . Họ và tên thí sinh . Số báo danh
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIỀN HẢI NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN TOÁN 7 (Gồm 05 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1.(5,0điểm) 1) Thực hiện phép tính: −59 −− 3 48  − 3 a) A=+:( ) ++ :( ) 9 15 2 9 20  2 684 .2− 4 5 .18 4 b) B = 273 .8 4− 3 9 .2 13 2) Cho S=++ abc bca cab . Chứng minh rằng S không là số chính phương. −53 −− 2  42 − 2 A=+ .( ) ++  .( ) 95 3  95 3 0,5 −−2 53 − 42 A(= ) ++ + 0,5 1(a) 3 9595 2,0đ −2 −− 5 4 32 A= ( ).  + ++() 0,5 3 9 9 55 −−22 A= ( ).(1)1[ −+] = .0 = 0 0,5 33 684 .2−− 4 5 .18 4 (2.3) 84 .2 (2 25 ) (2.3 24 ) 2 884 .3 .2 − 2 1048 .2 .3 B = = = 0,5 273 .8 4− 3 9 .2 13 (3 3 ) 3 .(2 3 ) 4 −− 3 9 .2 13 3 9 .2 12 3 9 .2 13 212 .3 8− 2 14 .3 8 B = 9 12 9 13 0,5 1(b) 3 .2− 3 .2 212 .3 8 (1−− 2 2 ) 2 12 .3 8 .( 3) 2,0đ B = = 0,5 39 .2 12 (1−− 2) 39 .2 12 .( 1) Rút gọn đúng được kết quả B = 1 0,5 2 Ta có S=++= abc bca cab (100a +++ 10b c) (100b +++ 10c a) (100c ++ 10a b) 1,0đ S= 111(a ++ b c) = 37.3.(a ++ b c) 0,5 Vì 0<++≤ a b c 27 nên (a++ b c) không chia hết cho 37 Mặt khác ( 3; 37) = 1 nên 3(a++ b c) không chia hết cho 37 0,5 Suy ra S không là số chính phương.
3. Bài 2. (4,0điểm) 333 3 3 1 1) Cho M =+++ ++ . Tính M và so sánh M với 3.5 5.7 7.9 9.11 53.55 2 2) Tính giá trị biểu thức N= 17x10 ++ 2y 3 2023 biết các số x; y thỏa mãn: x−+ 1 (y + 2)2022 = 0 3) Cho đa thức P(x)= ax2 ++ bx c biết 7a−+ b 4c = 0 . Chứng minh: P(2).P(− 1) không là số dương. 333 3 3 11 1 M =+++ ++ = 3( ++ ) 3.5 5.7 7.9 9.11 53.55 3.5 5.7 53.55 22 2 0,5 2M= 3( ++ ) 3.5 5.7 53.55 1111 1 1 2M= 3( −+−++ − ) 1) 3557 5355 1,5đ 1 1 52 52 2M=−= 3( ) 3. = 0,5 3 55 165 55 26 M = 55 26 26 1 Suy ra M =<= 0,5 55 52 2 Vì x1−≥ 0 với mọi x; (y+≥ 2)2022 0 với mọi y 0,5 Mà x−+ 1 (y + 2)2022 = 0 2) 1,5đ 2022 Suy ra x1−= 0 và (y+= 2) 0 Tính đúng được x = 1 và y = -2 0,5 Thay x = 1 và y = - 2 vào biểu thức N ta được: 10 3 0,5 N= 17.1 +− 2.( 2) + 2023 = 2024 Vì 7a−+ b 4c = 0 nên b= 7a + 4c P(x)= ax2 ++ (7a 4c)x + c 2 0,5 3) Suy ra P(2)= a.2 + (7a + 4c).2 += c 18a + 9c = 9(2a + c) 1,0đ 2 P(−= 1) a.( − 1) + (7a + 4c).( −+=−− 1) c 6a 3c =− ( 3)(2a + c) Ta có P(2).P(−=− 1) 27(2a + c)2 ≤ 0 Vậy P(2).P(− 1) không là số dương 0,5
4. Bài 3.(4,0điểm) x yy z 1) Tìm x; y; z biết =; = và x+−= y z 39 4 75 6 2) Ba thửa ruộng hình chữ nhật A, B , C có cùng diện tích. Chiều rộng các thửa ruộng A; B; C lần lượt tỉ lệ thuận với 4; 5; 6. Chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài của thửa ruộng B và C là 42 m. Tính chiều dài mỗi thửa ruộng? x yy z x y y z Vì =;; =⇒= = 0,5 4 7 5 6 20 35 35 42 1) xyz ⇒== 0,5 2,0đ 20 35 42 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z x+− y z 39 = = = = = 3 0,5 20 35 42 20+− 35 42 13 Suy ra được: x = 60; y = 105; z =126 0,5 Gọi chiều rộng các thửa ruộng hình chữ nhật A; B ; C lần lượt là: a; b; c (m) 2) chiều dài các thửa ruộng hình chữ nhật A; B ; C lần lượt là: x; y; z (m) 2,0đ ( Điều kiện: 0 < a < x; 0 < b < y; 0 < c < z) Chiều rộng các thửa ruộng A; B; C lần lượt tỉ lệ thuận với 4; 5; 6 nên abc 0,5 = = 456 Vì chiều dài thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài thửa ruộng B và C là 42m nên ta có: y+−= z x 42 Vì ba thửa ruộng cùng di ện tích nên: ax = by = cz abc 4.x.= 5.y. = 6.z. ⇒== 4x 5y 6z 0,5 4 56 4x 5y 6z x y z Suy ra: 4x==⇒==⇒== 5y 6z 0,5 60 60 60 15 12 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra x = 90; y = 72; z = 60 0,5 Vậy chiều dài của các thửa ruộng A; B; C lần lượt là: 90 m; 72m; 60m Bài 4.(6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại điểm M, Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = BA. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. 1) Chứng minh: MA = MD 2) Kẻ DH ⊥ MC; AK ⊥ ME ( H thuộc MC; K thuộc ME), gọi N là giao điểm của hai tia DH và AK. Chứng minh MHN = MKN và ba điểm B, M, N thẳng hàng 3) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia BM tại F. Chứng minh: AB+ AM <+ CF CM
5. B D M A C H K N E F +) Xét ∆ABM và ∆DBM có: AB= BD (gt) 1) ABM= DBM ( Vì BM là tia phân giác góc ABC) 1,5đ 1,0 BM cạnh chung ⇒∆ABM =∆DBM ( c. g. c) Suy ra MA = MD ( hai cạnh tương ứng) 0,5 2) Vì MD = MA từ đó suy ra MAK = MDH ( cạnh huyền- góc nhọn) 0,5 3,0đ Do đó MHN = MKN ( cạnh huyền- canh góc vuông) 1,0 AMD Vì ⇒∆ABM =∆⇒DBM AMB = 2 HMK 0,5 ⇒∆MHN =∆⇒MKN HMN = KMN = Mặt khác 2 Mà AMD= KMH ( hai góc đối đỉnh) 0,5 Suy ra: AMB= HMN Do đó: BMN =+=+= AMB AMN HMN AMN 1800 0,5 Vậy ba điểm B, M, N thẳng hàng 3) Vì ⇒∆ABM =∆DBM nên BDM = BAM = 900 1,5đ Tam giác MDC vuông tại D nên cạnh huyền MC lớn nhất 0,75 MC > MD mà MD = MA suy ra MC > MA (1)
6. Mặt khác chứng minh được tam giác BCF cân tại C nên CF = CB Mà CB > AB ( Tam giác ABC vuông tại A nên cạnh huyền BC lớn nhất) 0,5 Suy ra CF > AB (2) Từ (1); (2) ta có: CM+ CF > MA + AB 0,25 Bài 5.(1,0điểm) Cho tích A = 1.2.3.4.5 398.399.400. Hỏi tích A có tận cùng bao nhiêu chữ số 0? Vì tích 5.2 có tận cùng bằng 1 chữ số 0. Muốn biết tích A có tận cùng bao 0,5 nhiêu chữ số 0 thì cần xem khi phân tích A ra thừa số nguyên tố có bao nhiêu thừa số 2 và bao nhiêu thừa số 5. Dễ thấy số thừa số 5 ít hơn số thừa số 2 nên chỉ cần tính số thừa số 5 là đủ. Kể từ số 1; cứ 5 số lại có một số là bội của 5; cứ 25 = 52 số lại có một số là 1,0đ bội của 25; cứ 125 = 53 số lại có một số là bội của 125 Do đó số thừa số 5 khi phân tích A ra thừa số nguyên tố là: 0,5 [(400 – 5):5 +1] +[(400 – 25):25+1] + [(375-125):125+1]= 80 + 16 + 3 = 99 Vậy tích A có tận cùng 99 chữ số 0