Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện năm học 2016-2017 môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện năm học 2016-2017 môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức: a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6 Bài 2 (4,0 điểm). a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn: . Chứng minh A = abcd là số chính phương. b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3. Bài 3 (3,0 điểm). a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 b. Giải phương trình: Bài 4 (3,0 điểm). a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều. b. Cho x, y, z dương và x + y + z =1. Chứng minh rằng : Bài 5 (5,0 điểm). Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
2. Bài 6 (1,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình HẾT Họ và tên học sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2016-2017 Biểu Bài Nội dung điểm Cho biểu thức: a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6 0.25 a) 1 = 1 = 0.25 Vậy P = 1 b) ĐK: 0.25 P = 6 0.25 (1) hoặc (2) 0.25 Ta có (1) 0,25 (tmđk) 0.25 (2) vô nghiệm 0.25 Vậy
3. a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn: . Chứng minh A = abcd là số chính phương. b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3. a) 0,25 0,25 2 0,25 0,25 0,25 (vì b ≠ d) 0,25 Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương 0,25 0,25 +) Thực hiện phép chia a3 – 2a2 + 7a – 7 cho a2 + 3, kết quả : a3 – 2a2 + 7a – 7 = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1) 0,5 +) Lập luận để phép chia hết thì 4a -1 phải chia hết cho a2 + 3 0,5 (vì nên ) 0,5 0,5 +) Tìm a, thử lại và kết luận a
4. a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 b. Giải phương trình: a) A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x + 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 0.5 = (2x2 – 3x )2- 1 + 2017 =(2x2 – 3x )2 + 2016 0.5 Dấu "=" xảy ra 0.75 Vậy A min = 2016 0.25 0,25 b) . Điều kiện x 3 (*) 0, 25 Đặt = a và = b suy ra ab = Phương trình (*) trở thành : a2 + ab – 12b2 = 0 0,25 (a – 3b)(a + 4b) = 0 0,5 + Nếu a = 3b thì = (x+ 1)(x - 4) = 3(x-2)2 Giải phương trình trên và kết luận phương trình vô nghiệm + Nếu a = -4b thì = (x+ 1)(x -4) = -4(x-2)2 0,5 Giải phương trình trên ta được (tmđk)
5. 0,25 + Kết luận nghiệm của phương trình S = { 3; } a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều. b. Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1. Chứng minh rằng : a) C/m: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) 0,5 +) Từ giả thiết suy ra: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0 2 2 2 ⇒ a + b + c – ab – bc – ca = 0 ( vì a + b + c > 0 ) 0,25 +) Biến đổi được kết quả: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 0,5 4 0,25 ⇒ ⇒ a = b = c ⇒ Tam giác đó là đều (đpcm) b) Đặt a = x2 + 2yz; b = y2 + 2xz; c = z2 +2xy ⇒ a, b, c > 0 và a + b + c = (x + y + z)2 = 1 0,5 0,5 +) C/m: 0,5 ⇒ hay (đpcm) Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD 5 b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Vẽ hình và ghi GT, KL
6. 0,5 a) Chứng minh: 0,5 0,25 0,25 (đpcm) 0,25 b) Theo câu a ta có: 0,25 Mà 0,25 +) Chứng minh: 0,25 +) Chứng minh: (đpcm) c) Ta có OC là trung trực của AM 0,25 ⇒OC ⊥ AM, Mặc khác OA = OM = OB ⇒∆AMB vuông tại M ⇒OC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI 0,25 +) Xét ∆ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi 0,25 qua trung điểm AI ⇒ IC = AC +) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: 0,5 Mà IC = AC ⇒ MK = HK ⇒BC đi qua trung điểm MH (đpcm) 0,25 d) Tứ giác ABDC là hình thang vuông 0,25 Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có
7. 0,25 0,25 Dấu “=” xảy ra ⇔ 0,25 Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: +) Với a, b, c, d dương, ta có 0,5 6 (theo bất đẳng thức ) +) Mặc khác: Suy ra và đẳng thức xảy ra ⇔ a = c; b = d +) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có: 0,25 Đẳng thức xảy ra ⇔ y = 2016; x = 2015 0,25 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.