Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Lục Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Lục Nam (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 (Đề thi có 02 trang) MÔN: TOÁN – LỚP 8 Ngày thi: 09/02/2023 Thời gian làm bài 120 phút I. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm). Chọn đáp án đúng nhất Câu 1. Cho hai số thực xy; thỏa mãn x22+ y −2 x − 4 y +=− 6 1 ( xy −+ 1) 2. Giá trị của biểu thức Axy=2022 + 2023 bằng A.4045. B. 1 C. -1. D. 6068. x2 − 2 xy = ≠≠ Câu 2. Cho 3x-y=3z; 2x+y=7z.Giá trị biểu thức B22( xy 0; 0) là: xy+ −5 3 −8 A. −2 . B. . C. . D. . 3 2 13 mx++5 x m m Câu 3. Cho phương trình +=. Điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất là 10 4 20 A. m ≠ -2,5. B. m ≠ 2,5. C. m = -2,5. D. mọi m∈ . Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH= 4( cm) , BC=10( cm). Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC . Diện tích tứ giác ADHE là A. 1, 6 (cm2 ) B. 6, 4(cm2 ) C. 20(cm2 ) D. 3, 2 (cm2 ) a + 3 Câu 5. Cho C = . S là tập hợp các giá trị nguyên của a để C nhận giá trị nguyên. Khi đó 21a + A. S ={ −3; 0;1; 2} B. S =−−−{ 3;2;1;0} C. S =−−{ 3; 1; 2} D. S =−−{ 3; 1; 0; 2} Câu 6. Cho các số thực xyz,, thỏa mãn xy2 z = 7 . Giá trị của biểu thức xyz7 2 D =++là: xz++ x7 xy22 + 77 y + y 2 z ++ z 1 A. 7. B. 1. C. 2. D. 5. Câu 7. Cho tam giác ABC có BC= 8( cm) . Gọi DEM,, , Ntheo thứ tự lần lượt là trung điểm của AC,,,. AB BE CD Độ dài đoạn thẳng MN là A. 4 cm. B. 12 cm. C. 6 cm. D. 2 cm. Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có AB = 12 cm, AD = 8 cm và ACD= 45 ° . Diện tích hình bình hành ABCD bằng: A. 64 cm2 B. 48 cm2 C. 48 2 cm2 D. 24 2 cm2 Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ex=++422 x 2023 là: A. 2021 B. 2020 C. 2022 D. 2023 Câu 10. Rút gọn biểu thức F = 32( 2+ 12)( 4 + 12)( 8 + 12)( 16 + 12)( 32 ++ 1) 1 ta được: A. 264 B. 2164 − . C. 2164 + . D. 12− 64 . xx+−11 x Câu 11. Phương trình += có nghiệm duy nhất là 2019 2021 1010 A. 2019. B. 2020. C. -2020. D. 2021.
2. 32 4 Câu 12. Số nghiệm của phương trình 3xx( +−= 11) 0là x2 A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. xyz xyz222−+ = Câu 13. Cho = = ≠ 0, rút gọn biểu thức M 2 (với mẫu khác 0) ta được abc (ax−+ by cz) 1 1 1 1 A. M = . B. M = . C. M = . D. M = . abc−+ abc222−+ abc222+− 222ax−− by cz 1 ax+ b c Câu 14. Cho a, b, c là các số thực sao cho = + . Khi đó abc++ bằng : ( xx2 +−11)( ) xx2 +−11 3 1 1 3 A. − B. C. − D. 2 2 2 2 Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và phân giác AD. Giá trị DC – DB bằng: 1 3 4 5 A. B. C. D. 7 7 7 7 Câu 16. Tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, BC = 10 cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD là: 4 3 3 1 A. B. C. D. 5 4 5 4 xx2 −+69 6 Câu 17. Rút gọn biểu thức P = + (với x ≠±3) ta được kết quả là xx2 −+93 A. Px= B. P = −1 C. P =1. D. Px= − . Câu 18. Đa thức G( x) = x73 + x + ax 2 ++ x b chia hết cho đa thức Hx( ) = x2 ++ x1 khi và chỉ khi A. ab=−=2; 1 . B. ab=1; = 2 . C. ab=2; = 1. D. ab=2; = − 1. Câu 19. Biết đa thức P(x) chia cho x – 1 thì dư 1, P(x) chia cho x3 +1 thì dư xx2 ++1. Đa thức dư của phép chia P(x) cho ( xx−+11)( 3 ) là: A. −−xxx32 −. B. xxx32++. C. xxx32−−. D. −+xxx32 +. Câu 20. Cho hình thoi ABCD có AB= 20 cm , AC= 24 cm . Diện tích hình thoi ABCD bằng A. 768cm2 B. 192cm2 C. 384cm2 D. 480cm2 B. TỰ LUẬN (14 điểm) Bài 1. (5.0 điểm) 2 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Bxx=(3722 −) + 5374( xx −+) . a+1 a − 1 2024 aaa2 ++ 2 12 3 = −− − 2. Cho biểu thức A 22: (với aa≠−1; ≠ 1 ). aa−+11 a − 1 a − 1 a − 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 2. (4.0 điểm) 22 x+−3  xx 3  7(2 − 9) 1. Giải phương trình : +=6  x−+−224  xx  2 43 2 2.Tìm các hằng số a,b để ax++ bx 1 chia hết cho (x − 1) . 3.Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn x2++≤++− y 22 z xy324 y z
3. Bài 3. (4.0 điểm) Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh BC lấy N (0 < NC < NB), đường thẳng vuông góc với ON tại O cắt AB tại M. Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE. 1. Chứng minh ∆MON vuông cân. 2. Chứng minh MN // BE. OB. NC CH 3. Gọi H là giao điểm của KC và BD. Chứng minh: +=1. OH. NB KH Bài 4. (1.0 điểm) Cho các số ab, thỏa mãn 4( 1+ab)( 1 −≥) 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa=++222. b b Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
4. PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 (Đề thi có 02 trang) MÔN: TOÁN– LỚP 8 Ngày thi: 09/02/2023 Thời gian làm bài 120 phút I. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm). Chọn đáp án đúng nhất Câu 1. Cho hai số thực xy; thỏa mãn x22+ y −2 x − 4 y +=− 6 1 ( xy −+ 1) 2. Giá trị của biểu thức Axy=2022 + 2023 bằng A.4045. B. 1 C. -1. D. 6068. x2 − 2 xy = ≠≠ Câu 2. Cho 3x-y=3z; 2x+y=7z.Giá trị biểu thức B22( xy 0; 0) là: xy+ −5 3 −8 A. −2 . B. . C. . D. . 3 2 13 mx++5 x m m Câu 3. Cho phương trình +=. Điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất là 10 4 20 A. m ≠ -2,5. B. m ≠ 2,5. C. m = -2,5. D. mọi m∈ . Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH= 4( cm) , BC=10( cm). Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC . Diện tích tứ giác ADHE là A. 1, 6 (cm2 ) B. 6, 4(cm2 ) C. 20(cm2 ) D. 3, 2 (cm2 ) a + 3 Câu 5. Cho C = . S là tập hợp các giá trị nguyên của a để C nhận giá trị nguyên. Khi đó 21a + A. S ={ −3; 0;1; 2} B. S =−−−{ 3;2;1;0} C. S =−−{ 3; 1; 2} D. S =−−{ 3; 1; 0; 2} Câu 6. Cho các số thực xyz,, thỏa mãn xy2 z = 7 . Giá trị của biểu thức xyz7 2 D =++là: xz++ x7 xy22 + 77 y + y 2 z ++ z 1 A. 7. B. 1. C. 2. D. 5. Câu 7. Cho tam giác ABC có BC= 8( cm) . Gọi DEM,, , Ntheo thứ tự lần lượt là trung điểm của AC,,,. AB BE CD Độ dài đoạn thẳng MN là A. 4 cm. B. 12 cm. C. 6 cm. D. 2 cm. Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có AB = 12 cm, AD = 8 cm và ACD= 45 ° . Diện tích hình bình hành ABCD bằng: A. 64 cm2 B. 48 cm2 C. 48 2 cm2 D. 24 2 cm2 Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ex=++422 x 2023 là: A. 2021 B. 2020 C. 2022 D. 2023 Câu 10. Rút gọn biểu thức F = 32( 2+ 12)( 4 + 12)( 8 + 12)( 16 + 12)( 32 ++ 1) 1 ta được: A. 264 B. 2164 − . C. 2164 + . D. 12− 64 . xx+−11 x Câu 11. Phương trình += có nghiệm duy nhất là 2019 2021 1010 A. 2019. B. 2020. C. -2020. D. 2021. 32 4 Câu 12. Số nghiệm của phương trình 3xx( +−= 11) 0là x2
5. A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. xyz xyz222−+ = Câu 13. Cho = = ≠ 0, rút gọn biểu thức M 2 (với mẫu khác 0) ta được abc (ax−+ by cz) 1 1 1 1 A. M = . B. M = . C. M = . D. M = . abc−+ abc222−+ abc222+− 222ax−− by cz 1 ax+ b c Câu 14. Cho a, b, c là các số thực sao cho = + . Khi đó abc++ bằng : ( xx2 +−11)( ) xx2 +−11 3 1 1 3 A. − B. C. − D. 2 2 2 2 Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và phân giác AD. Giá trị DC – DB bằng: 1 3 4 5 A. B. C. D. 7 7 7 7 Câu 16. Tam giác ABC vuông tại A có AC = 8 cm, BC = 10 cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD là: 4 3 3 1 A. B. C. D. 5 4 5 4 xx2 −+69 6 Câu 17. Rút gọn biểu thức P = + (với x ≠±3) ta được kết quả là xx2 −+93 A. Px= B. P = −1 C. P =1. D. Px= − . Câu 18. Đa thức G( x) = x73 + x + ax 2 ++ x b chia hết cho đa thức Hx( ) = x2 ++ x1 khi và chỉ khi A. ab=−=2; 1 . B. ab=1; = 2 . C. ab=2; = 1. D. ab=2; = − 1. Câu 19. Biết đa thức P(x) chia cho x – 1 thì dư 1, P(x) chia cho x3 +1 thì dư xx2 ++1. Đa thức dư của phép chia P(x) cho ( xx−+11)( 3 ) là: A. −−xxx32 −. B. xxx32++. C. xxx32−−. D. −+xxx32 +. Câu 20. Cho hình thoi ABCD có AB= 20 cm , AC= 24 cm . Diện tích hình thoi ABCD bằng A. 768cm2 B. 192cm2 C. 384cm2 D. 480cm2 B. TỰ LUẬN (14 điểm) Bài 1. (5.0 điểm) 2 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Bxx=(3722 −) + 5374( xx −+) . a+1 a − 1 2024 aaa2 ++ 2 12 3 = −− − 2. Cho biểu thức A 22: (với aa≠−1; ≠ 1 ). aa−+11 a − 1 a − 1 a − 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 2. (4.0 điểm) 22 x+−3  xx 3  7(2 − 9) 1. Giải phương trình : +=6  x−+−224  xx  2 43 2 2.Tìm các hằng số a,b để ax++ bx 1 chia hết cho (x − 1) . 3.Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn x2++≤++− y 22 z xy324 y z Bài 3. (4.0 điểm)
6. Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh BC lấy N (0 < NC < NB), đường thẳng vuông góc với ON tại O cắt AB tại M. Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE. 1. Chứng minh ∆MON vuông cân. 2. Chứng minh MN // BE. OB. NC CH 3. Gọi H là giao điểm của KC và BD. Chứng minh: +=1. OH. NB KH Bài 4. (1.0 điểm) Cho các số ab, thỏa mãn 4( 1+ab)( 1 −≥) 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa=++222. b b Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
7. PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Bản hướng dẫn chấm có trang A- TRẮC NGHIỆM CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN 1 D 11 C 2 B 12 A 3 A 13 B 4 B 14 C 5 D 15 D 6 B 16 B 7 C 17 C 8 C 18 C 9 D 19 D 10 A 20 C B- TỰ LUẬN Bài Hướng dẫn giải Điểm Bài 1 (5 điểm) 2 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Bxx=(3722 −) + 5374( xx −+) . 2 2 Đặt 37x−= xt ta có Bt=++54 t 0.5 2 1 =ttt ++44 + =( t + 1)( t + 4) 0.5 (2.0 điểm) 2 Thay 37x−= xt ta được 22 2 0.75 Bxx=(371374371341 −+)( xx −+=) ( xx −+)( x −)( x −) Vậy 0.25 a+1 a − 1 2024 aaa2 ++ 2 12 3 = −− − A 22: (với aa≠−1; ≠ 1 ). aa−+11 a − 1 a − 1 a − 1 a) Với aa≠−1; ≠ 1 , ta có 0.25 a+1 a − 1 2024 aaa2 ++ 2 12 3 = −− − A 22: 0.5 aa−+11 a − 1 a − 1 a − 1  (a+ 1)22 ( a − 1) 2024a aa2++2 12 3( a + 1)  = −− : − (aa−+ 1)( 1) ( aa −+ 1)( 1) ( aa −+ 1)( 1) ( aa −+ 1)( 1) ( aa −+ 1)( 1)  0.5 aa22++−+−−2 1 aa 2 1 2024 aaa 2 ++−− 2 12 3 a 3  2 = :  (aa−+ 1)( 1)  (aa−+ 1)( 1)  (3 điểm) 2020a aa2 −+9 = : (aa−+ 1)( 1) ( aa −+ 1)( 1) 0.5 −2020a ( aa −+ 1)( 1) = .2 (a− 1)( a + 1)  aa −+9 −2020a = aa2 −+9 −2020a Vậy A = (với aa≠−1; ≠ 1 ). 0.25 aa2 −+9 b) Ta có aa22−+−9 5 aa = ( − 3) ≥ 0 0.25
8. ⇒aa2 −+≥95 a a 1 0.25 ⇒≤ aa2 −+95 −−2020a 2020 ⇒ ≥=−404 0.25 aa2 −+95 ⇒ 0.25 GTNN của A bằng -404, đẳng thức xảy ra khi a=3 Bài 2 (4 điểm) 22 x+−3  xx 3  7(2 − 9) 1. Giải phương trình : +=6  (1). x−+−224  xx  2 x + 3 x − 3 x2 − 9 Đặt u = ; v= => u.v = x − 2 x + 2 x2 − 4 Phương trình (1) có dạng 0.25 u22−+=760 uv v (2) ⇔ (u-v)(u-6v)=0 uv= ⇒  0.25 uv= 6 1 x + 3 x − 3 Nếu u=v thì = (3) (1 điểm) x − 2 x + 2 ⇒xx22 +56 += xx − 56 + ⇔=10x 0 ⇔=x 0 (TM) x + 3 6(x − 3) Nếu u=6v thì = (4) x − 2 x + 2 0.25 ⇒xx2 −7 += 60 ⇔−(x 1)(x −= 6) 0 x =1 ⇒  (TM) x = 6 Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {0;1; 6} 0.25 2. Tìm các hằng số a,b để ax43++ bx 1 (x − 1) 2 chia hết cho . Vì đa thức chia có bậc 4, đa thức chia có bậc 2 nên đa thức thương có bậc 2 2 2 Gọi đa thức thương là cx++ dx e (1,5 43 2 2 Ta có : ax++ bx 1= (x − 1) ()cx++ dx e 0.75 điểm) 4 32 2 2 2 = cx++− dx ex222 cx − dx −+++ excx dxe 43 2 = cx+−(2)(2 d cx +−+ e d cx ) +− (2) d ex + e . 43 2 Để ax++ bx 1 chia hết cho (x − 1) thì
9. ca= a= 3  d−=24 cb b =−  e−20 dc +=⇔ c = 3 0.5 de−=20 d = 2  ee=11= Vậy a=3, b =-4 0,25 2 22 3) Vì x,y,z nguyên nên ta có x++≤++− y z xy324 y z 2 yy2  2 ⇔−(xz ) + 3 − 1 +−( 1) ≤ 0 (*) 22 2 yy2  2 (xz− ) + 3 − 1 +−( 1) ≥ 0 Mà 22 với mọi x,y,z 0.75 2 yy2  2 3 ⇒−(xz ) + 3 − 1 +−( 1) =0 22 (1,5 điểm)  y 0,5 x −=0  2 x =1 y ⇒ −=1 0 ⇔y = 2 2 z =1 z −=10    Vậy: 0,25 Bài 3. (4.0 điểm) Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh BC lấy N (0 < NC < NB), đường thẳng vuông góc với ON tại O cắt AB tại M. Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE. (4,0 Bài 3 1. Chứng minh ∆MON vuông cân. điểm) 2. Chứng minh MN // BE. 3. Gọi H là giao điểm của KC và BD. Chứng minh: OB. NC CH +=1. OH. NB KH
10. M A B O N K D C E H Ta có BOC =⇒+=9000 CON BON 90 ; vì =⇒+=⇒=00 MON90 BOM BON90 BOM CON BOC -Ta có BD là phân giác góc ABC⇒ MBO = CBO = = 450 2 0.75 BOC 0 Tương tự ta có NCO = DCO = = 45 Vậy ta có MBO = NCO 2 -Xét ∆OBM và ∆OCN có OB=OC ; BOM= CON ; MBO= NCO ⇒ 0.75 ∆OBM =∆⇒= OCN OM ON *Xét ∆MON có MON =900 ; OM = ON ⇒∆ MON vuông cân 2) ∆OBM =∆⇒= OCN MB NC ; mà AB=BC AM BN ⇒−AB MB =−⇒ BC NC AM = BM ⇒ = MB NC 0.5 AN BN -Ta có AB//CD ⇒AM// CE ⇒= NE NC 0.75 AM AN Vậy ta có ⇒=⇒MN// BE ( theo định ký ta lét đảo ) 0.25 MB NE 0 d)Vì KH//OM mà MK⊥⇒⊥⇒ OM MK KH NKH =90 , mà 0.25 NKC =⇒=⇒===4500 CKH 45 BKN NKC CKH 450 Xét ∆BKC có BKN = NKC ⇒ KN là phân giác trong của ∆BKC , KC HC 0.25 mà KH⊥ KN ⇒ KH là phân giác ngoài của ∆BKC ⇒=. 3 KB HB (1 điểm) KN BN Chứng minh tương tự ta có ⇒= KH BH 0.25 KC KN NC HC BN CN BH Vậy ta có ++=++=== 1 KB KH BH HB BH BH BH 0.25 Bài 4 Bài 4. (1.0 điểm) Cho các số ab, thỏa mãn 4( 1+ab)( 1 −≥) 9. Tìm giá trị (1 điểm)
11. nhỏ nhất của biểu thức Pa=++222. b b 95 Từ giả thiết (1+a )(1 − b ) ≥ ⇔ a −− b ab ≥ 44 2 22 2 11 22 1 1 0.25 Pab=++() bb ++−=+++− () ab  b 44  2 4 Ta có a22+ b ≥−2; ab 2 1 2aa+≥ 2; 4 2 1 22bb+ ≥− 4 0.25 55 1 suy ra 3(a22+ b) +≥ 1 2( a −− b ab ) ≥ 2. = ⇔+≥ab22 42 2 1 11 Từ đó ta có P ≥+−=0 2 44 11 Dấu ""= xảy ra khi ab=, = − 22 0.25 1 11 Vậy min P = khi khi ab=, = − . 0.25 4 22 Tổng (14 điểm) Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với bài 3, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.